Chủ đề này có 206 trả lời

[chieckhantiennu]

Bài 1. Tìm tất cả các giá trị của x để hàm số: $y=\left | x^2+x+16 \right |+\left | x^2+x-6 \right |$ đặt min, tìm giá trị đó.

Bài 2. Tìm k để pt sau có nghiệm:$(x^2+2)[x^2-2x(2k-1)+5k^2-6k+3]=2x+1$

Bài 3. Cho góc nhọn xOy và điểm C cố định thuộc tia Ox. Điểm A di động trên tia Ox phía ngoài đoạn OC; điểm B di động trên tia Oy sao cho luôn có CA=OB.

Tìm quỹ tích tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB.

Bài 4. Tìm các chữ số a,b,c biết: $\sqrt{\overline{abc}}=(a+b)\sqrt{c}$

Bài 5. Một lớp học có số học sinh được xếp loại Giỏi ở mỗi môn học (trong số 11 môn học) đều vượt qua 50%. Chững minh rằng có ít nhất 3 học sinh được xếp loại Giỏi từ 2 môn trở lên (số học sinh của lớp không ít hơn 10)

________________________________

Mấy hôm nay bận túi bụi không kịp vào chém bài của mọi người . >.<

[nguyenhongsonk612]

 

CÂu 5:

GỌi $a,b,c$ là các số thực dương thay đổi thỏa mãn : $a+b+c=3$

TÌm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : $P=a^2+b^2+c^2+\frac{ab+bc+ca}{a^2b+b^2c+c^2a}$ 

 P/s: Câu 1 mình làm nhầm điều kiện xác định mới ghê      

Câu $5$ đã có ở đây

[hoctrocuaZel]

Bài 1. Tìm tất cả các giá trị của x để hàm số: $y=\left | x^2+x+16 \right |+\left | x^2+x-6 \right |$ đặt min, tìm giá trị đó.

1/ 

Ta có: $y=\left | x^2+x+16 \right |+\left | 6-x^2-x \right |\geq 22$

Dấu bằng: $(x^2+x+16)(6-x^2-x)\geq 0\Leftrightarrow -3\leq x\leq 2$

[dogsteven]

Bài 1. Tìm tất cả các giá trị của x để hàm số: $y=\left | x^2+x+16 \right |+\left | x^2+x-6 \right |$ đặt min, tìm giá trị đó.

 

 

$|x^2+x+16|+|6-x-x^2| \geqslant 22$

 

$\text{min y}=22 \Leftrightarrow x \in [-3;2]$

[chieckhantiennu]

 

Bài 2. Tìm k để pt sau có nghiệm:$(x^2+2)[x^2-2x(2k-1)+5k^2-6k+3]=2x+1$

 

PT tương đương:

$(x^2+2)[x^2-2x(2k-1)+4k^2-4k+1+k^2-2k+1+1]=2x+1$

$\Leftrightarrow (x^2+2)(x^2-2k+1)^2+(x^2+2)(k-1)^2+(x-1)^2=0$

khi $x=k=1$

[hoctrocuaZel]

Bài 4. Tìm các chữ số a,b,c biết: $\sqrt{\overline{abc}}=(a+b)\sqrt{c}$

4/

PT $\bar{abc}=(a+b)^2.c\Leftrightarrow \frac{10\bar{ab}}{(a+b)^2-1}=c$

Do đó: $\begin{bmatrix} a+b=1\\ a+b=9\\ a+b=11 \end{bmatrix}$

*) TH1: $a+b=1$ $\rightarrow a=1;b=0$ (kg thỏa mãn)

*) TH2: $a+b=9$.$VT=\frac{\bar{ab}}{8}\in N\Rightarrow \frac{a+1}{8}\in N\rightarrow a=7;b=2;c=9$

*) TH3: $a+b=11$. 

$VT=\frac{\bar{ab}}{12}\in N\rightarrow\frac{9a-1}{12}$ (Loại)

Vậy 729 là số cần tìm.

[tuananh2000]

4/

PT $\bar{abc}=(a+b)^2.c\Leftrightarrow \frac{10\bar{ab}}{(a+b)^2-1}=c$

Do đó: $\begin{bmatrix} a+b=1\\ a+b=9\\ a+b=11 \end{bmatrix}$

*) TH1: $a+b=1$ $\rightarrow a=1;b=0$ (kg thỏa mãn)

*) TH2: $a+b=9$.$VT=\frac{\bar{ab}}{8}\in N\Rightarrow \frac{a+1}{8}\in N\rightarrow a=7;b=2;c=9$

*) TH3: $a+b=11$. 

$VT=\frac{\bar{ab}}{12}\in N\rightarrow\frac{9a-1}{12}$ (Loại)

Vậy 729 là số cần tìm.

Cái phần trên đâu thỏa đkxd đâu mà xét nhỉ   

[hoctrocuaZel]

Cái phần trên đâu thỏa đkxd đâu mà xét nhỉ   

Uhm, bạn xét cái TH: $(a+b)^2-1=0$

Ở đây nếu khác 0 thì chia được. Mình làm tắt nên cho nó vào 1 trường hợp luôn

p/s: nhác gõ

p/s: thánh nào chém hình vs!!!

[chieckhantiennu]

 

Bài 5. Một lớp học có số học sinh được xếp loại Giỏi ở mỗi môn học (trong số 11 môn học) đều vượt qua 50%. Chững minh rằng có ít nhất 3 học sinh được xếp loại Giỏi từ 2 môn trở lên (số học sinh của lớp không ít hơn 10)

________________________________

 

câu này trước hình để giành sau.

Gọi $A_1,..A_11$ lần lượt là các tập hợp các hs đạt danh hiệu HSG ở 11 môn học và $a_1,..,a_n$ theo thứ tự là số phần tử của $A_1,..,A_11$. Gọi m là số hs ($m \geq10$). Theo gt: $a_i>\frac{m}{2},\forall_i= \overline{1,11}$. Suy ra $A_i\cap A_j\neq \phi ,\forall_i \neq j.$.

TH1: Tập $A_1\cap A_2$ có ko ít hơn 3 phần tử ta có đpcm.

TH2. Tập $A_1\cap A_2$ chỉ có 1 phần tử A. Số phần tử còn lại của $A_1,A_2$ (ko kể A) là:

$s=a_1-1+a_2-1>\frac{m}{2}-1+\frac{m}{2}-1=m-2 \rightarrow s \geq m-1$

Xét $A_3$. Do $s \geq m-1$ nên $A_3\cap ((A_1\{A}))\cup (A_2\{A})\geq \frac{m}{2}-1\geq 4\rightarrow dpcm.$

TH3: Tập $A_1\cap A_2$ có 2 phần tử. Xét tt trường hợp trên.

[hoctrocuaZel]

Đề thi khảo sát đội tuyển trường THCS Quách Xuân Kỳ, Bố Trạch, Quảng Bình

Thời gian: 150 phút

1/ Cho a,b,c,d nguyên thỏa: $4(c^5+d^5)=a^5+b^5$.

CMR: a+b+c+d chia hết cho 5.

2/ Cho a,b,c>0. CMR: $\sum \frac{a^3}{b}\geq \sum a^2$

3/ Cho a,b,c: $\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}=0$

CMR: có ít nhất trong 3 số a,b,c 1 âm, 1 dương.

4/ Cho tg ABC, O nằm trong tam giác. Các tia AO,BO,CO cắt các cạnh tg ABC tại M,N,P.

a/ CMR: $\frac{AM}{OM}+\frac{BN}{ON}+\frac{CP}{OP}\geq 9$

b/ Biết độ dài 3 đường cao của tam giác : 12;15;20.

Tính độ dài các cạnh của tam giác.

5/ a/

CMR: $0<\alpha <45^0\rightarrow cos2\alpha =cos^2\alpha -sin^2\alpha$

b/ Tính tan 15 độ.

p/s: còn câu 3. Về nhà ms giải ra. Khá hay!!!!!!

[chieckhantiennu]

 

CMR: $0<\alpha <45^0\rightarrow cos2\alpha =cos^2\alpha -sin^2\alpha$

 

 

Vẽ như hình vẽ.Ta có:$\left\{\begin{matrix}BK=a.cos\alpha &  & \\ KC=a.sin \alpha (1)&  & \\ BC=a &  & \end{matrix}\right.$

$AB=AC=\frac{a}{2sin\alpha };BK=AB.sin2\alpha =\frac{asin2\alpha}{ 2 sin\alpha };AK=AB.cos2\alpha =\frac{acos2\alpha}{ 2 sin\alpha}$

$KC=AC- AK=\frac{a}{2 sin\alpha }-\frac{a cos 2\alpha }{2 sin \alpha }(2)$

 

Từ (1), (2) $\Rightarrow a. cos\alpha =\frac{a -a.cos2\alpha  }{2sin\alpha }\Rightarrow 2a.sin^2a=a-acos2a\Rightarrow cos2a=1-2sin^2\alpha \Rightarrow dpcm.$

______________________________

Cái câu tính tan 15. Không biết phải giải ra hay được dùng máy tính?

Nếu dùng máy thì: $tan 15^o=2-\sqrt{3}$

Hình gửi kèm

• 

[chieckhantiennu]

 

Đề thi khảo sát đội tuyển trường THCS Quách Xuân Kỳ, Bố Trạch, Quảng Bình

Thời gian: 150 phút

1/ Cho a,b,c,d nguyên thỏa: $4(c^5+d^5)=a^5+b^5$.

CMR: a+b+c+d chia hết cho 5.

