Chủ đề này có 3 trả lời

[tritanngo99]

Cho các số thực dương $a,b$ thỏa mãn điều kiện $a+b=ab$. Chứng minh rằng: $a^b+b^a>6$

[superpower]

Cho các số thực dương $a,b$ thỏa mãn điều kiện $a+b=ab$. Chứng minh rằng: $a^b+b^a>6$

Gợi ý:

Đặt $x=\frac{1}{a} ; y=\frac{1}{b} $

Suy ra $x+y=1 $

[tungteng532000]

Cho các số thực dương $a,b$ thỏa mãn điều kiện $a+b=ab$. Chứng minh rằng: $a^b+b^a>6$

Bài này dùng bernulli là ngon 

[Baoriven]

Bài này dùng Bernoulli.

Từ giả thiết ta có: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1\Rightarrow a,b> 1,b=\frac{a}{a-1}$

Ta chứng minh: $a^{\frac{a}{a-1}}+(\frac{a}{a-1})^a>6$

Ta có: $a^{\frac{a}{a-1}}=(1+a-1)^{\frac{a}{a-1}}\geq 1+a$

           $(\frac{a}{a-1})^a=(1+\frac{1}{a-1})^a\geq 1+\frac{a}{a-1}$

Suy ra: $a^{\frac{a}{a-1}}+(\frac{a}{a-1})^a\geq 2+a+\frac{a}{a-1}=4+(a-1)+\frac{1}{a-1}\geq 6$

Dấu bằng ko xảy ra nên ta có đpcm