thedragonknight

Mình xin đóng góp:
Giải phương trình:
a, $\sqrt{2x^{2}+5x+12}+\sqrt{2x^{2}+3x+2}=x+5$

b, $\sqrt{x+1}+x+3=\sqrt{1-x}+3\sqrt{1-x^{2}}$

c, $\sqrt{5-x}+\sqrt{x-3}-\sqrt{x-8}=x^{2}-2x+3$

Đặt $a=\sqrt{2x^{2}+5x+12}$
$b=\sqrt{2x^{2}+3x+2}$
Ta có:$a-b=x+5$(1)
$a^2-b^2=2(x+5)$(2)
Xét $x=-5$ ko là nghiệm của pt
Xét $x\neq -5$
Khi đó $a+b=2$
Tới đây thì ok rồi

Chém câu 2:
Đặt $a=x+5$.Khi đó pt trở thành:
$(a-4)(a-3)(a+3)(a+4)=y^2$
$\Leftrightarrow (a^2-9)(a^2-16)=y^2\Leftrightarrow a^4-25a^2+144=y^2\Leftrightarrow (2a^2-25)^2-4y^2=49\Leftrightarrow (2a^2-25+4y)(2a^2+25-4y)=49$
Giải ra ta đc các cặp nghiệm:
$(-1;0);(-2;0);(-8;0);(-9;0);(-5;12);(-5;-12);(0;12);(0;-12);(-10;12);(-10;-12)$
P/s: hết nghiệm chưa nhỉ.

Được sự đồng ý của chủ topic là caybutbixanh, hôm nay, mình sẽ bắt đầu gửi một số đề thi hsg do mình sưu tầm được. Mong các bạn ủng hộ topic bằng cách tích cực tham gia.

ĐỀ SỐ 1

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THÀNH PHỐ HÀ NỘI

Năm học 2001-2002

Bài 3:(4 điểm)
Giải phương trình
$$x+1=\sqrt{2(x+1)+2\sqrt{2(x+1)+2\sqrt{4(x+1})}}$$

TXĐ: $x\geq 1$
Đặt $a=x+1$ $(a\geq 0)$. Khi đó pt trở thành
$$a=\sqrt{2a+2\sqrt{2a+4\sqrt{a})}}$$
$\Rightarrow a^2-2a=2\sqrt{2a+4\sqrt{a}}\Rightarrow a^4-4a^3+4a^2=8a+16\sqrt{a}\Leftrightarrow a^4-4a^3+4a^2-8a-16\sqrt{a}=0$
Với $a=0$ là nghiệm của pt
Xét $a\neq 0$. Chia cả 2 vế cho $a\sqrt{a}$. Khi đó pt trở thành:
$a^2\sqrt{a}-4a\sqrt{a}+4\sqrt{a}-\frac{8}{\sqrt{a}}-\frac{16}{a}=0\Leftrightarrow \sqrt{a}(\sqrt{a}-2)^2(\sqrt{a}+2)^2+4\sqrt{a}(\sqrt{a}-2)(\sqrt{a}+2)+\frac{(\sqrt{a}-2)(4a+8\sqrt{a}+8)}{a}=(\sqrt{a}-2)(......)=0\Leftrightarrow a=4$
Từ đó suy ra $x=1;3$ là nghiệm pt.
P/s: Ko biết có ai làm cách nào hợp lí hơn ko. Làm cách này thấy ko đẹp mắt,hợp lí lắm . Bài 5 xem lại đề.(chẳng hiểu đề nói gì )

Theo định lý wilson ta có:
$2002!\equiv -1(mod2003)$
Trong các thừa số của tích A có $1001$ cặp số có tích $\equiv -1(mod2003)$
Dựa vào kết quả trên ta có $A_1;A_2:...$ chia 2003 có số dư chạy từ 1 đến 2002.
Khi đó tổng của chúng $\equiv 1+2+...+2002=\frac{2002.2013}{2}\equiv 0(mod2003)$
Vậy ta có đpcm

Tưởng tượng và viết tiếp đoạn kết cho những câu truyện sau:
Truyện An Dương Vương
Truyện Uylítxơ trở về
Rama buộc tội

P/s:Chị linh giúp em nha

Ta có $VT\leq \sum \frac{ab}{a^4b+ab^4+ab}= \sum \frac{ab}{ab(a^3+b^3+1)}\leq \sum \frac{1}{a^2b+b^2a+abc}= \sum \frac{1}{ab(a+b+c)}=\frac{1}{abc}=1$
P/s: Có vẻ khá na ná cách trên

Tìm các số nguyên $x, y$ thoả mãn đẳng thức: $x^2+xy+y^2=x^2y^2$

Nhân 4 cả 2 vế ta đc:
$4x^2+4xy+4y^2=4x^2y^2$
$4(x+y)^2-(2xy+1)^2=-1$
$(2x+2y+2xy+1)(2x+2y-2xy-1)=-1$
Tới đây là ok rồi

Cho ba số dương $x, y, z$ thoả mãn $x + y + z = 1$. Chứng mình rằng: $VT=\frac{3}{xy+yz+zx}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}>14$

Tớ làm vậy xem đc ko nhé
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đc với $VT=\frac{3}{a}+\frac{2}{1-2a}>14$ với $a=xy+yz+yz$
Tương đương $28a^2-18a+3>0$ (dễ dàng chứng minh đc)

