Bài 1: Chứng minh rằng:
a) Tích của hai số nguyên dương liên tiếp không là số chính phương
b) Tích của ba số nguyên dương liên tiếp không là số chính phương
c) Tích của bốn số nguyên dương liên tiếp không là số chính phương
Bài 2: Một hình vuông có độ dài cạnh là số tự nhiên có thể có diện tích là 111….1 (có 2013 chữ số 1) được không? Tại sao?
Bài 3: Cho N = 1.3.5.7…2015. Chứng minh trong 3 số nguyên liên tiếp 2N – 1, 2N, 2N + 1 không có số nào là số chính phương.
Bài 4: Gọi P là tích của n số nguyên tố đầu tiên (n > 1). Chứng minh rằng các số P + 1 và P – 1 không phải là số chính phương.
Bài 5: Cho x,y Z. CMR : các số sau là số chính phương :
a) A = (x+1)(x+3)(x+4)(x+6) + 9
b) B = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4
c) C = (x - y)(x - 2y)(x - 3y)(x - 4y) + y4
Bài 6: Cho a là một số gồm 2n chữ số 1, b là một số gồm n+1 chữ số 1, c là một số gồm n chữ số 6.
CMR : a+b+c+8 là số chính phương
Bài 7: Cho 3 số nguyên x,y,z sao cho x = y+z. CMR : 2(xy+xz-yz) là tổng của 3 số chính phương
Bài 8: Chứng minh rằng nếu T =$2+2\sqrt{12n^{2}+1}$ là số tự nhiên thì T là số chính phương.
Bài 9: Cho số tự nhiên n . Đặt A = $2+2\sqrt{28n^{2}+1}$ chứng minh rằng nếu A là số nguyên thì nó là số chính phương.
Bài 10: Tìm số tự nhiên n sao cho các số sau là số chính phương:
a) n2 + 2n + 12 b) n2 + n + 1 b) n2+n+5 c) 13n + 3 d) n4-n+2
e) n2 + 2014 f) 2n + 24 + 27 g) n2 + 2002 h) n3-n+2 i) n5-n+2
k) n2 + n + 6 l) n2 + n + 1991