hungnp

Tìm các số nguyên dương $a$, $b$ sao cho $a^2+b^2+ab$ là số chính phương?

 

Giải phương trình $2x+\frac{x-1}{x}=\sqrt{1-\frac{1}{x}}+3\sqrt{x-\frac{1}{x}}$

TXĐ của phương trình: $D=[-1;0) \cup [1;+\infty)$.

 

Nhận xét:

Phương trình này nếu dùng máy tính khảo sát thì thấy có hai nghiệm: $x_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=1,618033989$ và $x_2=-0.069247017$.

Bài làm của bạn PTKBLYT9C1213 không chặt chẽ như tôi đã nói ở trên và chỉ ra được một nghiệm $x_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.

 

Một ý tưởng của tôi:

Phương trình đề cho viết lại như sau:

$$2(x+1)-2+\left(1-\frac{1}{x}\right)-\sqrt{1-\frac{1}{x}}-3\sqrt{(x+1)\left(1-\frac{1}{x}\right)}=0$$

 

Đặt hai ẩn phụ: $u=\sqrt{1-\frac{1}{x}}$ và  $v=\sqrt{x+1}$

Phương trình đề cho trở thành:

$$2v^2-3u.v+(u^2-u-2)=0$$

 

Biệt thức: $\Delta =9u^2-8(u^2-u-2)=(u+4)^2$ là số chính phương.

Do đó ta suy ra: $\left[ \begin{array}{} v=u+1\\ v=\frac{1}{2}u-1\end{array}\right.$

 

Trường hợp 1: $v=u+1$ ta có phương trình:

 

$\sqrt{x+1}=\sqrt{1-\frac{1}{x}}+1$

$\Rightarrow 2\sqrt{1-\frac{1}{x}}=x+\frac{1}{x}-1$

$\Rightarrow 4\left(1-\frac{1}{x}\right)=x^2+\frac{1}{x^2}+3-2x-\frac{2}{x}$

$\Rightarrow \left(x-\frac{1}{x}\right)^2-2\left(x-\frac{1}{x}\right)+1=0$

$\Rightarrow x-\frac{1}{x}=1$

$\Rightarrow x=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$

Thử lại thấy $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ thoả phương trình đề cho.

 

Trường hợp 2: $u=2v+2$ ta có phương trình:

$\sqrt{1-\frac{1}{x}}=2\sqrt{x+1}+2$

$\Rightarrow 1-\frac{1}{x}=4x+8\sqrt{x+1}+8$

$\Rightarrow 8\sqrt{x+1}=-7-\frac{1}{x}-4x$

$\Rightarrow 16x^2+\frac{1}{x^2}-8x+\frac{14}{x}-7=0$

$\Rightarrow 16x^4-8x^3-7x^2+14x+1=0$

Tôi không giải quyết được phương trình bậc bốn này, các cao thủ hãy thảo luận thêm.

Giải các phương trình sau:

$\sqrt{3x-2}+\sqrt{x-1}=4x-9+2.\sqrt{3x^{2}-5x+2}$

Tóm tắt hướng giẳi:

Đặt $t=\sqrt{3x-2}+\sqrt{x-1}$ thì $4x+2.\sqrt{3x^{2}-5x+2}=t^2+3$

Thế vào phương trình ta được: $t^2-t-6=0$

Giải ra $t$ rồi ra $x$.

Hình như cách này hơi lạ:

Hệ pt $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\log _2(4-2^x)=\sqrt{2-y^2} & & \\ \log_2(4-2^y)=\sqrt{2-x^2} & & \end{matrix}\right.$

Thay lại vào hệ ta được: $\left\{\begin{matrix}2^x+2^{\log_2(4-2^x)}=4 & & \\ 2^y+2^{\log_2(4-2^y)}=4 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2^x+2^{2-x}=4 & & \\ 2^y+2^{2-y}=4 & & \end{matrix}\right.$ $ \Leftrightarrow 2^x=2^y=2\Leftrightarrow x=y=1$ (thỏa điều kiện)

Vậy (1;1) là nghiệm duy nhất của hệ.

 

P/s: cách này sai ở đâu ?

