NhatTruong2405

Làm cụ thế được không

Ta co: $\frac{a}{b+c}< \frac{a+a}{a+b+c}< \frac{2a}{a+b+c}$

$\Leftrightarrow \sum \frac{a}{b+c}< \sum \frac{2a}{a+b+c}=2$

Vay $\sum \frac{a}{b+c}< 2$

Ta co: $\sqrt{a(b+c)}\leq \frac{a+b+c}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{a(b+c)}}\geq \frac{2}{a+b+c}$

$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b+c}}\geq \frac{2a}{a+b+c}$

$\Leftrightarrow \sum \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b+c}}\geq \sum \frac{2a}{a+b+c}=2$

BDT duoc chung minh

Cho $a,b,c>0$ và $abc=1$

Chứng minh rằng: $\sum \frac{12a+7}{2a^2+1}\leq 19$

Thử thế này xem:

Xét hàm số: $f(a)=a^3-5abc+b^3+c^3$

$=>f'(a)=3a^2-5bc$

Tìm được 2 nghiệm là: $a_1=\frac{\sqrt{5}bc}{\sqrt{3}}$

$a_2=\frac{-\sqrt{5}bc}{\sqrt{3}}$

Từ đó loại $a_2$, lập bảng biến thiên với $a_1\epsilon \left [ 1,2 \right ]$

Khi đó thì Max f(a)= Max {f(1),f(2)}

Ta có: $f(a)=f(1)=b^3+c^3-5bc+1=f(b)$

Ta có: $f'(b)=3b^2-5c$

Có 2 nghiệm là: $b_1=\frac{\sqrt{5}c}{\sqrt{3}}$

Và $b_2=\frac{-\sqrt{5}c}{\sqrt{3}}$

Từ đó cũng lập bảng biến thiên ra được:

Max f(b)=Max {f(1),f(2)}

TH1: $f(b)=f(1)=c^3-5c+2$

Hiển nhiên $f(1) \leq 0$ vì $(c-2)(c^2+2c-1)\leq 0$ theo giả thiết

TH2: $f(b)=f(2)=c^3-10c+9$ ta cũng dễ dàng chứng minh $\leq 0$

Trường hợp: $f(a)=f(2)$ làm tương tự 

Spoiler

Đương nhiên là dài hơn cách của Hướng

Cách của bạn áp dụng đạo hàm rất hay mà 

@ Hoang Nhat Tuan: Có gì bạn hỏi qua tin nhắn ấy

Mình thấy cậu giải thế này sai rồi

Đây là cách giải của mình:

Giả sử $a\geq b\geq c$ thì: $\frac{1}{(b+c)^2}\geq \frac{1}{(a+c)^2}\geq \frac{1}{(a+b)^2}$

Áp dụng Chebyshev thì:

$\sum \frac{a}{(b+c)^2}\geq \frac{1}{3}(a+b+c)(\sum \frac{1}{(b+c)^2})$

Do đó cần chứng minh:$\frac{1}{3}(a+b+c)(\sum \frac{1}{(b+c)^2})\geq \frac{9}{4(a+b+c)}<=>\sum \frac{1}{(b+c)^2}\geq \frac{27}{4(a+b+c)^2}$

Lai có:$\frac{27}{4(a+b+c)^2}\leq \frac{9}{4(ab+bc+ca)}$

Từ đó cần chứng minh:

$\sum \frac{1}{(b+c)^2}\geq \frac{9}{4(ab+bc+ca)}$

Đây là một kết quả quen thuộc, bất đẳng thức Iran 96

Mình đã fix lỗi rồi,cảm ơn bạn

Ai có thể giúp mình 20 bài đầu được k? Mình cảm ơn trước =)))

$Cau 17:

C/m $\sum \frac{a^3}{b^2}\geq \sum \frac{a^2}{b}$ 

Ap dung BDT AM-GM:

$\sum \frac{a^3}{b^2}+\sum a\geq 2\sum \frac{a^2}{b}$

Can chung minh :$\sum \frac{a^2}{b}\geq \sum a$

Ap dung BDT AM-GM:

$\sum \frac{a^2}{b}+\sum b\geq 2\sum a$

$\Leftrightarrow \sum \frac{a^2}{b}\geq \sum a$

BDT được chứng minh

Ai có thể giúp mình 20 bài đầu được k? Mình cảm ơn trước =)))

