Đến nội dung


dinhnguyenhoangkim

Đăng ký: 20-09-2014
Offline Đăng nhập: 14-09-2016 - 23:24
***--

#591043 $x^{2}-34y^{2}+1 \vdots n$

Gửi bởi dinhnguyenhoangkim trong 26-09-2015 - 22:12

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n là bội của 3 đều tồn tại các số nguyên x, y sao cho

$x^{2}-34y^{2}+1 \vdots n$




#587489 Chứng minh b là lũy thừa n của một số nguyên

Gửi bởi dinhnguyenhoangkim trong 05-09-2015 - 21:23

Cho các số nguyên dương $b, n$. GIả sử với mỗi $k>1$ luôn tồn tại số nguyên $a_k$ sao cho $b-(a_k)^n$ chia hết cho $k$.

Chứng minh rằng $b$ là lũy thừa $n$ của một số nguyên.




#587317 Chứng minh b+1 là lũy thừa của 2

Gửi bởi dinhnguyenhoangkim trong 04-09-2015 - 23:07

Cho các số nguyên dương $b, m, n$. Trong đó $b>1$ và $m>n$. Chứng minh rằng nếu $b^m-1$ và $b^n-1$ có cùng các ước nguyên tố thì $b+1$ là lũy thùa của $2$.




#568796 CHƯƠNG TRÌNH GẶP GỠ TOÁN HỌC 2015

Gửi bởi dinhnguyenhoangkim trong 28-06-2015 - 23:36

Anh cho em hỏi có cần mang theo đồng phục của trường mình không ạ ?




#568692 Chứng minh K thuộc một đường tròn cố định

Gửi bởi dinhnguyenhoangkim trong 28-06-2015 - 16:26

Cho tam giác ABC, trực tâm H, tâm nội tiếp I, M là trung điểm BC, N đối xứng với I qua M. P là một điểm bất kỳ trên đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC. Gọi X, Y, Z là hình chiếu của N lên BC, CP, PB. Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác XYZ. Chứng minh K luôn thuộc một đường tròn cố định khi P di chuyển.




#547434 CM: Với các số a,b,c thỏa mãn: $a^{2} + b^{2} + c^...

Gửi bởi dinhnguyenhoangkim trong 15-03-2015 - 21:24

Từ giả thiết suy ra $a, b, c\in \left ( 0;1 \right )$

Ta có: $A\geq \sum \frac{a^2}{1+b^2+c^2}= \sum \frac{a^2}{2-a^2}$

Ta sẽ chứng minh $\frac{x^2}{2-x^2}\geq \frac{18}{25}x^2-\frac{1}{25},\forall x\in \left ( 0;1 \right )$ (1)

Ta có: (1) $\Leftrightarrow 25x^2\geq \left ( 18x^2-1 \right )\left ( 2-x^2 \right ),\forall x\in \left ( 0;1 \right )$

                 $\Leftrightarrow \left ( 3x^2-1 \right )^2\geq 0,\forall x\in \left ( 0;1 \right )$ (đúng)

Vậy $A\geq \frac{18}{25}\left ( a^2+b^2+c^2 \right )-\frac{3}{25}= \frac{18}{25}-\frac{3}{25}= \frac{3}{5}$

       $\Rightarrow$ đpcm




#547410 $\sum \frac{a^{2}}{(ab+2)(2ab+1)...

Gửi bởi dinhnguyenhoangkim trong 15-03-2015 - 20:34

Vì $a, b, c>0$ thỏa $abc= 1$  nên tồn tại các số dương $x, y, z$ sao cho $a= \frac{x}{y};b= \frac{y}{z};c= \frac{z}{x}$

Cần chứng minh $A=\sum \frac{\frac{x^2}{y^2}}{\left ( \frac{x}{z}+2 \right )\left ( \frac{2x}{z}+1 \right )}\geq \frac{1}{3}$

Ta có: $A= \sum \frac{x^2z^2}{\left ( xy+2yz \right )\left ( 2xy+yz \right )}\geq \sum \frac{4x^2z^2}{9\left ( xy+yz \right )^2}\geq \frac{4}{9}.\frac{1}{3}\left ( \sum \frac{zx}{xy+yz} \right )^2\geq \frac{4}{9}.\frac{1}{3}.\left ( \frac{3}{2} \right )^2= \frac{1}{3}$

    $\Rightarrow$ đpcm              




#546804 Tính $A=\sum_{1}^{2014}(\frac{x}...

