Chủ đề này có 3 trả lời

[Chung Anh]

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Chứng minh rằng

$\sqrt{\frac{a^2}{a^2+b+c}}+\sqrt{\frac{b^2}{b^2+c+a}}+\sqrt{\frac{a^2}{c^2+c+a}}\leq \sqrt{3} $

[hoanglong2k]

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Chứng minh rằng

$\sqrt{\frac{a^2}{a^2+b+c}}+\sqrt{\frac{b^2}{b^2+c+a}}+\sqrt{\frac{a^2}{c^2+c+a}}\leq \sqrt{3} $

 Áp dụng Cauchy-Schwarz có :

 $\sum \sqrt{\frac{a^2}{a^2+b+c}}\leq \sum \frac{a\sqrt{1+b+c}}{a+b+c}=\frac{\sum a\sqrt{1+b+c}}{a+b+c}$

 Lại có :

 $\sum a\sqrt{1+b+c}=\sum \sqrt{a}.\sqrt{a+ab+ac}\leq \sqrt{(a+b+c)(a+b+c+2\sum ab)}\leq \sqrt{(a+b+c)[a+b+c+\frac{2}{3}(a+b+c)^2]}$

 $=(a+b+c)\sqrt{1+\frac{2}{3}(a+b+c)}\leq (a+b+c)\sqrt3$

Suy ra điều cần chứng minh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 12-07-2015 - 09:17

[Hoang Nhat Tuan]

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Chứng minh rằng

$\sqrt{\frac{a^2}{a^2+b+c}}+\sqrt{\frac{b^2}{b^2+c+a}}+\sqrt{\frac{a^2}{c^2+c+a}}\leq \sqrt{3} $

Áp dụng BĐT C-S dễ thấy:

$\sum \sqrt{\frac{a^2}{a^2+b+c}}=\sum \frac{a\sqrt{1+b+c}}{\sqrt{(a^2+b+c)(1+b+c)}}\leq \sum \frac{a\sqrt{1+b+c}}{a+b+c}=\frac{\sum a\sqrt{1+b+c}}{a+b+c}$

Tiếp tục sử dụng BĐT C-S cho tử ta được:

$\frac{\sum a\sqrt{1+b+c}}{a+b+c}\leq \frac{\sqrt{(a+b+c)\sum a(1+b+c)}}{a+b+c}=\sqrt{1+\frac{2(ab+bc+ca)}{a+b+c}}\leq 3$

[the man]

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Chứng minh rằng

$\sqrt{\frac{a^2}{a^2+b+c}}+\sqrt{\frac{b^2}{b^2+c+a}}+\sqrt{\frac{a^2}{c^2+c+a}}\leq \sqrt{3} $

Sử dụng Cauchy-Schwarz:

$(a^2+b+c)(1+b+c)\geq (a+b+c)^2\Rightarrow VT\leq \frac{a\sqrt{b+c+1}+b\sqrt{c+a+1}+c\sqrt{a+b+1}}{a+b+c}\leq \frac{\sqrt{(a+b+c)[a(1+b+c)+b(1+c+a)+c(1+a+b)]}}{a+b+c}=\frac{\sqrt{[a(1+b+c)+b(1+c+a)+c(1+a+b)]}}{\sqrt{a+b+c}}=\frac{\sqrt{a+b+c+2(ab+bc+ca)}}{\sqrt{a+b+c}}\leq \frac{\sqrt{a+b+c+\frac{2}{3}(a+b+c)^2}}{\sqrt{a+b+c}}=\sqrt{\frac{2}{3}(a+b+c)+1}\leq \sqrt{\frac{2}{3}.3+1}=\sqrt{3}$