Đến nội dung


Chú ý

Hệ thống gửi email của diễn đàn đang gặp vấn đề với một số tài khoản Gmail do chính sách bảo mật tăng cường của Google. Nếu bạn không nhận được email từ diễn đàn, xin hãy tạm thời dùng một địa chỉ email khác ngoài Gmail (trước hết bạn nên kiểm tra thùng rác hoặc thư mục spam của hộp thư, hoặc dùng chức năng tìm kiếm trong hộp thư với từ khoá "diendantoanhoc.org" để chắc chắn là email không nhận được).

BQT đang cố gắng khắc phục, mong các bạn thông cảm.


thanhng2k7

Đăng ký: 07-11-2021
Offline Đăng nhập: 27-01-2023 - 20:22
*****

#735869 $n\epsilon \mathbb{N}$ , p nguyên tố để $...

Gửi bởi thanhng2k7 trong 24-11-2022 - 20:57

Tìm tất cả các số nguyên dương n thỏa mãn với mỗi số nguyên tố p cho trước , $\exists a\epsilon Z$ thỏa mãn $2^p+3^p=a^n$




#735682 $\left\{{\begin{matrix}\frac{xy}{x+y}=1-z\...

Gửi bởi thanhng2k7 trong 12-11-2022 - 23:01

3) Từ hệ phương trình đã cho ta có 

$x^2-xy-xz+z^2+x^2-xz-yz+3y^2-(y^2+xy+yz-z^2)=0+2-2$

$\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx$

$\Leftrightarrow (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=0$

Mà $(x-y)^2\geq 0 , (y-z)^2\geq 0,(z-x)^2\geq 0$ nên $\sum (x-y)^2 \geq 0$

Dấu "=" xảy ra tại $x=y=z$

Thay vào phương trình giữa ta được $2y^2=2$

Khi đó $x=y=z=1$ hoặc $x=y=z=-1$




#735680 $\left\{{\begin{matrix}\frac{xy}{x+y}=1-z\...

Gửi bởi thanhng2k7 trong 12-11-2022 - 22:47

1) Điều kiện  $x\neq -y , y\neq -z , z\neq -x$

Hệ phương trình tương đương 

$\left\{\begin{matrix} \frac{xy}{x+y}+z=1 & \\ \frac{yz}{y+z}+x=2 & \\ \frac{zx}{z+x}+y=2 \end{matrix}\right.$

Khi đó ta có $xy+yz+zx = x+y = 2(y+z) = 2(z+x)$

Từ đó suy ra $ x=y $ và $ z=0 $

Thế $z=0$ vào $\frac{yz}{y+z}=2-x$ ta được $x=2$

Vậy $x=y=2$ và $z=0$




#735679 Tính diện tích tam giác ABC

Gửi bởi thanhng2k7 trong 12-11-2022 - 22:05

Lấy $BK \perp AC$ tại K 

Ta có $\frac{BK}{AB}=sin15^{\circ}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

Khi đó $S_{ABC}= \frac{BK.AC}{2}=\frac{AB.\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}.AC}{2}=3\sqrt{6}-3\sqrt{2}$ ($cm^2$)




#735536 CMR $AA_{1}$,$BB_{1}$,$CC_{...

Gửi bởi thanhng2k7 trong 31-10-2022 - 18:07

Cho $\Delta ABC$ ngoại tiếp (I)  . (I) tiếp xúc BC,CA,AB lần lượt tại D,E,F . (AEB) cắt (AFC) tại $A_{1}$ khác A , (BFC) cắt (BDA) tại $B_{1}$ khác B , (CDA) cắt (CEB) tại $C_{1}$ khác C . CMR $AA_{1}$,$BB_{1}$,$CC_{1}$ đồng quy 




#735234 Cho các số tự nhiên $a,b$ thỏa mãn $a-b$ là số nguyên tố...