Gửi bởi dinhnguyenhoangkim trong 12-03-2015 - 22:25

Ta có : $\frac{x}{x^4+x^2+x}= \frac{x}{\left ( x^2+1 \right )^2-x^2}= \frac{x}{\left ( x^2-x+1 \right )\left ( x^2+x+1 \right )}= \frac{1}{2}\left ( \frac{1}{x^2-x+1}-\frac{1}{x^2+x+1} \right )$

      và  $\left ( x+1 \right )^2-\left ( x+1 \right )+1= x^2+x+1$

vậy $A= \frac{1}{2}\left ( \frac{1}{1^2-1+1}-\frac{1}{2014^2+2014+1} \right )= \frac{1}{2}\left ( 1-\frac{1}{2014^2+2014+1} \right )= \frac{2014^2+2014}{2\left ( 2014^2+2014+1 \right )}= \frac{2.1007^2+1007}{2014^2+2014+1}$




#546245 Chứng minh $\sum a^2\sum \frac{1}{\le...

Gửi bởi dinhnguyenhoangkim trong 26-02-2015 - 00:03

Cho các số thực phân biệt a, b, c. Chứng minh

                             $\left ( a^2+b^2+c^2 \right )\left [ \frac{1}{\left ( a-b \right )^2}+\frac{1}{\left ( b-c \right )^2}+\frac{1}{\left ( c-a \right )^2} \right ]\geq \frac{9}{2}$


  • TMW yêu thích


#545840 Chứng minh $\frac{IA^{2}}{bc}+\f...

Gửi bởi dinhnguyenhoangkim trong 24-02-2015 - 10:20

 

2,Cho tam giác ABC có $BC=a,AC=b,AB=c$. $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.Chứng minh $\frac{IA^{2}}{bc}+\frac{IB^{2}}{ac}+\frac{IC^{2}}{ab}=1$

 

Ta có: $a^2=BC^2=\left ( \overrightarrow{IC}-\overrightarrow{IB} \right )^2= IB^2+IC^2-2\overrightarrow{IB}\overrightarrow{IC}$

$\Rightarrow 2\overrightarrow{IB}\overrightarrow{IC}= IB^2+IC^2-a^2$ (1)

Tương tự, ta được: $2\overrightarrow{IC}\overrightarrow{IA}= IC^2+IA^2-b^2$ (2)

                                     $2\overrightarrow{IA}\overrightarrow{IB}= IA^2+IB^2-c^2$ (3)

Ta có đẳng thức quen thuộc sau: 

 $a\overrightarrow{IA}+b\overrightarrow{IB}+c\overrightarrow{IC}= \overrightarrow{0}$

$\Rightarrow \left ( a\overrightarrow{IA}+b\overrightarrow{IB}+c\overrightarrow{IC} \right )^2= 0$

$\Rightarrow a^2IA^2+b^2IB^2+c^2IC^2+2ab\overrightarrow{IA}\overrightarrow{IB}+2bc\overrightarrow{IB}\overrightarrow{IC}+2ca\overrightarrow{IC}\overrightarrow{IA}= 0$ (4)

Thay (1), (2) và (3) vào (4) ta được 

 $\left (a+b+c \right )\left (aIA^2+bIB^2+cIC^2 \right )= abc\left ( a+b+c \right )$

$\Rightarrow \frac{IA^2}{bc}+\frac{IB^2}{ca}+\frac{IC^2}{ab}= 1$

 




#545775 Chứng minh $a^2+b^2+c^2+abc= 4$

Gửi bởi dinhnguyenhoangkim trong 23-02-2015 - 21:36

Chúng ta có: $x_1;x_2=\frac{-a\pm \sqrt{a^2-4}}{2};x_3;x_4=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4}}{2}$.

