hanguyen445

Biến đổi và sử dụng bất đẳng thức Cauchy-schwarz:

Cho a,b,c >0.Chứng minh: $\sum \frac{a^3b}{a+b}\geq \sum \frac{a^2bc}{2a+b+c}$

? cho $a,b,c>0$. Chung minh $\sum\dfrac{a^3b}{a+b}\ge\sum\dfrac{2a^2bc}{2a+b+c}$

Cho $x,y,z$ là các số thực dương thuộc $(0;1)$ thỏa mãn $2xyz+x+y+z=1+xy+yz+zx$

Chứng minh rằng:

$$x^3+y^3+z^3+5xyz\ge 1$$

Bài toán: Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $\dfrac{27a^2}{2}+4b^2+c^2=1-2bc$. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=3a+2b+c$.

Đề thi vào 10 Chuyên Biên Hòa - Hà Nam (2016)

Ta qui về bài toán đối xứng với hai biến và sử dụng BĐT cauchy-schwarz 

Cho 3 số thực a,b,c thỏa mãn a+b+c=3. 
Chứng minh: $\frac{a^{3}}{b(2c+a)}+\frac{b^{3}}{c(2a+b)}+\frac{c^{3}}{a(2b+c)}\geq 1$

$$P=\sum\dfrac{a^3}{b(2c+a)}+\sum\dfrac{b(2c+a)}{9}-\sum\dfrac{b(2c+a)}{9}$$

$$\ge\dfrac{2}{3}\sum a^2-\dfrac{ab+bc+ac}{9}=\dfrac{1}{3}\sum a^2+\dfrac{\sum a^2-\sum ab}{3}$$

$$\ge\dfrac{(a+b+c)^2}{9}=1$$

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=3$. Chứng minh rằng

$$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\ge ab+bc+ac$$

Biến đổi và sử dụng BĐT cauchy-schwarz

$\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}+\dfrac{c^2}{z}\ge \dfrac{(a+b+c)^2}{x+y+z}$ với $x,y,z>0$

Đưa về chứng minh BĐT $7(a+b+c)+3abc\ge 24$ với $ab+bc+ac=3$

Chứng minh BĐTb trên nhờ phương pháp dồn biến tạm (Phép chứng minh không được đẹp mắt).

Cho a,b,c > 0 , ab+bc+ac=1. Chứng minh:

$\sum \frac{a}{b^{2}+c^{2}+2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{8}$

Đưa về chứng minh BĐT $7(a+b+c)+3abc\ge 24$ với $ab+bc+ac=3$

vì sao lại ra được như vậy bạn

$(x-1)(x-3)\le 0\iff x^2+3-4x\le 0\iff 3\le 4x-x^2\iff 1\le\dfrac{4x}{3}-\dfrac{x^2}{3}\iff 4\le\dfrac{16x}{3}-\dfrac{4x^2}{3}$

$x+\dfrac{4}{x}\ge 2\sqrt{x.\dfrac{4}{x}}=4.$ Điểm roi $x=\dfrac{4}{x},x\in[1;3]\iff x=2$

$(x-1)(x-3)\le 0\Leftrightarrow 4\le\dfrac{16x}{3}-\dfrac{4x^2}{3}$

$\implies f(x)\le \dfrac{16}{3}-\dfrac{x}{3}\le\dfrac{16}{3}-\dfrac{1}{3}=5$

Hiển nhiên do $x\le 1$. Vậy Max f(x)=5; Min f(x)=4

Đưa BĐT về BĐT schur bậc 3.

Cho $a\geq b\geq c\geq 0$ và $a^2+b^2+c^2=3$

Tìm giá trị lớn nhất của P:

$P=2ab+5bc+8ca+\frac{15}{a+b+c}$

Do $2ab+5bc+8ac\ge 5(ab+bc+ac)\iff ab\ge ac$ luôn đúng $\forall a\ge b\ge c\ge 0$

Suy ra $P\ge 5(ab+bc+ac)+\dfrac{15}{a+b+c}=\dfrac{5(a+b+c)^2}{2}+\dfrac{15}{a+b+c}-\dfrac{15}{2}$

$P-20=\dfrac{5x^2}{2}+\dfrac{15}{x}-20-\dfrac{15}{2}=\dfrac{(x-3)(5x^2+15x-10)}{2x}\le 0(*)$

D0 $(a+b+c)^2\ge 3=a^2+b^2+c^2\ge\dfrac{(a+b+c)^2}{3}\iff \sqrt{3}\le a+b+c\le 3$

Suy ra (*) luôn đúng. Vậy $$P\le 20$$

 Điểm rơi $a=b=c=1$

$P=(a+b)(b+c)(c+a)-2abc=(a+b+c)(ab+bc+ac)-3abc$

Do $6|(a+b+c)$ nên trong 3 số $a,b,c$ phải có ít nhất một số chẵn nên $2|(abc)$

Suy ra $6|(3abc)$; hiển nhiên $6|(a+b+c)(ab+bc+ac)$

Vậy $6|P$

giải pt nghiệm nguyên sau:

$y^2 + y = x^4 + x^3 + x^2 + x$

 

Mọi người trình bày được thì quá tốt ạ

Dùng kẹp