Gửi bởi thanhng2k7 trong 04-10-2022 - 22:59

 Ta có  $ab+c(a+b)=3c^2\Leftrightarrow (a+c)(b+c)=(2c)^2$

Đặt $(a+c,b+c)=d$ ,suy ra $d | a-b$ hay $ d=1 $ hoặc $ d=a-b$ ( do$a-b$ là số nguyên tố )

+) Nếu $d=1$ thì $ a+c , b+c $ đều là số chính phương  . Đặt $a+c=m^2$ và $b+c=n^2$ $( m ,n \epsilon \mathbb{Z})$

Suy ra $m^2-n^2=a-b$ , mà $a-b$ là số nguyên tố nên $m-n=1 \Leftrightarrow  m=n+1 $ 

Lại có $4c^2=m^2n^2$ suy ra $8c+1= 4mn+1= (2n+1)^2$ là số chính phương

+) Nếu $d=a-b $ thì $a+c=(a-b)x,b+c=(a-b)y$ $(x,y\epsilon \mathbb{Z})$

$\Rightarrow a-b =(a-b)(x-y)\Rightarrow x-y=1 \Rightarrow x=y+1$

Khi đó $4c^2=(a+c)(b+c)=(a-b)^2xy =(a-b)^2y(y+1)$

Suy ra $y(y+1) $ là số chính phương hay$y=0$ , suy ra $c=0$ , từ đó ta có 8c+1 là số chính phương.




#735163 CM $n \vdots 13 $ với $6^n+7^n \vdots n $ (...

Gửi bởi thanhng2k7 trong 01-10-2022 - 22:50

Với n là số nguyên dương lẻ khác 1 thỏa mãn $6^n+7^n \vdots n $ .Chứng minh $n \vdots 13 $ 




#735141 Tổng hợp các bài BĐT

Gửi bởi thanhng2k7 trong 28-09-2022 - 22:35

Giúp em bài này với ạ.

Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $x+y+z=3$. Tìm GTNN của $P=\frac{x+y}{\sqrt{x^2+y^2+6z}}+\frac{y+z}{\sqrt{y^2+z^2+6x}}+\frac{z+x}{\sqrt{z^2+x^2+6y}}$

Với $x+y+z=3$ thay vào P ta được :

 $P= \frac{3-z}{\sqrt{x^2+y^2+6(3-x-y)}}+\frac{3-x}{\sqrt{z^2+y^2+6(3-z-y)}}+\frac{3-y}{\sqrt{x^2+z^2+6(3-x-z)}}$

$\Rightarrow P = \sum_{x,y,z}{\frac{(z-3)^2}{(x-3)^2+(y-3)^2}}$

Đặt ẩn phụ như sau:

$(x-3)^2=a;(y-3)^2=b;(z-3)^2=c \Rightarrow a,b,c\geq 0$

$\Rightarrow P=\sum_{a,b,c}\sqrt{\frac{a}{b+c}}$

Sử dụng AM-GM dưới dạng mẫu :

$\sum_{a,b,c}\sqrt{\frac{a}{b+c}}=\sum_{a,b,c}\frac{2a}{2\sqrt{a(b+c)}}\geq \sum_{a,b,c}\frac{2a}{a+b+c}= 2$

Dấu "=" xảy ra khi $(x,y,z)=(3,0,0)$ và các hoán vị . 




#735131 $2032^n+8^n$ và $2032^n-8^n$ có số chữ số bằng nhau

Gửi bởi thanhng2k7 trong 27-09-2022 - 20:23

Chứng minh rằng với mọi n là số tự nhiên thì hai số $2032^n+8^n$ và $2032^n-8^n$ có số chữ số bằng nhau .




#735130 Chứng minh $AI'\perp BC$

Gửi bởi thanhng2k7 trong 27-09-2022 - 20:18

Cho $\Delta ABC$ không cân , nội tiếp (O) , B,C cố định , A thay đổi trên (O).Trên các tia AB,AC lần lượt lấy các điểm M,N để $MA=MC, NA=NB$ . $(AMN)$ cắt $(ABC)$ cắt nhau tại A và P . MN cắt BC tại Q.Gọi I là tâm của $(OBC)$ , I' đối xứng I qua MN.Chứng minh $AI'\perp BC$ . 

P/s: Nguyên mẫu bài này là VMO 2014 =))) 




#735119 Cho tam giác $ABC$ có chu vi bằng 1. Cạnh $a,b,c$ thỏa mã...