Sai ở bước này: $$\left\{\begin{matrix}2^x+2^{\log_2(4-2^x)}=4 & & \\ 2^y+2^{\log_2(4-2^y)}=4 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2^x+2^{2-x}=4 & & \\ 2^y+2^{2-y}=4 & & \end{matrix}\right.$$

 

Vì $2^{\log_2(4-2^x)}=4-2^x$ chứ không bằng $2^{2-x}$.

Mặc dù bạn river... đã hướng dẫn cách làm ở trên nhưng tôi cũng trình bày chi tiết lời giải vì tôi thấy đề bài này khá hay.

 

ĐK: $x\geq 0$. Từ pt(1) ta suy ra $x=0$ không là nghiệm của hệ phương trình vậy nên $x$ phải dương. Từ pt(2) suy ra:

$$y=\frac{x+\sqrt{x^2+1}}{x^2\left(2+2\sqrt{4y^2+1}\right)}$$

nên $y$ cũng phải dương.

 

Chia 2 vế của pt(2) cho $x^2$ ta được:

$$2y\left(1+\sqrt{1+(2y)^2}\right)=\frac{1}{x}\left(1+\sqrt{1+\left(\frac{1}{x}\right)^2}\right)$$

$$\Leftrightarrow f(2y)=f(\frac{1}{x})$$

với $f(t)=t\left(1+\sqrt{1+t^2}\right)$ và $t>0$

 

Đạo hàm: $ f'(t)=1+\sqrt{1+t^2}+\frac{t^2}{\sqrt{1+t^2}}>0$ với mọi $t>0$. Hàm số $f(t)$ đồng biến trên khoảng $(0;+\infty)$. Do đó ta có $2y=\frac{1}{x}$ hay $y=\frac{1}{2x}$

 

Pt(1) trở thành: $(x^2+1)(x+2\sqrt{x})=6$   (3)

Nhẩm thấy $x=1$ là nghiệm của pt(3). Việc chứng minh đây là nghiệm duy nhất thì không khó.

 

Vậy hệ pt đề cho có một nghiệm là $\left(1;\frac{1}{2}\right)$.

Tôi đề nghị nên sửa tên topic này: dùng từ "cực trị" là không chính xác, phải sửa lại thành từ "giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất".

Có thể dùng cách này cho mọi bài toán có dạng:

$$\left\{\begin{matrix}\sqrt{X+\alpha_1}+\sqrt{Y+\beta_1}=\gamma_1\\ \sqrt{X+\alpha_2}+\sqrt{Y+\beta_2}=\gamma_2 \end{matrix}\right.$$

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}\sqrt{x+1}+\sqrt{y-1}=4\\ \sqrt{x+6}+\sqrt{y+4}=6 \end{matrix}\right.$

Mình đề nghị một cách giải nữa!

 

ĐK: $x\geq -1$ và $y\geq 1$

Hệ phương trình đề cho tương đương: $\left\{\begin{matrix}\sqrt{x+6}+\sqrt{x+1}+\sqrt{y+4}+\sqrt{y-1}=10\\ \sqrt{x+6}-\sqrt{x+1}+\sqrt{y+4}-\sqrt{y-1}=2 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\sqrt{x+6}+\sqrt{x+1}+\sqrt{y+4}+\sqrt{y-1}=10\\ \frac{5}{\sqrt{x+6}+\sqrt{x+1}}+\frac{5}{\sqrt{y+4}+\sqrt{y-1}}=2\end{matrix}\right.$

 

Đặt $u=\sqrt{x+6}+\sqrt{x+1}$  và  $v=\sqrt{y+4}+\sqrt{y-1}$ thì ta được: $\left\{\begin{matrix}u+v=10\\ \frac{5}{u}+\frac{5}{v}=2 \end{matrix}\right.$

Giải hệ ta được $u=v=5$

Giải ra được $x=3$ và $y=5$

Câu 1 (2,0 điểm). Tìm GTLN, GTNN của:

$$A = sin^3x+cos^3x-sinxcosx+sinx+cosx$$

Ta có $ f(x)=\left(\sin x+\cos x\right)\left(1-\sin x\cos x\right)-\sin x\cos x+(\sin x+\cos x)$

