Mai Duc Khai

 

Đề bài: Giải hệ phương trình

 

$$\begin{cases}x+y-\sqrt{xy}=3 \\ \sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}=4\end{cases}$$

 

Đề khối A - 2005

 

Thường thì em giải bài này theo cách sau:

\[(I) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + y = 3 + \sqrt {xy} \\
x + y + 2\sqrt {xy + x + y + 1}  = 14
\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + y = 3 + \sqrt {xy} \\
3 + \sqrt {xy}  + 2\sqrt {xy + 4 + \sqrt {xy} }  = 14
\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + y = 3 + \sqrt {xy} \\
3xy + 26\sqrt {xy}  - 105 = 0
\end{array} \right.....\]

Cách này là cách thông thường nên nhìn vào bài khá là "ngứa mắt" =.=

Mời anh trình bày cách đặt ...và  làm sao có được cách đặt đó ?

Giài hệ pt    $\left\{\begin{matrix} x^2+y^2=5x+2xy-1 & \\ xy^2-2y(y^2+y+1)=x+2& \end{matrix}\right.$

Hệ đã cho tương đương với

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\frac{{(1 + {y^2})}}{x} + (x - 2y - 2) = 3}\\
{\frac{{(1 + {y^2})}}{x}(x - 2y - 2) = 2}
\end{array}} \right.\]

 

 

Tới đây đặt ẩn để giải :3

Giải bất phương trình: $(4x^{2}-x-7).\sqrt{x+2}> 10+4x-8x^{2}$.

 

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} (3-\frac{5}{y+42x})\sqrt{2y}=4\\ (3+\frac{5}{y+42x})\sqrt{x}=2 \end{matrix}\right.$

 

Giải phương trình : $\sqrt{x^{2}+5}+3x =\sqrt{x^{2}+12}+5$

Giải

Dễ thấy, nếu x < 0:
$VT = \sqrt{x^2 + 5} + 3x < \sqrt{x^2 + 12} < \sqrt{x^2 + 12} + 5$.
Phương trình vô nghiệm. Vậy $x \geq 0$.

Phương trình ban đầu tương đương:
$(\sqrt{x^2 + 5} - 3) - (\sqrt{x^2 + 12} - 4) + 3x - 6 = 0$

$\Leftrightarrow \dfrac{x^2 - 4}{\sqrt{x^2 + 5} + 3} - \dfrac{x^2 - 4}{\sqrt{x^2 + 12} + 4} + 3(x - 2) = 0$

$\Leftrightarrow (x - 2)[\dfrac{x + 2}{\sqrt{x^2 + 5} + 3} - \dfrac{x + 2}{\sqrt{x^2 + 12} + 4} + 3] = 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 2\\\dfrac{x + 2}{\sqrt{x^2 + 5} + 3} - \dfrac{x + 2}{\sqrt{x^2 + 12} + 4} + 3 = 0\,\,\,\, (2)\end{array}\right.$

Ta có:
$(2) \Leftrightarrow (x + 2)[\dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 5} + 3} - \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 12} + 4}] + 3 = 0$

$\Leftrightarrow (x + 2).\dfrac{\sqrt{x^2 + 12} - \sqrt{x^2 + 5} + 1}{(\sqrt{x^2 + 5} + 3)(\sqrt{x^2 + 12} + 4)} = 0 $

Do x > 0 nên VT > 0 = VF. Do đó phương trình (2) vô nghiệm.

Vậy phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất x = 2.

 

Nguồn: Tại đây

Tiếp tục bằng 2 bài phương trình vô tỉ nữa nhé.

 

Bài 3. Giải phương trình

 

$$\sqrt{4x^2+5x+1}-2\sqrt{x^2-x+1}=9x-3$$

 

Chọn đội tuyển QG Trà Vinh 2013

 

Bài 4. Giải phương trình 

 

$$4x^3-7x+\sqrt[3]{4x^3-3x+1}=\sqrt[3]{4x-2}-3$$

 

Chọn đội tuyển quốc gia Quảng Ngãi 2013

Bài 3:

\[\begin{array}{l}
\sqrt {4{x^2} + 5x + 1}  - 2\sqrt {{x^2} - x + 1}  = 9x - 3\left( * \right)\\
 \Rightarrow DKXD:...\\
\left( * \right) \Leftrightarrow \sqrt {4{x^2} + 5x + 1}  - \sqrt {4{x^2} - 4x + 4}  = 9x - 3\\
\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {4{x^2} + 5x + 1}  = a \ge 0\\
\sqrt {4{x^2} - 4x + 4}  = b \ge 0
\end{array} \right. \Rightarrow {a^2} - {b^2} = 9x - 3\\
 \Rightarrow a - b = {a^2} - {b^2} \Leftrightarrow \left( {a - b} \right)\left( {a + b - 1} \right) = 0\\
 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sqrt {4{x^2} + 5x + 1}  = \sqrt {4{x^2} - 4x + 4} \\
\sqrt {4{x^2} + 5x + 1}  = 1 - \sqrt {4{x^2} - 4x + 4}
\end{array} \right. \Rightarrow ....
\end{array}\]

Bài 4:

\[\begin{array}{l}
4{x^3} - 7x + \sqrt[3]{{4{x^3} - 3x + 1}} = \sqrt[3]{{4x - 2}} - 3\\
 \Leftrightarrow 4{x^3} - 3x + 1 + \sqrt[3]{{4{x^3} - 3x + 1}} = 4x - 2 + \sqrt[3]{{4x - 2}}
\end{array}\]

Xét hàm : $f\left( t \right) = {t^3} + t$ là hàm ...

\[ \Rightarrow 4{x^3} - 3x + 1 = 4x - 2 \Leftrightarrow 4{x^3} - 7x + 3 = 0 \Rightarrow ..\]

 

 

P/s: Không có máy tính nên ngại tính ra nghiệm....

vip =.=

Tìm nghiệm nguyên tố của phương trình : $x^y+1=z$

Bài 1: Tìm max của $S=x^2+y^2$ biết $(x;y) thỏa mãn hệ bất phương trình :

$\left\{ \begin{array}{l} \left| {3x + 2y} \right| \le 6\\ \left| {7x - 3y} \right| \le 4 \end{array} \right.$

 

Bài 2: Cho $ab,c>0$ thỏa mãn : $a^2+b^2+c^2=3$. Chứng minh rằng:

$\left( {\frac{4}{{{a^2} + {b^2}}} + 1} \right)\left( {\frac{4}{{{b^2} + {c^2}}} + 1} \right)\left( {\frac{4}{{{c^2} + {a^2}}} + 1} \right) \ge 3{\left( {a + b + c} \right)^2}$

Em nghĩ thì mọi người nên dùng Mathtype cho tiện....Chắc ở đây đa số mọi người đều có máy tính ở nhà nên tốt nhất  là cài Mathtype...Trường dùng máy khác thì mới nên dùng nút $f_x$...

$x^{3}+3x^{^{2}}-3x+1=0$

\[\begin{array}{l}
{x^3} + 3{x^2} - 3x + 1 = 0\\
 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^3} - 6x\left( {x - 1} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 8x + 1} \right) = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
x = 4 \pm \sqrt {15}
\end{array} \right.
\end{array}\]

Lâu lâu tự nhiên nhớ cái Alexa này

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH
Câu I (2 điểm) : Cho hàm số: $y^4-(m^2+10)x^2+9$
1, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với $m=0$
2, Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt $x_1,x_2,x_3,x_4$ thỏa mãn: $|x_1|+|x_2|+|x_3|+|x_4|=8$
Câu II (2 điểm)
1, Giải phương trình: $9sinx+6cosx-3sin2x+cos2x=8$
2, Giải hệ phương trình : \[\left\{ \begin{array}{l}
{x^4} - {y^4} = 240\\
{x^3} - 2{y^3} = \left( {{x^2} - 4{y^2}} \right) - 4\left( {x - 8y} \right)
\end{array} \right.\]
Câu III (1 điểm). Tính tích phân \[I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin 2x}}{{3 + 4\sin x - c{\rm{os}}2x}}dx} \]
Câu IV (1 điểm: Cho hình chóp $S.ABCD$ có dát là hình vuông cạnh $a$. $SA$ vuông góc với đáy $SA=a$. Gọi $I$ là trung điểm của $SB$. Tính thể tích tứ diện $IABC$ và khoảng cách giữa $SD$ và $AC$

Câu V(1 điểm): Tìm m để phương trình sau có nghiệm: $\sqrt{x}+\sqrt{4-x}=\sqrt{5m+4x-x^2}$

PHẦN RIÊNG (2 điểm)
A. Theo chương trình chuẩn.
Câu VI.a (2 điểm)
1,Trong mặt phẳng $Oxy$ cho đường tròn : $©: (x-1)^2+y^2=16$. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua $M(0;5)$ cắt đường tròn $©$ tại hai điểm phân biệt $A,B$ sao cho $S_{\Delta IAB} =\sqrt{15}$ (Với I là tâm của đường tròn $©$ ).
2, Giải phương trính sau: $7^{x-1}=6log_7(6x-5)+1$
Câu VII.a (1 điểm)
TÍnh tổng sau: $S = {1^2}C_{2n}^1 - {2^2}C_{2n}^2 + .... - {(2n)^2}C_{2n}^{2n}$ với $n \in N,n > 1$
B. Theo chương trình nâng cao.
Câu VI.b (2 điểm)
1,Trong mặt phẳng $Oxy$ cho đường tròn $©: (x+6)^2+(y-6)^2=50$. Viết phương trình đường thẳng $(d)$ cắt hai trục tọa độ tại hai điểm $A,B$ và tiếp xúc với đường tròn $©$ tại M sao cho M là trung điểm của AB.
2, Giải phương trình : \[{7^{{{\log }_5}(x - 1)}} - {5^{{{\log }_7}(x + 1)}} = 2\]
Câu VII.b(1 điểm)
Tính tổng sau: \[S = {\left( {\frac{{C_{n - 1}^0}}{1}} \right)^2} + {\left( {\frac{{C_{n - 1}^1}}{2}} \right)^2} + .... + {\left( {\frac{{C_{n - 1}^{n - 1}}}{n}} \right)^2}\]

Với $n \in N,n > 1$

Phương trình này tương đương với
$(x^2-x+1)(x^2-2x+2)=0$
Tới đây thì dễ rồi bạn nhé

Chắc cu này lại dùng wolframalpha rồi @@
Lời giải đây

Phương trình đã cho tương đương với: $${x^4} + \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 2\left( {x - 1} \right)} \right) = 0 \Leftrightarrow {x^4} + \left( {x - 1} \right){x^2} - 2{\left( {x - 1} \right)^2} = 0$$
Đặt $y = x - 1$, ta được: $${x^4} + y{x^2} - 2{y^2} = 0 \Leftrightarrow 2{y^2} - {x^2}y - {x^4} = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$$
Xem $(1)$ là phương trình bậc hai theo $y$. Do đó:
$$(1) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
y = {x^2}\\
y = - \dfrac{{{x^2}}}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x - 1 = {x^2}\\
x - 1 = - \dfrac{{{x^2}}}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x^2} - x + 1 = 0\\
{x^2} + 2x - 2 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = - 1 \pm \sqrt 3 $$

Spam chút : Sao không tiếp tục duy trì topic này nhỉ ???
_________________
Có thấy ai vào post bài đâu!