2/ Cho a,b,c>0. CMR: $\sum \frac{a^3}{b}\geq \sum a^2$

 

4/ Cho tg ABC, O nằm trong tam giác. Các tia AO,BO,CO cắt các cạnh tg ABC tại M,N,P.

a/ CMR: $\frac{AM}{OM}+\frac{BN}{ON}+\frac{CP}{OP}\geq 9$

 

 

1.

Từ GT suy ra $\Rightarrow a^5+b^5+c^5+d^5\vdots 5$

Xét hiệu $(a^5+b^5+c^5+d^5)-(a+b+c+d)$ 

..
2. Áp dụng Bunhi.

3. Từ O kẻ AH và OH' vuông góc BC. Dùng tỉ số diện tích.

Áp dụng BĐT:  $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 9$

..

Đẳng thức xảy ra khi O là giao của các đường trung tuyến.

[tuananh2000]

Bài 4 :b/ Gọi độ dài 3 cạnh $AB;BC;CA$ là $c;a;b$ ($a;b;c>0$) thì $12a=15b=20c$ $\Leftrightarrow$ $\frac{a}{5}=\frac{b}{4}=\frac{c}{3}=k$

Rút $a;b;c$ theo $k$ thì ta có đc tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , từ đó suy ra $AC=20$;$AB=15$;$BC=25$

Bài 5 :b/ Xét tam giác $ABC$ có $\widehat{A}=90^{o};\widehat{B}=15^{o};AC=1$.Đường trung trực của $BC$ cắt $AB$ ở $I$ . Ta dễ dàng có $\widehat{AIC}=30^{o}$ nên $IC=2AC=2$; $tg 30^{o}=\frac{AC}{AI}=\frac{1}{\sqrt{3}}$$\rightarrow AI=\sqrt{3}$

Ta có $AB=AI+BI=AI+IC=\sqrt{3}+2$ mà $tg 15^{o}=\frac{AC}{AB}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuananh2000: 23-09-2014 - 21:47

[chieckhantiennu]

Câu 1.

a. Tìm $n \in N$ để: $n^4+3n^3+4n^2+3n+3$ là số nguyên tố.

b.Cho $a,b,c \in Q$ và a,b,c đôi một khác nhau.

CMR: $\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}$  là bình phương của 1 số hữu tỉ.

Câu 2.

a. GPT: $x^2.\left [ 1+\frac{1}{(x+1)^2} \right ]=8$

b. Tìm nghiệm nguyên dương của pt: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$

Câu 3.

Cho hình vuông ABCD. Qua D kẻ đường thẳng d cắt tia đối của tia AB tại M, cắt tia đối của tia CB tại N. MC cắt AD tại E; cắt NA tại K. NA cắt CD tại F. BK cắt CD tại H.

a. CM: EF //MN..

b.CM: K là trực tâm của tam giác BEF

c. Tính số đo góc DHN khi MA>NC.

Câu 4.

Cho $P(x)=ax^2+bx+c$ ($a,b,c \in R$). Biết P(0);P(1);P(2) là các số nguyên.

CMR: mọi $x \in Z$ thì $P(x) \in Z$.

Câu 5.

a. Cho $x+y+z=0$; $-1 \leq x;y;z \leq 1$. Tìm max: $P=x^2+y^2+z^2$

b. Cho $a,b,c \geq 0$ thỏa mãn $ab+bc+ac \leq abc$.

CMR: $\frac{8}{a+b}+\frac{8}{b+c}+\frac{8}{c+a}\leq \frac{b+c}{a^2}+\frac{c+a}{b^2}+\frac{a+b}{c^2}+2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chieckhantiennu: 24-09-2014 - 22:57

[kimchitwinkle]

 

Câu 2.

a. GPT: $x^2.\left [ 1+\frac{1}{(x+1)^2} \right ]=8$

 

<=> $x^{2}\left ( \frac{x^{2}+2x+2}{x^{2}+2x+1} \right )=8$

<=> $x^{4}+2x^{3}+2x^{2}=8x^{2}+16x+8$

<=> $x^{4}+2x^{3}-6x^{2}-16x-8=0$

<=> ( x+2) ($x^{3}-6x-4$ ) =0

<=> x = -2

[tuananh2000]

Câu 1:a.Ta xét $n^{4}+3n^{3}+4n^{2}+3n+3=(n^{2}+1)(n^{2}+3n+3)$ là số nguyên tố mà $n^{2}+3n+3 >n^{2}+1$ nên $n^{2}+1=1$ và $n^{2}+3n+3$ là số nguyên tố cần tìm . Từ đó dễ tìm được $n=0$

b.Đặt $a-b=x$;$b-c=y$;$c-a=z$ thì $x+y+z=0$ nên $\frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{(b-c)^{2}}+\frac{1}{(c-a)^{2}}= \frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}}=\sqrt{(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^{2}}  $$=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$ là bình phương một số hữu tỉ

