$$\sum \,\,\,\frac{a^4+1}{a^8+a^4+1}\,\,\,\leqq 2$$
#1
Đã gửi 03-05-2018 - 09:15
#2
Đã gửi 03-05-2018 - 15:34
1. Chứng minh bất đẳng thức đúng với $abc= 1$
2. Cho mình hỏi về cách dùng hàm để giải bài này. Mình cảm ơn!
#3
Đã gửi 03-05-2018 - 17:34
Thực hiện đổi biến: $(a^4;b^4;c^4) \rightarrow (x,y,z) \Rightarrow xyz=1$
Bất đẳng thức trở thành:
$\frac{{x + 1}}{{{x^2} + x + 1}} + \frac{{y + 1}}{{{y^2} + y + 1}} + \frac{{z + 1}}{{{z^2} + z + 1}} \le 2$
Nếu là hàm số:
Ta sẽ đi xác định số $k$:
$\frac{{x + 1}}{{{x^2} + x + 1}} \le \frac{2}{3} + k\ln x$
Lấy đạo hàm 2 vế thu được $k=\frac{-1}{3}$
Ta sẽ chứng minh:
$f\left( x \right) = \frac{2}{3} - \frac{1}{3}\ln {\rm{x}} - \frac{{x + 1}}{{{x^2} + x + 1}} \ge 0$
Tính đạo hàm: $f'\left( x \right) = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {1 + 3x - {x^3}} \right)}}{{3{\rm{x}}{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)}^2}}}$ thấy phương trình $f'(x)=0$ có nghiệm là $x=1$
Đạo hàm tiếp: $f''(x)=\frac{{{x^6} - 3{x^5} - 12{x^4} + 7{x^3} + 12{x^2} + 3x + 1}}{{3{{\rm{x}}^2}{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)}^3}}}$
Có $f''(1)>0$
Vậy $f(x) \ge f(1)$
Lậy 2 bất đẳng thức tương tự và chú ý: $lnx+lny+lnz=ln xyz=0$ thu được điều phải chứng minh.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tr2512: 04-05-2018 - 13:04
- viet9a14124869, DOTOANNANG và thanhdatqv2003 thích
#4
Đã gửi 13-05-2018 - 15:05
Tính đạo hàm: $f'\left( x \right) = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {1 + 3x - {x^3}} \right)}}{{3{\rm{x}}{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)}^2}}}$ thấy phương trình $f'(x)=0$ có nghiệm là $x=1$
Vẫn còn nghiêm dương khác là 1, 8794
- thanhdatqv2003 yêu thích
#5
Đã gửi 13-05-2018 - 20:10
Vẫn còn nghiêm dương khác là 1, 8794
Nghiệm này thay vào $f''(x)$ thì $f''(1.84)<0$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tr2512: 13-05-2018 - 20:10
- DOTOANNANG yêu thích
#6
Đã gửi 13-05-2018 - 20:43
Đặt $a^4=\frac{x^2}{yz};b^4=\frac{y^2}{xz};c^4=\frac{z^2}{xy}$.
Ta có: $\sum \frac{a^8}{a^8+a^4+1}=\sum \dfrac{\dfrac{x^4}{y^2z^2}}{\dfrac{x^4}{y^2z^2}+\dfrac{x^2}{yz}+1}=\frac{x^4}{x^4+x^2yz+y^2z^2}\geq \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{\sum x^4+xyz(x+y+z)+\sum y^2z^2}\geq 1$
Suy ra $\sum \frac{a^4+1}{a^8+a^4+1}\leq 2$
- DOTOANNANG và Fabffriver thích
$\sqrt[LOVE]{MATH}$
"If I feel unhappy, I do mathematics to become happy. If I am happy, I
do mathematics to keep happy" - Alfréd Rényi
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: inequality
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh