Với các số thực $a,\,b,\,c$ thì:
$$\left ( a^{2}+ b^{2}+ c^{2} \right )^{2}\geqq 3\left ( a^{3}b+ b^{3}c+ c^{3}a \right )$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 14-06-2018 - 10:59
Với các số thực $a,\,b,\,c$ thì:
$$\left ( a^{2}+ b^{2}+ c^{2} \right )^{2}\geqq 3\left ( a^{3}b+ b^{3}c+ c^{3}a \right )$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 14-06-2018 - 10:59
Với các số thực $a,\,b,\,c$ thì:
$$\left ( a^{2}+ b^{2}+ c^{2} \right )^{2}\geqq 3\left ( a^{3}b+ b^{3}c+ c^{3}a \right )$$
Spoiler
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tr2512: 14-06-2018 - 13:19
$$\left ( a^{2}+ b^{2}+ c^{2} \right )^{2}- 3\left ( a^{3}b+ b^{3}c+ c^{3}a \right )= \frac{\sum\limits_{cyc}\left ( -5\,ab-2\,bc+7\,ca+ a^{2}+ 3\,b^{2}- 4\,c^{2} \right )^{2}}{26}$$
Với các số thực $a,\,b,\,c$ thì:
$$\left ( a^{2}+ b^{2}+ c^{2} \right )^{2}\geqq 3\left ( a^{3}b+ b^{3}c+ c^{3}a \right )$$
Spoiler
$$a^{4}\,+\, b^{4}\,+\, c^{4}\,+\, 17\,\left ( a^{2}b^{2}+ b^{2}c^{2}+ c^{2}a^{2} \right )\,\geqq\, 6\,\left ( a+ b+ c \right )\,\left ( a^{2}b+ b^{2}c+ c^{2}a \right )$$
$$a^{4}\,+\, b^{4}\,+\, c^{4}\,+\, 17\,\left ( a^{2}b^{2}+ b^{2}c^{2}+ c^{2}a^{2} \right )\,\geqq\, 6\,\left ( a+ b+ c \right )\,\left ( a^{2}b+ b^{2}c+ c^{2}a \right )$$
Mình nghĩ cách tiếp cận tốt nhất với học sinh phổ thông cho bài toán như này là giả sử c = min {a; b; c} , đặt a=c+x ,b=c+y rồi khai triển dùng tam thức bậc 2 ...
SÓNG BẮT ĐẦU TỪ GIÓ
GIÓ BẮT ĐẦU TỪ ĐÂU ?
ANH CŨNG KHÔNG BIẾT NỮA
KHI NÀO...? TA YÊU NHAU .
$$a^{4}\,+\, b^{4}\,+\, c^{4}\,+\, 17\,\left ( a^{2}b^{2}+ b^{2}c^{2}+ c^{2}a^{2} \right )\,\geqq\, 6\,\left ( a+ b+ c \right )\,\left ( a^{2}b+ b^{2}c+ c^{2}a \right )$$
Lời giải cụ thể :
Không mất tính tổng quát giả sử a=min{a;b;c}. Đặt b=a+x , c=a+y ($x,y\geq 0$) , bất đẳng thức đã cho tương đương :
$a^4+(a+x)^4+(a+y)^4+17.[a^2(a+x)^2+a^2(a+y)^2+(a+x)^2(a+y)^2)]\geq 6(3a+x+y)[a^2(a+x)+(a+x)^2(a+y)+(a+y)^2)a)]$
$$\Leftrightarrow 4(x^2-xy+y^2)a^2-2(x^3+x^2y-8xy^2+y^3)a+x^4-6x^3y+11x^2y^2+y^4 \geq 0$$
Xét biệt thức delta :
$$\Delta =4(x^3+x^2y-8xy^2+y^3)^2-16(x^2-xy+y^2)(x^4-6x^3y+11x^2y^2+y^4)$$
$$=-12(x^3-5x^2y+2xy^2+y^3)^2\leq 0$$
Do đó theo định lí về dấu của tam thức bậc 2 ta có điều phải chứng minh .
P/S: Có nhầm chỗ nào không nhỉ, anh em xem giùm ...
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi viet9a14124869: 10-07-2018 - 20:47
SÓNG BẮT ĐẦU TỪ GIÓ
GIÓ BẮT ĐẦU TỪ ĐÂU ?
ANH CŨNG KHÔNG BIẾT NỮA
KHI NÀO...? TA YÊU NHAU .
$$a^{4}\,+\, b^{4}\,+\, c^{4}\,+\, 17\,\left ( a^{2}b^{2}+ b^{2}c^{2}+ c^{2}a^{2} \right )\,\geqq\, 6\,\left ( a+ b+ c \right )\,\left ( a^{2}b+ b^{2}c+ c^{2}a \right )$$
$$\Leftrightarrow f\left ( a,\,b,\,c \right )= \frac{3}{4}\left ( - c^{2}+ 2\,ca+ a^{2}- 4\,ab+ 2\,bc \right )^{2}+ \frac{1}{4}\left ( a^{2}- 6\,ac+ c^{2}+ 6\,cb- 2\,b^{2} \right )^{2}\geqq 0$$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh