Tìm tất cả các số nguyên dương n thỏa mãn với mỗi số nguyên tố p cho trước , $\exists a\epsilon Z$ thỏa mãn $2^p+3^p=a^n$
- Matthew James yêu thích
Hệ thống gửi email của diễn đàn đang gặp vấn đề với một số tài khoản Gmail do chính sách bảo mật tăng cường của Google. Nếu bạn không nhận được email từ diễn đàn, xin hãy tạm thời dùng một địa chỉ email khác ngoài Gmail (trước hết bạn nên kiểm tra thùng rác hoặc thư mục spam của hộp thư, hoặc dùng chức năng tìm kiếm trong hộp thư với từ khoá "diendantoanhoc.org" để chắc chắn là email không nhận được).
BQT đang cố gắng khắc phục, mong các bạn thông cảm.
Tình yêu mà tôi dành cho Toán học nhiều như dãy số Pi , không có điểm dừng
Gửi bởi thanhng2k7
trong 24-11-2022 - 20:57
Tìm tất cả các số nguyên dương n thỏa mãn với mỗi số nguyên tố p cho trước , $\exists a\epsilon Z$ thỏa mãn $2^p+3^p=a^n$
Gửi bởi thanhng2k7
trong 12-11-2022 - 23:01
3) Từ hệ phương trình đã cho ta có
$x^2-xy-xz+z^2+x^2-xz-yz+3y^2-(y^2+xy+yz-z^2)=0+2-2$
$\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx$
$\Leftrightarrow (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=0$
Mà $(x-y)^2\geq 0 , (y-z)^2\geq 0,(z-x)^2\geq 0$ nên $\sum (x-y)^2 \geq 0$
Dấu "=" xảy ra tại $x=y=z$
Thay vào phương trình giữa ta được $2y^2=2$
Khi đó $x=y=z=1$ hoặc $x=y=z=-1$
Gửi bởi thanhng2k7
trong 12-11-2022 - 22:47
1) Điều kiện $x\neq -y , y\neq -z , z\neq -x$
Hệ phương trình tương đương
$\left\{\begin{matrix} \frac{xy}{x+y}+z=1 & \\ \frac{yz}{y+z}+x=2 & \\ \frac{zx}{z+x}+y=2 \end{matrix}\right.$
Khi đó ta có $xy+yz+zx = x+y = 2(y+z) = 2(z+x)$
Từ đó suy ra $ x=y $ và $ z=0 $
Thế $z=0$ vào $\frac{yz}{y+z}=2-x$ ta được $x=2$
Vậy $x=y=2$ và $z=0$
Gửi bởi thanhng2k7
trong 12-11-2022 - 22:05
Lấy $BK \perp AC$ tại K
Ta có $\frac{BK}{AB}=sin15^{\circ}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$
Khi đó $S_{ABC}= \frac{BK.AC}{2}=\frac{AB.\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}.AC}{2}=3\sqrt{6}-3\sqrt{2}$ ($cm^2$)
Gửi bởi thanhng2k7
trong 31-10-2022 - 18:07
Cho $\Delta ABC$ ngoại tiếp (I) . (I) tiếp xúc BC,CA,AB lần lượt tại D,E,F . (AEB) cắt (AFC) tại $A_{1}$ khác A , (BFC) cắt (BDA) tại $B_{1}$ khác B , (CDA) cắt (CEB) tại $C_{1}$ khác C . CMR $AA_{1}$,$BB_{1}$,$CC_{1}$ đồng quy
Gửi bởi thanhng2k7
trong 04-10-2022 - 22:59
Ta có $ab+c(a+b)=3c^2\Leftrightarrow (a+c)(b+c)=(2c)^2$
Đặt $(a+c,b+c)=d$ ,suy ra $d | a-b$ hay $ d=1 $ hoặc $ d=a-b$ ( do$a-b$ là số nguyên tố )
+) Nếu $d=1$ thì $ a+c , b+c $ đều là số chính phương . Đặt $a+c=m^2$ và $b+c=n^2$ $( m ,n \epsilon \mathbb{Z})$
Suy ra $m^2-n^2=a-b$ , mà $a-b$ là số nguyên tố nên $m-n=1 \Leftrightarrow m=n+1 $
Lại có $4c^2=m^2n^2$ suy ra $8c+1= 4mn+1= (2n+1)^2$ là số chính phương
+) Nếu $d=a-b $ thì $a+c=(a-b)x,b+c=(a-b)y$ $(x,y\epsilon \mathbb{Z})$
$\Rightarrow a-b =(a-b)(x-y)\Rightarrow x-y=1 \Rightarrow x=y+1$
Khi đó $4c^2=(a+c)(b+c)=(a-b)^2xy =(a-b)^2y(y+1)$
Suy ra $y(y+1) $ là số chính phương hay$y=0$ , suy ra $c=0$ , từ đó ta có 8c+1 là số chính phương.
Gửi bởi thanhng2k7
trong 01-10-2022 - 22:50
Với n là số nguyên dương lẻ khác 1 thỏa mãn $6^n+7^n \vdots n $ .Chứng minh $n \vdots 13 $
Gửi bởi thanhng2k7
trong 28-09-2022 - 22:35
Giúp em bài này với ạ.
Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $x+y+z=3$. Tìm GTNN của $P=\frac{x+y}{\sqrt{x^2+y^2+6z}}+\frac{y+z}{\sqrt{y^2+z^2+6x}}+\frac{z+x}{\sqrt{z^2+x^2+6y}}$
Với $x+y+z=3$ thay vào P ta được :
$P= \frac{3-z}{\sqrt{x^2+y^2+6(3-x-y)}}+\frac{3-x}{\sqrt{z^2+y^2+6(3-z-y)}}+\frac{3-y}{\sqrt{x^2+z^2+6(3-x-z)}}$
$\Rightarrow P = \sum_{x,y,z}{\frac{(z-3)^2}{(x-3)^2+(y-3)^2}}$
Đặt ẩn phụ như sau:
$(x-3)^2=a;(y-3)^2=b;(z-3)^2=c \Rightarrow a,b,c\geq 0$
$\Rightarrow P=\sum_{a,b,c}\sqrt{\frac{a}{b+c}}$
Sử dụng AM-GM dưới dạng mẫu :
$\sum_{a,b,c}\sqrt{\frac{a}{b+c}}=\sum_{a,b,c}\frac{2a}{2\sqrt{a(b+c)}}\geq \sum_{a,b,c}\frac{2a}{a+b+c}= 2$
Dấu "=" xảy ra khi $(x,y,z)=(3,0,0)$ và các hoán vị .
Gửi bởi thanhng2k7
trong 27-09-2022 - 20:23
Chứng minh rằng với mọi n là số tự nhiên thì hai số $2032^n+8^n$ và $2032^n-8^n$ có số chữ số bằng nhau .
Gửi bởi thanhng2k7
trong 27-09-2022 - 20:18
Cho $\Delta ABC$ không cân , nội tiếp (O) , B,C cố định , A thay đổi trên (O).Trên các tia AB,AC lần lượt lấy các điểm M,N để $MA=MC, NA=NB$ . $(AMN)$ cắt $(ABC)$ cắt nhau tại A và P . MN cắt BC tại Q.Gọi I là tâm của $(OBC)$ , I' đối xứng I qua MN.Chứng minh $AI'\perp BC$ .
P/s: Nguyên mẫu bài này là VMO 2014 =)))
Gửi bởi thanhng2k7
trong 26-09-2022 - 22:25
Do $a+b+c$=1 nên $1-a=b+c$ , $1-b=a+c$ , $1-c=b+a$
Khi đó $\frac{a}{1-a}=\frac{a}{b+c}$ , $\frac{b}{1-b}=\frac{b}{a+c}$ , $\frac{c}{1-c}=\frac{c}{b+a}$
Đặt $b+c=x$ , $c+a=y$ , $a+b=z$
Suy ra $a+b+c=\frac{x+y+z}{2}$
Khi đó $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} = \frac{y+z-x}{2x}+\frac{z+x-y}{2y}+\frac{x+y-z}{2z}=\frac{1}{2}(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}+\frac{y}{z})-\frac{3}{2}\geq 1+1+1-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
Suy ra $\Delta ABC$ đều
Gửi bởi thanhng2k7
trong 26-09-2022 - 21:45
Biến đổi đẳng thức đã cho ta được $p(p+1)+q(q+1)=n(n+1)\Leftrightarrow p(p+1)=(n-q)(n+q+1)$
Giả sử tồn tại p,q nguyên tố và n nguyên dương thỏa mãn bài toán , khi đó từ đẳng thức trên ta suy ra $n-q \vdots p$ hoặc $n+q+1\vdots p$
Xét các trường hợp$n-q \vdots p$
+)Th1:$n-q \vdots p$ thì suy ra $n-q\geq p$ do đó $n+q+1>p+1$
Suy ra $p(p+1)< (n-q)(n+q+1)$ (mâu thuẫn )
+) Th2: $n+q+1\vdots p$ , khi đó tồn tại số tự nhiên k để $n+q+1=kp$ (k khác 0)
Do đó từ $p(p+1)=(n-p)(n+q+1)$ ta suy ra $p+1=k(n-q)$
Mà $(p+q)(p+q+1)=(p+1)p+q(q+1)+2pq\geq n(n+1)$
KMTTQ giả sử $p\geq q$
Do $n(n+1)> p(p+1)$ nên $n>p$
Từ $n+q+1=kp$ ta được $kp>n>p$
nên $k>1$
Mặt khác $kp<(p+q)+q+1 \leq 3p+1 <4p $
Như vậy ta có $1<k<4$ và k là số tự nhiên nên ta được hoặc $k=2$ hoặc $k=3$
+) Với $k=2$ thì $n=2p-q-1$ và $p+1=2(n-q)$ nên suy ra $3(p-1)=4q$
Do đó q chia hết cho 3 , q nguyên tố nên $q=3$ suy ra $p=5$ và $n=6$
+) Với $k=3$ thì $n=3p-q-1$ và $p+1=3(n-q)$ suy ra $2(2p-1)=3q$
Do đó q chia hết cho 2 , q nguyên tố nên $q=2$ suy ra $p=2$ và $n=3$
(P/s: Đánh vội nên nếu có chỗ sai sót mong bạn thông cảm =)))) )
Gửi bởi thanhng2k7
trong 26-09-2022 - 21:26
Gửi bởi thanhng2k7
trong 26-09-2022 - 21:02
À nhầm nãy tôi biến đổi ra $p=\frac{2q+1}{2-q}$. Chắc nhầm dấu =)))
=))))) cung ghe
Gửi bởi thanhng2k7
trong 26-09-2022 - 20:59
Đoạn TH2 sao ra được $p=\frac{2q+1}{p+2}$ vậy =)))
$2q-2p=pq-1 \Leftrightarrow p(q+2)=2q+1\Leftrightarrow p=\frac{2q+1}{q+2}$ =))
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học