Cau 5

C/m :$\sum (\frac{a}{(b+c)^2})\geq \frac{9}{4(a+b+c)}$ 

Áp dụng BDT Cauchy-Schwarz: $((\sqrt{a})^2+(\sqrt{b})^2+(\sqrt{c})^2)(\sum [(\frac{\sqrt{a}}{b+c})^2+(\frac{\sqrt{b}}{a+c})^2+(\frac{\sqrt{c}}{a+b})^2]\geq (\sum \frac{a}{b+c})^2$ 

Cần c/m $(\sum \frac{a}{b+c})^2\geq \frac{9}{4}$ 

Hay $\sum \frac{a}{b+c}\geq \frac{3}{2}$( đúng theo BĐT Nesbit)

chỗ này là sao ạ

$a^{k-1}+(k-2)=a^{k-1}+1+..+1\geq (k-1)\sqrt[k-1]{a^{k-1}}=(k-1)a$ (BĐT AM-GM cho k-1 số; 1+...+1 gồm k-2 chữ số 1)

cho em hỏi làm sao anh có thể biến đổi như thế này (trực giác toán học chăng?) 

Ừ chắc là vậy đó bạn,một phần là do dấu bằng của BĐT nữa  Bài này có thể dùng liên hợp vì nghiệm đẹp 

 

Giải phương trình:1: 9$\sqrt{x+1}$ +13$\sqrt{x-1}$=16x

                           

$9\sqrt{x+1}+13\sqrt{x-1}=16x$

DK:$x\geq 1$

$\Leftrightarrow \sqrt{27}\sqrt{3x+3}+\sqrt{13}\sqrt{13x-13}=16x$

Áp dụng BDT Cauchy-Schwarz $\sqrt{27}\sqrt{3x+3}+\sqrt{13}\sqrt{13x-13}\leq \sqrt{(13+27)(13x-13+3x+3)}=\sqrt{40(16x-10)}\leq \sqrt{(10+16x-10)^2}=\left | 16x \right |=16x$

Dau bang xay ra khi:

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{13}\sqrt{3x+3}=\sqrt{27}\sqrt{13x-13}(Cauchy-Schwarz) & \\ 10=16x-10(AM-GM)& \end{matrix}\right.$

Nen $x=\frac{5}{4}$(nhận)

Chứng minh $\sum \frac{b+c}{a^2+bc}\leq \sum \frac{1}{a}$

Ta co:

$\frac{b+c}{a^2+bc}=\frac{(b+c)^2}{(a^2+bc)(b+c)}=\frac{(b+c)^2}{c(a^2+b^2)+b(c^2+a^2)}\leq \frac{b^2}{c(a^2+b^2)}+\frac{c^2}{b(c^2+a^2)}$

$\Leftrightarrow \sum \frac{b+c}{a^2+bc}\leq \sum (\frac{b^2}{c(a^2+b^2)}+\frac{c^2}{b(c^2+a^2)})=\sum (\frac{b^2}{c(a^2+b^2)}+\frac{a^2}{c(a^2+b^2)})=\sum \frac{1}{c}$

Cho các số thực dương. Chứng minh rằng:

$$\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\geq \frac{2a}{3a^2+bc}+\frac{2b}{3b^2+ac}+\frac{2c}{3c^2+ab}$$

                                                                                                                                                        (Vasile Cirtoaje)

Cho $a,b,c$ là ba số thực không âm thỏa mãn $ \prod (a+b+2c) = 1 $ . Chứng minh rằng

 $ \sum \frac{a}{b(4c+15)(b+2c)^{2}} \geq \frac{1}{3} $

Đây nè bạn Nhìn quen quen thì ra là đề của LHP   http://diendantoanho...15/#entry542983