Đặt ẩn phụ $t=\sin x+\cos x$ thì ta có $-\sqrt{2}\leq t\leq \sqrt{2}$ và $\sin x\cos x=\frac{t^2-1}{2}$

Hàm số trở thành: $g(t)=t\left(1-\frac{t^2-1}{2}\right)-\frac{t^2-1}{2}+t=-\frac{1}{2}t^3-\frac{1}{2}t^2+\frac{5}{2}t+\frac{1}{2}$

Đạo hàm: $g'(t)=-\frac{3}{2}t^2-t+\frac{5}{2}$

$g'(t)=0\Leftrightarrow -\frac{3}{2}t^2-t+\frac{5}{2}=0\Leftrightarrow t=1$ hoặc $t=-\frac{5}{3}\notin [-\sqrt{2};\sqrt{2}]$

Ta có:

$g(\sqrt{2})=\frac{-1+3\sqrt{2}}{2}$

$g(-\sqrt{2})=-\frac{1+3\sqrt{2}}{2}$

$g(1)=2$

Vậy:

$\max_{\mathbb{R}}f(x)=\max_{[-\sqrt{2};\sqrt{2}]}g(t)=2$

$\min_{\mathbb{R}}f(x)=\min_{[-\sqrt{2};\sqrt{2}]}g(t)=-\frac{1+3\sqrt{2}}{2}$

Chiều thuận đương nhiên là đúng.
Quá dễ nhận thấy vì mệnh đề đảo không đúng.
Giả sử vế phải đúng thì có $x_1$ làm $P(x)$ đúng và có giá trị $x_2$ làm $Q(x)$ đúng. Nhưng không có gì đảm bảo $x_1=x_2$ nên không chắc có $x$ chung để hai mệnh đề $P(x)$ và $Q(x)$ cùng đúng.

Giải phương trình $8x(x+\sqrt{x^{2}-3x+2})-1=12x+7(\sqrt{x-1}+\sqrt{x-2})$

Dễ thấy ĐK là $x\geq 2$.

Đặt $t=\sqrt{x-1}+\sqrt{x-2}$. Vì đạo hàm $t'=\frac{1}{2\sqrt{x-1}}+\frac{1}{2\sqrt{x-2}}>0$ với mọi$x>2$ nên $t$ là hàm số đồng biến trên $[2;+\infty)$. Vậy $t\geq 1$

 

Ta có $t^2=2x-3+2\sqrt{x^2-3x+2}\Rightarrow x+\sqrt{x^2-3x+2}=\frac{t^2+3}{2}$

Phương trình đề cho trở thành:

$$ 4x(t^2+3)-1=12x+7t\Leftrightarrow 4xt^2-7t-1=0\Leftrightarrow x=\frac{7t+1}{4t^2}=f(t)$$

Đạo hàm của $f(t)$ là: $f'(t)=\frac{-28t^2-8t}{16t^4}=\frac{-7t-2}{4t^3}<0$ với mọi $t\geq 1$. Do đó $\text{VP}=f(t)\leq f(1)=2$

Mà $\text{VT}=x\geq 2$

Vậy phương trình chỉ thoả khi $\text{VT}=\text{VP}=2\Leftrightarrow x=2$

Tìm $m$ để phương trình sau có nghiệm thực : 

$\sqrt{1-x}+\sqrt{4+x}+\sqrt{x^{2}+3x+\frac{9}{4}}=m$

NHẬN XÉT: $(1-x)(4+x)=-x^2-3x+4$

ĐK: $\left\{\begin{matrix} 1-x\geq 0\\ 4+x\geq 0\\ x^2+3x+\frac{9}{4}\geq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow -4\leq x\leq -\frac{3}{2}$

Đặt $t=\sqrt{1-x}+\sqrt{4+x}\Rightarrow \frac{t^2-5}{2}=\sqrt{-x^2-3x+4}$

$\Rightarrow \sqrt{x^2+3x+\frac{9}{4}}=\sqrt{\frac{25}{4}-\frac{t^4-10t^2+25}{4}}=t\sqrt{10-t^2}$

 