[HungNT]

<=> $x^{2}\left ( \frac{x^{2}+2x+2}{x^{2}+2x+1} \right )=8$

<=> $x^{4}+2x^{3}+2x^{2}=8x^{2}+16x+8$

<=> $x^{4}+2x^{3}-6x^{2}-16x-8=0$

<=> ( x+2) ($x^{3}-6x-4$ ) =0

<=> x = -2

Tiếp tục!

\[{x^3} - 6x - 4 = 0\]

\[ \Leftrightarrow {x^3} + 2{x^2} - 2{x^2} - 4x - 2x - 4 = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x - 2} \right) = 0\]

...

PT có tập nghiệm \[S = \left\{ { - 2;1 \pm \sqrt 3 } \right\}\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HungNT: 25-09-2014 - 13:03

[hoctrocuaZel]

2/

b. Tìm nghiệm nguyên dương của pt: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$

Câu 4.

Cho $P(x)=ax^2+bx+c$ ($a,b,c \in R$). Biết P(0);P(1);P(2) là các số nguyên.

CMR: mọi $x \in Z$ thì $P(x) \in Z$.

Bài 2/b/ (Rất quen thuộc!!!)

Kg mất tính tq, giả sử: $x\geq y\geq z> 1\rightarrow 1=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\leq \frac{3}{z}\rightarrow z\leq 3\rightarrow \begin{bmatrix} z=2\\ z=3 \end{bmatrix}$

Tương tự, tự giải tiếp!!!  

Bài 4/

Ta có: $\left\{\begin{matrix} P(0)\in Z\\ P(1)\in Z\\ P(2)\in Z \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} c\in Z\\ a+b\in Z\\ 4a+2b\in Z \end{matrix}\right.\rightarrow \left\{\begin{matrix} 4a+4b\in Z\\ 4a+2b\in Z \end{matrix}\right.\rightarrow \left\{\begin{matrix} 2b\in Z\\ 2a\in Z \end{matrix}\right.\rightarrow \left\{\begin{matrix} a=\frac{m}{2}\\ b=\frac{n}{2}\\ c\in Z \end{matrix}\right.$

Ta nhận thấy rằng: m, n cùng tính chẵn lẽ.

Với, m, n chẵn. Ta có a,b,c nguyên nên đpcm.

Với m,n lẽ, có: 

*) x lẽ: $P(x)=\frac{mx^2+nx}{2}+c\in Z$

*) x chẵn: $P(x)=\frac{x^2}{2}.m+\frac{x}{2}.n+c\in Z$

Vậy được đpcm!!!

[chieckhantiennu]

Bài 1. CMR: Với mọi $n \in Z^+$ số: $A(n)=5^n(5^n+1)-6^n(3^n+2^n)$ chia hết cho 91

Bài 2. Cho $x,y \geq 0$ thỏa mãn $xy=1$. Tìm max:

$A=\frac{x}{x^4+y^2}+\frac{y}{x^2+y^4}$

Bài 3. GPT: 

$\sqrt{x+1}+2(x+1)=x-1+\sqrt{1-x}+3\sqrt{1-x^2}$

Bài 4. Xét 1 hình vuông và 1 hình tam giác. Nếu 2 hình có diện tích bằng nhau thì hình nào có chu vi lớn hơn.

Bài 5. Cho tam giác ABC có $\widehat{BAC}=45^o$, BC=a, O là tân đường tròn ngoại tiếp; B',C' tương ứng là chân đường cao hạ từ B,C xuống AC, AB. Gọi O' là điểm đối xứng O qua B'C'.

a. CM: A,B'O',C' cùng năm trên 1 đường tròn. 

b. Tính B'C' theo a.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chieckhantiennu: 25-09-2014 - 19:49

[kimchitwinkle]

Bài 2. Cho $x,y \geq 0$ thỏa mãn $xy=1$. Tìm max:

$A=\frac{x}{x^4+y^2}+\frac{y}{x^2+y^4}$

 

AD bđt Cô si cho 2 số dương $x^{4}$ và $y^{2}$ có:

                 $x^{4}+y^{2}\geq 2\sqrt{x^{4}y^{2}}=2x^{2}y$

       Cả 2 vế dường lấy nghịch đảo :

                $\frac{x}{x^{4}+y^{2}}\leq \frac{x}{2x^{2}y}$

Tương tự : $\frac{y}{x^{2}+y^{4}}\leq \frac{y}{xy^{2}}$

Cộng từng vế : A $\leq \frac{x}{2x^{2}y}+\frac{y}{2xy^{2}}$ 

       => A $\leq 1$ ( const)

Dấu đẳng thức xảy ra <=> x = y = 1

Kết luận : Max A = 1 <=> x = y = 1