Th1: $x_1;x_3$; với $x_2;x_4$. có: $x_5=x_1.x_3=\frac{(-a+\sqrt{a^2-4})(-b+\sqrt{b^2-4})}{4};x_6=x_2.x_4=\frac{(-a-\sqrt{a^2-4})(-b-\sqrt{b^2-4})}{4}$.

Mặt khác: $x_5.x_6=1$.

$x_5+x_6=-c\Leftrightarrow \Leftrightarrow ab+\sqrt{(a^2-4)(b^2-4)}=-c\Leftrightarrow \sum a^2+2abc=4$.

Th2: Tương tự.

Nát   :(

 

Bạn Huong TH Phan tính toán nhầm rồi. Đề đúng vẫn là abc chứ không phải là 2abc đâu.

$x_{5}+x_{6}= -c\Leftrightarrow ab+\sqrt{\left ( a^2-4 \right )\left( b^2-4 \right )}= -2c\Rightarrow a^2+b^2+c^2+abc= 4$




#545748 $\frac{1}{x^2+2y^2z^2+1}+\frac{1...

Gửi bởi dinhnguyenhoangkim trong 23-02-2015 - 20:36

Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn: $$x+y+z=3xyz$$. Chứng minh bất đẳng thức sau:

$$\frac{1}{x^2+2y^2z^2+1}+\frac{1}{y^2+2z^2x^2+1}+\frac{1}{z^2+2x^2y^2+1}\leq \frac{3}{4}$$

 

Đặt $A= \sum \frac{1}{x^2+2y^2z^2+1}$

 

Ta có: $3xyz= x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}\Leftrightarrow xyz\geq 1$

 

Ta có: $\frac{1}{x^2+2y^2z^2+1}= \frac{1}{x^2+y^2z^2+y^2z^2+1}\leq \frac{1}{2xyz+2yz}\leq \frac{1}{4}\left ( \frac{1}{2xyz}+\frac{1}{2yz} \right )$

 

Làm tương tự rồi cộng lại ta được $A\leq \frac{3}{8xyz}+\frac{1}{8}\sum \frac{1}{xy}= \frac{3}{8xyz}+\frac{x+y+z}{8xyz}\leq \frac{3}{8}+\frac{3}{8}= \frac{3}{4}$ (do $xyz\geq 1$ và $\frac{x+y+z}{xyz}= 3$$\Rightarrow$ đpcm




#545747 $\frac{1}{x^2+2y^2z^2+1}+\frac{1...

Gửi bởi dinhnguyenhoangkim trong 23-02-2015 - 20:32

 




#544775 Chứng minh EF luôn qua điểm cố định.

Gửi bởi dinhnguyenhoangkim trong 18-02-2015 - 11:04

Bài này đã có rồi. Bạn vào đây xem nè. 

http://diendantoanho...nh/#entry544753




#544747 Chứng minh $\sum \frac{1}{2a+1}\geq1...

Gửi bởi dinhnguyenhoangkim trong 18-02-2015 - 01:01

Do a, b, c > 0 và abc=1 nên tồn tại các số thực dương x, y, z sao cho  

a=$\frac{x}{y}$, b=$\frac{y}{z}$, c=$\frac{z}{x}$.

Cần chứng minh $\sum \frac{1}{\frac{2x}{y}+1}$ $\geq$ 1 .

Ta có: $\sum \frac{1}{\frac{2x}{y}+1}$=$\sum \frac{x}{2z+x}$=$\sum \frac{x^2}{2xz+x^2}$ $\geq$ $\frac{(x+y+z)^2}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx}$=1.