Xem $t$ là hàm theo $x$, ta tìm miền giá trị của $t$ khi $x\in [-4;-\frac{3}{2}]$

Đạo hàm: $t'=\frac{1}{2\sqrt{4+x}}-\frac{1}{2\sqrt{1-x}}$

$t'=0\Leftrightarrow \sqrt{4+x}=\sqrt{1-x}\Leftrightarrow x=-\frac{3}{2}$

Vẽ BBT của $t$ ta suy ra $t\in [\sqrt{5};\sqrt{10}]$

 

PT đề cho trở thành: $t+t\sqrt{10-t^2}=m$

Đặt $f(t)=t+t\sqrt{10-t^2}$ với $t\in [\sqrt{5};\sqrt{10}]$

Đạo hàm: $f'(t)=1+\sqrt{10-t^2}-\frac{t^2}{\sqrt{10-t^2}}=\frac{\sqrt{10-t^2}+10-2t^2}{\sqrt{10-t^2}}$

Giải phương trình: $f'(t)=0\Leftrightarrow \sqrt{10-t^2}=2t^2-10\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
2t^2-10\geq 0\\
10-t^2=(2t^2-10)^2
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
t^2\geq 5\\
4t^4-39t^2+90=0
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow t^2=6\Leftrightarrow t=\sqrt{6} $

BBT của $f(t)$

$$\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline t & \; & \sqrt{5} & \; & \sqrt{6} & \; & \sqrt{10} &\; \\ \hline f'(t) \; & & & + & 0 & - & & \\ \hline & \; & \; & \; & 3\sqrt{6} & \; & \; & \; \\ f(t) & \; & \; & \nearrow & \; & \searrow & \; & \\ & \; & 5+\sqrt{5} & \; & \; & \; & \sqrt{10} & \\ \hline \end{array}$$

Vậy pt có nghiệm khi: $\sqrt{10}\leq m\leq 3\sqrt{6}$

Giải phương trình: $$1+\frac{2}{3}\sqrt{x-x^2}=\sqrt{x}+\sqrt{1-x}$$

 

ĐK: $0\leq x\leq 1$

Đặt $t=\sqrt{x}+\sqrt{1-x}$, ĐK: $t\geq 0$. Khi đó $\sqrt{x-x^2}=\frac{t^2-1}{2}$

PT trở thành:

$$1+\frac{1}{3}(t^2-1)=t\Leftrightarrow t^2-3t+2=0\Leftrightarrow \left [ \begin{matrix} t=1\\ t=2 \end{matrix}\right. $$

Với $t=1$ ta có $\sqrt{x-x^2}=0\Leftrightarrow \left [ \begin{matrix} x=0\\ x=1 \end{matrix}\right.$

Với $t=2$ ta có $\sqrt{x-x^2}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow -x^2+x-\frac{9}{4}=0$ (vô nghiệm)

MỞ RỘNG: Tìm giá trị của tham số $m$ để phương trình sau đây có nghiệm thưc?

$$3\left(\sqrt{2x+1}+\sqrt{x}-2x+m\right)-4\sqrt{2x^2+x}=0$$

 

ĐÁP SỐ: $m\geqslant 1$

Phương trình đề cho viết lại như sau:
$$ 3\left(\sqrt{2x+1}+\sqrt{x}\right)-2\left(3x+2\sqrt{2x^2+x}\right)+33=0$$
Đặt $ t=\sqrt{2x+1}+\sqrt{x}$, ĐK: $t\geqslant 0$. Khi đó ta có $3x+2\sqrt{2x^2+x}=t^2-1$.
Phương trình đề cho trở thành:
$3t -2(t^2-1)+33=0\Leftrightarrow 2t^2-3t-35=0\Leftrightarrow t=5$ hoặc $t=-\frac{7}{2}$
Loại $t=-\frac{7}{2}$
Với $t=5$ thì ta có:

$ \sqrt{2x+1}+\sqrt{x}=5$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{2x^2+x}=24-3x$

$\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} 24-3x\geqslant 0\\ 4(2x^2+x)=(24-3x)^2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\leqslant 8\\ x^2-148x+576=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=4$