1)Cho $a,b,c>0$.Chứng minh rằng:$\sum \sqrt{\frac{a^2}{a^2+7ab+b^2}}\geq 1$

Xin đóng góp 1 cách
$\Leftrightarrow \sum \frac{1}{\sqrt{\frac{b^2}{a^2}+\frac{7b}{a}+1}}\geq 1$
Đổi biến $(\frac{b}{a},\frac{c}{b},\frac{a}{c})\rightarrow (x,y,z)$
$\Leftrightarrow \sum \frac{1}{\sqrt{x^2+7x+1}}\geq 1$
Ta chứng minh $\frac{1}{\sqrt{x^2+7x+1}}\geq \frac{1}{x+\sqrt{x}+1}$
$\Leftrightarrow x^2+x+1+2x\sqrt{x}+2x+2\sqrt{x}\geq x^2+7x+1$
$\Leftrightarrow \sqrt{x}(\sqrt{x}-1)^2\geq 0$ đúng
Nên $\sum \frac{1}{\sqrt{x^2+7x+1}}\geq \sum \frac{1}{x+\sqrt{x}+1}$
Cần chứng minh $\sum \frac{1}{x+\sqrt{x}+1}\geq 1$
hay $\sum \frac{1}{e^2+e+1}\geq 1$
Do xyz=1 nên efg=1
Đổi biến $(e,f,g)\rightarrow (\frac{pq}{r^2},\frac{qr}{p^2},\frac{rp}{q^2})$
$\sum \frac{1}{\frac{(pq)^2}{r^4}+\frac{pq}{r^2}+1}\geq 1$
$\Leftrightarrow \sum \frac{r^4}{(pq)^2+pqr^2+r^4}\geq 1$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz
$\sum \frac{r^4}{(pq)^2+pqr^2+r^4}\geq \frac{\sum (p^2)^2}{\sum (pq)^2+pqr(p+q+r)+\sum r^4}$
Mà $\sum (p^2)^2\geq \sum p^4 +\sum (pq)^2 +pqr(p+q+r)$
BDT được chứng minh

Giải phương trình$$x^{4}+9=5x(x^{2}-3)$

$\Leftrightarrow x^{4}-5x^{3}+15x+9=0$ 

$\Leftrightarrow (x+1)(x^{3}-6x^2+6x+9)=0$ 

$\Leftrightarrow (x+1)(x-3)(x^2-3x-3)=0$ 

Đến đây giải nghiệm nữa thôi

Trước tiên xin nói rằng bài này có lời giải không đẹp tí nào

Trước hết chứng minh bổ đề:

$(\sum a)^6\geq \frac{729}{5}abc(\sum a^3+2abc)$

BĐT cần chứng minh tương đương:

$\frac{(\sum a)^3}{abc}-27\geq \frac{729}{5}.\frac{\sum a^3+2abc}{(\sum a)^3}-27$

$<=>\sum \left [ \frac{7a+b+c}{abc}-\frac{54}{5}.\frac{11b+11c-4a}{(\sum a)^3} \right ](b-c)^2\geq 0$

Khi đó đặt $S_a$, $S_b$,$S_c$ tương ứng

Giả sử $a\geq b\geq c$ dễ thấy $S_a\geq S_b\geq S_c$

Chứng minh:$S_b+S_c\geq 0$

Tức là chứng minh:$P=5(\sum a)^3(a+4b+4c)-27abc(22a+7b+7c)\geq 0$

Áp dụng AM-GM:$(a+b+c)^2\geq 4a(b+c)\geq \frac{16abc}{b+c}$

$P\geq \frac{abc}{b+c}\left [ 80(a+b+c)(a+4b+4c)-27(b+c)(22a+7b+7c) \right ]$

Cần chứng minh:$80(\sum a)(a+4b+4c)-27(b+c)(22a+7b+7c)\geq 0$

Chỉ cần chuẩn hóa $a+b+c=3$ ta thu được BĐT tương đương:$45a^2-152a+131\geq 0$ (hiển nhiên đúng)

Từ đó thu được:$S_b+S_c\geq 0$ dẫn đến $S_a\geq S_b\geq 0$

Sử dụng tính chất:$(a-c)^2\geq (a-b)^2$

Ta có:$S_a(b-c)^2+S_b(c-a)^2+S_c(a-b)^2\geq S_a(b-c)^2+(S_b+S_c)(a-b)^2\geq 0$ (hiển nhiên đúng)

Bổ đề được chứng minh 

Từ bổ đề trên và chú ý giả thiết $abc=1$ ta thu được:

$\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[6]{\frac{\sum a^3+2}{5}}$

Mặt khác sử dụng AM-GM ta được:

$\sum a^3+2=3.\frac{\sum a^3}{3}+1+1\geq 5.\sqrt[5]{\frac{(\sum a^3)^3}{27}}$

Kết hợp với trên => ĐPCM

Đẳng thức xảy ra <=> $a=b=c=1$ 

Khúc này bạn có thể làm rõ hơn không Bài này kinh khủng quá