Gửi bởi thanhng2k7 trong 26-09-2022 - 22:25

Do $a+b+c$=1 nên $1-a=b+c$ ,  $1-b=a+c$ ,  $1-c=b+a$

Khi đó $\frac{a}{1-a}=\frac{a}{b+c}$ , $\frac{b}{1-b}=\frac{b}{a+c}$ , $\frac{c}{1-c}=\frac{c}{b+a}$

Đặt $b+c=x$ , $c+a=y$ , $a+b=z$

Suy ra $a+b+c=\frac{x+y+z}{2}$

Khi đó $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} = \frac{y+z-x}{2x}+\frac{z+x-y}{2y}+\frac{x+y-z}{2z}=\frac{1}{2}(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}+\frac{y}{z})-\frac{3}{2}\geq 1+1+1-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$ 

Suy ra $\Delta ABC$ đều 




#735117 Tìm các số nguyên tố $p,q$ và các số tự nhiên $n$ thỏa mã...

Gửi bởi thanhng2k7 trong 26-09-2022 - 21:45

Biến đổi đẳng thức đã cho ta được $p(p+1)+q(q+1)=n(n+1)\Leftrightarrow p(p+1)=(n-q)(n+q+1)$

Giả sử tồn tại p,q nguyên tố và n nguyên dương thỏa mãn bài toán , khi đó từ đẳng thức trên ta suy ra $n-q \vdots p$ hoặc $n+q+1\vdots p$

Xét các trường hợp$n-q \vdots p$

+)Th1:$n-q \vdots p$ thì suy ra $n-q\geq p$ do đó $n+q+1>p+1$

Suy ra $p(p+1)< (n-q)(n+q+1)$ (mâu thuẫn )

+) Th2: $n+q+1\vdots p$ , khi đó tồn tại số tự nhiên k để $n+q+1=kp$ (k khác 0)

Do đó từ $p(p+1)=(n-p)(n+q+1)$ ta suy ra $p+1=k(n-q)$

Mà $(p+q)(p+q+1)=(p+1)p+q(q+1)+2pq\geq n(n+1)$

KMTTQ giả sử $p\geq q$

Do $n(n+1)> p(p+1)$ nên $n>p$

Từ  $n+q+1=kp$  ta được $kp>n>p$

nên $k>1$

Mặt khác $kp<(p+q)+q+1 \leq 3p+1 <4p $ 

Như vậy ta có $1<k<4$ và k là số tự nhiên nên ta được hoặc $k=2$ hoặc $k=3$

+) Với $k=2$ thì $n=2p-q-1$ và $p+1=2(n-q)$ nên suy ra $3(p-1)=4q$

Do đó q chia hết cho 3 , q nguyên tố nên $q=3$ suy ra $p=5$ và $n=6$

+) Với $k=3$ thì $n=3p-q-1$ và $p+1=3(n-q)$ suy ra $2(2p-1)=3q$

Do đó q chia hết cho 2 , q nguyên tố nên $q=2$ suy ra $p=2$ và $n=3$

(P/s: Đánh vội nên nếu có chỗ sai sót mong bạn thông cảm =)))) )




#735115 Tìm các số nguyên tố $p,q$ và các số tự nhiên $x$ thỏa mã...

Gửi bởi thanhng2k7 trong 26-09-2022 - 21:26

Ghê gì nhầm dấu =)))

=))))) 




#735111 Tìm các số nguyên tố $p,q$ và các số tự nhiên $x$ thỏa mã...

Gửi bởi thanhng2k7 trong 26-09-2022 - 21:02

À nhầm nãy tôi biến đổi ra $p=\frac{2q+1}{2-q}$. Chắc nhầm dấu =)))

=))))) cung ghe




#735109 Tìm các số nguyên tố $p,q$ và các số tự nhiên $x$ thỏa mã...

Gửi bởi thanhng2k7 trong 26-09-2022 - 20:59

Đoạn TH2 sao ra được $p=\frac{2q+1}{p+2}$ vậy =)))

$2q-2p=pq-1 \Leftrightarrow p(q+2)=2q+1\Leftrightarrow p=\frac{2q+1}{q+2}$ =))