Cho $x,y,z>0$ và $xy+yz+xz=1$.Tìm min của $x^2+my^2+nz^2$

P/s: Bài này mình giải hoài ko đc .Lâu rồi ko onl VMF. Khởi động lại cái đã

Chứng minh $gcd(2^p-1;2^q-1)=1$ khi $gcd(p;q)=1$ và ngược lại

Đoàn tầu có 1 toa, đi qua 1 chiếc hầm. Lái tầu thông báo khói tầu làm 1 số người bị nhọ mặt. Tàu sẽ dừng ở các ga, nếu ai biết chắc chắn mình bị nhọ thì mới đc xuống rửa mặt, nhưng trên tàu không có gương, và mọi người cũng không được nói chuyện với nhau, chỉ nhìn nhau mà suy nghĩ.
Vậy mà khi tàu dừng ở ga thứ tư thì số người bị nhọ mặt xuống rủa mặt hết.
Vậy có bao nhiêu người bị nhọ mặt, tại sao?????????
Đây là 1 vấn đề mà 1 đứa bạn cùng lớp với mình đặt ra .Và bạn ấy có 1 cách giải như sau

Bài toán này giải dựa trên suy nghĩ của những người trên tàu với phương pháp loại trừ rằng : "
còn thấy một người nhọ mặt thì mình sẽ ko xuống rửa mặt " - cụ thể như sau :

a.Số người nhọ mặt là 1 - ở ga thứ nhất khi nhìn xung quanh ko thấy ai nhọ , người đó đi xuống ( trường hợp này ko đúng vì đề bài ra là đến ga thứ 4 mới hết số người nhọ mặt )

b.Số người nhọ mặt là 2 - ở ga thứ nhất , thấy có người nhọ mặt còn trên tàu , người nhọ mặt số 2 sẽ xuống , bởi số 2 suy nghĩ là "nếu ở ga thứ nhất số 1 ko xuống có nghĩa là còn người khác nhọ mặt" mà trên tàu lúc này số 2 thấy ngoài số 1 nhọ mặt ra thì ko còn ai , phải tự hiểu là mình nên xuống rửa mặt luôn , lúc này ông số 1 thấy ông số 2 xuống rồi mà ko còn ai nhọ , cũng tự biết là mình nhọ ( biết là có 2 người nhọ mặt , bởi nếu có 1 người nhọ thì ông số 2 đã xuống từ ga thứ nhất ), ông số 1 xuống luôn cùng => hết người nhọ mặt ở ga thứ 2 ( vẫn không đúng đề bài )

c.Số người nhọ mặt là 3... tương tự trường hợp b ( vẫn ko đúng đề bài )

d.Số người nhọ mặt là 4 - ở ga thứ 4 , thấy có 3 người nhọ mặt trên tàu mà chả ai *ng đậy gì , người nhọ mặt thứ 4 sẽ xuống bởi biết là mình nhọ mặt nên 3 ông kia mới cũng nhìn thấy 3 người nhọ măt mà ko xuống ở các ga trc - khi ông số 4 xuống thì người số 3 , số 2 , số 1 cũng xuống với suy nghĩ tương tự => Lúc này đã hết người nhọ mặt trên tàu , trường hợp này đúng với đề bài ra .

Đáp án : có 4 người nhọ mặt .
Nhờ các VMFer cùng thảo luận và cho ý kiến về bài giải.

Giải phương trình :$$\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}=x^{2}+2$$ .ĐKXĐ :$$-1\leq x\leq 1$$

Áp dụng BĐT $B.C.S$ ta có :
$\sqrt{1+x}.1+\sqrt{1-x}.1\leq \sqrt{(1+x+1-x)(1+1)}=2$
Mặt khác $VP\geq 2$
Từ đó suy ra $x=0$ là nghiệm

P/s: B.C.S là BunhiaCopSki.Dùng 1 chút liên tưởng là ra

Tìm min của :$$A=\frac{x+3}{\sqrt{x+7}-2}$$

Đặt $a=\sqrt{x+7}$
Khi đó $A=\frac{a^2-4}{a-2}=a+2=\sqrt{x+7}+2\geq 2$
Dấu bằng xảy ra khi $x=-7$

Bài này rất đơn giản.Cậu dùng miền giá trị là xong.Nếu cậu ko biết miền giá trị thì làm như sau (cái này dùng làm nháp thôi nhá)
Từ cái phân số dùng quy tắc chuyển vế ta đc:
$(A-1)x^2+(2-3A)x+(3A-2)=0$
Sau đó cậu tìm $\Delta =b^2-4ac$ (1)
Trong bài này thì$a=A-1;b=2-3A;c=3A-2$
Đặt (1) =0
Giải pt bình thường tìm đc 2 giá trị
Giá trị nhỏ hơn là $min$ , cái còn lại là $max$
Bây giờ thì đến phần tách
Biết trước đc $minA$ (tớ cho nó là n)
Cậu sẽ làm sao cho ở tử số xuất hiện 1 hạng tử gấp n lần
Khi đó $A=n+....$
Khi đó cậu chứng minh đc phần $.....\geq 0$
Max thì tương tự.
Tớ hướng dẫn vậy thôi.Cậu tự làm nhé.

Tách kiểu khác đây
Pt tương đương với
$2(a-b)^2+b^2+2ac+2c^2=20$
Xét $c=1$
Suy ra $a=b$
Dễ dàng thấy đc ko có $a,b$ thỏa mãn
Xét $c=2$
Suy ra $a=b$ hoặc $a+1=b$
Thế vào tìm đc $a=b=2$
Xét $c\geq 3$
Dễ thấy $VT>VP$

P/s: Mình ẩu thật