#2
Đã gửi 28-09-2023 - 16:10
Trước tiên nhắc lại hai kết quả liên quan đến hàm sinh như sau:
- Với $k$ là số tự nhiên thì $\frac{1}{(1-x)^{k+1}}=\sum_{n\ge 0}\binom{n+k}{k}x^n$,
- $\sum_{n\ge 0}\sum_{k\ge 0}F(k,n)x^n=\sum_{k\ge 0}\sum_{n\ge 0}F(k,n)x^n$.
Giờ bắt đầu xử lí bài toán, xét hàm sinh $A(x)=\sum_{n\ge 0}S_nx^n$, ta có
$$\begin{align*}A(x)=\sum_{n\ge 0}\sum_{k\ge 0}\left(\binom{n-k}{k}+\binom{n-k-1}{k-1} \right )x^n=\underbrace{\sum_{n\ge 0}\sum_{k\ge 0}\binom{n-k}{k}x^n}_{B(x)}+\underbrace{\sum_{n\ge 0}\sum_{k\ge 0}\binom{n-k-2}{k}x^n}_{C(x)}.\end{align*}$$
Tiếp đến ta biến đổi $B(x)$ như sau
$$\begin{align*}B(x)&=\sum_{k\ge 0}\sum_{n\ge 0}\binom{n-k}{k}x^n= \sum_{k\ge 0}\sum_{n\ge 0}\binom{n+k}{k}x^{n+2k}=\sum_{k\ge 0}x^{2k}\sum_{n\ge 0}\binom{n+k}{k}x^n\\ &=\sum_{k\ge 0}x^{2k}\cdot \frac{1}{(1-x)^{k+1}}=\frac{1}{1-x}\sum_{k\ge 0}\left(\frac{x^2}{1-x} \right )^k=\frac{1}{1-x}\cdot\frac{1}{1-\frac{x^2}{1-x}}=\frac{1}{1-x-x^2}.\end{align*}$$
$C(x)$ thì hoàn toàn tương tự
$$\begin{align*}C(x)&=\sum_{k\ge 0}\sum_{n\ge 0}\binom{n-k-2}{k}x^n= \sum_{k\ge 0}\sum_{n\ge 0}\binom{n+k}{k}x^{n+2k+2}=\sum_{k\ge 0}x^{2k+2}\sum_{n\ge 0}\binom{n+k}{k}x^n\\ &=\sum_{k\ge 0}x^{2k+2}\cdot \frac{1}{(1-x)^{k+1}}=\frac{x^2}{1-x}\sum_{k\ge 0}\left(\frac{x^2}{1-x} \right )^k=\frac{x^2}{1-x}\cdot\frac{1}{1-\frac{x^2}{1-x}}=\frac{x^2}{1-x-x^2}.\end{align*}$$
Do vậy $A(x)=\frac{1+x^2}{1-x-x^2}$. Mặt khác ta biết rằng hàm sinh bởi dãy Lucas là $\sum_{n\ge 0}L_nx^n=\frac{2-x}{1-x-x^2}.$ Dẫn đến
\[A(x)=-1+\frac{2-x}{1-x-x^2}=-1+\sum_{n\ge 0}L_nx^n=1+\sum_{n\ge 1}L_nx^n.\]
Ghi chú. Tài liệu tham khảo về phương pháp này có Chuyên đề Đẳng thức tổ hợp của diễn đàn ta, hoặc Summation của Evan Chen.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 28-09-2023 - 17:47
- perfectstrong và hxthanh thích
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: summation, đtth
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Tổ hợp và rời rạc →
Tính tổng $\sum_{j=0}^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor} {n\choose 2j} {j\choose k}$Bắt đầu bởi hxthanh, 03-04-2023 summation, đtth |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Tổ hợp và rời rạc →
Tính tổng $\sum_{0\le k\le n/2} \frac{(-1)^kn}{n-k}{n-k\choose k}$Bắt đầu bởi hxthanh, 01-04-2023 đtth |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Dãy số - Giới hạn →
Tìm $(a_m), (b_m)$ thoả $\sum_{k=1}^n\left\lfloor\frac{k^2}{m}\right\rfloor=\left\lfloor\dfrac{2n^3+3n^2+a_mn+b_m}{6m}\right\rfloor$Bắt đầu bởi hxthanh, 28-03-2023 floor, floor-function và . |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Giải tích →
Dãy số - Giới hạn →
$\sum_{k=0}^n \frac{1}{u_k}$Bắt đầu bởi hxthanh, 24-08-2022 summation |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Tìm điều kiện để có đẳng thức phần nguyênBắt đầu bởi hxthanh, 05-08-2022 floor function, summation |
|
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh