Dung Dang Do

Viết a,b, cho dễ nhìn nhóe

$\left (\sqrt{a^3+a^2b}+\sqrt{b^3+b^2a}  \right )^2=a^3+b^3+a^2b+b^2a+2\sqrt{(a^3+a^2b)(b^3+b^2a)}$

$=a^3+b^3+a^2b+b^2a+2\sqrt{a^2b^2(a+b)^2}=a^3+b^3+3a^2b+3b^2a$

$=(a+b)^3$

Suy ra Q^3=a^2 Okie

sử dụng bất đẳng thức cauchy ta có:

$x^2+\frac{1}{x^2}\geq 2\sqrt{x^2.\frac{1}{x^2}}=2$

$\rightarrow \sum \sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}\geq 3\sqrt{2}$

các mod kiểm tra xem sai chỗ nào nhé, em thấy nó kỳ kỳ...

Nếu dùng $x^2+\frac{1}{x^2}\ge 2$ thì dấu bằng xảy ra $x=y=1$ trái với giả thiết mà :3

$$M \ge \frac{(x+y)^2}{2}+\frac{4}{x+y}$$

Đặt t=x+y

$$M\ge \frac{t^2}{2}+\frac{4}{t}=\frac{t^2}{2}+\frac{1}{2t}+\frac{7}{2t}\ge.....$$

Anh ơi em không rõ chỗ này, cảm phiền anh biến đổi giùm em ạ

Tớ viết nhầm cậu ạ 

Đoạn đó là $$a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b)\ge0$$ Em khai triển ra mà xem nó đúng = cái gt của em

Chả phải BĐT Schur hay sao

$$ a^3+b^3+c^3+3abc\ge a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)$$

$$ \to a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b+a)+c(c-a)(c-b)\ge 0$$

TH1: Có 2 trong 3 số bằng nhau thì BĐT đúng

TH2: Ko có số nào = nhau.Giả sử a>b>c Chia cho  $(a-b)(b-c)(c-a)$ ta có ngay đpcm

mình nghĩ thì đưa về dạng

P=$3-\sum \frac{2(a+b)c}{c^{2}+(a+b)^{2}}$

rồi chứng minh $\sum \frac{2(a+b)c}{c^{2}+(a+b)^{2}}\leq \frac{12}{5}$ 

nhưng mà làm đến đây thì bó tay 

Giúp cậu 1 tay 

Cần chứng minh $$\sum \frac{a(b+c)}{(b+c)^2+a^2}\le \frac{6}{5}\to \sum \frac{a(3-a)}{2a^2-6a+9}$$

Lại có đánh giá như sau 

$$\frac{a(3-a)}{2a^2-6a+9}\le\frac{21+9a}{25}\to \frac{(a-1)^2(18a+9)}{25(2a^2-6a+9)}\ge 0   \text{   (\text{   True  })}$$

Đánh giá này còn gọi là kĩ thuật tiếp tuyến (u.c.t)

BĐT này thì đúng rồi. tuy nhiên để có min thì hiển nhiên nó ngược dấu mất rồi.

 Chả phải từ BĐT tớ nói thì 

$$\sum \sqrt{a+b-c}\le \sum \sqrt{a} \to 2\sum \sqrt{a}-\sum \sqrt{a+b-c}\ge 2\sum \sqrt{a}-\sum \sqrt{a}=\sum \sqrt{a}$$

Mấy bài này nên cho giả thiết a+b+c=3 có vẻ hay hơn đó

Bạn làm tiếp được không ạ, vì thực ra thì từ điều kiện làm sao mà ra được.

Bởi vì $\sum \sqrt{a} \le \sum a^2$

$$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\le \sqrt{\frac{x+y}{2}}+\sqrt{\frac{z+y}{2}}+\sqrt{\frac{x+z}{2}}$$

Lại có theo BĐT $\text{CauChy-Schwarzt}$ ta có

$$2(x+y)\ge (\sqrt{x}+\sqrt{y})^2\to \frac{x+y}{2}\ge \frac{\left (\sqrt{x}+\sqrt{y}  \right )^2}{4}\to \sqrt{\frac{x+y}{2}}\ge \frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{2}$$

3 lần như vầy là ra

Đúng k nhở???

_______

TKVN

Bài này cần gì chuẩn hóa. 2 Cách bình thường thôi

=))

Cách 1: Dùng CauChy như sau.

$\left (\frac{ab}{c^2}+\frac{a}{b}  \right )+\left (\frac{ab}{c^2}+\frac{b}{a}  \right )\ge 2\frac{a+b}{c}$

Tương tự 3 lần là ra  

Cách 2: Một cách tớ làm cho 1 nhóm BĐT có cách làm trong ảnh

______

TKVN

$$\sum \sqrt{\frac{1}{1+(\frac{b+c}{a})^3}}=\sum \frac{1}{\sqrt{(1+x)(x^2-x+1)}}\ge \sum \frac{2}{x^2+2}\le 1$$

$$\sum \frac{a^5}{a^2+ab+b^2}=\frac{a^6}{a^3+a^2b+b^2a} \ge \frac{(a^3+b^3+c^3)^2}{a^3+b^3+c^3+ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)}$$

$$\ge \frac{(a^3+b^3+c^3)^2}{3(a^3+b^3+c^3}$$

Cho $a,b,c\ge0$. $a+b+c=3$. Chứng minh rằng

$$(\sqrt{a}+1)(\sqrt{b}+1)(\sqrt{c}+1)\ge 8a^{25092013}b^{25092013}c^{25092013}$$

_____

Mới chế sơ sơ. Có lẽ đề đúng

Thế này nè :Áp dụng Hệ quả C-S ta có 

$ \sum \frac{a^6}{b^3+c^3} \ge \frac{(a^3+b^3+c^3)^2}{2(a^3+b^3+c^3)} =\frac{a^3+b^3+c^3}{2}$

Lại có

$a^3+ \frac{1}{27}+ \frac{1}{27} \ge \frac{a}{3}$

$b^3+ \frac{1}{27}+ \frac{1}{27} \ge \frac{b}{3}$

$c^3+ \frac{1}{27}+ \frac{1}{27} \ge \frac{c}{3}$

Suy ra $$\frac{a^3+b^3+c^3}{2} \ge \frac{\frac{a+b+c}{3}}{2}=\frac{1}{6}$$

Ta có: Áp dụng BĐT $\text{Mincopki} $ suy ra 

$$A \ge \sqrt{(x+y+z)^2+(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^2}$$

$$\ge \sqrt{(x+y+z)^2+\frac{81}{(x+y+z)^2}}$$

Đặt $(x+y+z)^2=t$

Suy ra $$A=\sqrt{t+81/t}=\sqrt{t+\frac{1}{t} +\frac{80}{t}} \ge \sqrt{2+80}$$