Giải hệ phương trình

 

 

$\left\{\begin{matrix} 2x^2+(y^2-2y-2)\sqrt{x^2+2}-y^2+2y+4=0 & \\ x+\sqrt{x(y^2-6x+10)}=\sqrt[3]{x^2-4}+\sqrt{y^2+2}+2 & \end{matrix}\right.$

Ta có: 

$\large pt1\Leftrightarrow 2(x^{2}+2)+(y^{2}-2y-2)\sqrt{x^{2}+2}=y^{2}-2y-2+2 \\ \\ \Leftrightarrow 2(\sqrt{x^{2}+2}-1)(\sqrt{x^{2}+2}+1)+(y^{2}-2y-2)(\sqrt{x^{2}+2}-1)=0\\ \\ \Leftrightarrow (\sqrt{x^{2}+2}-1)(y^{2}-2y-4+2\sqrt{x^{2}+1})=0$

Cho 3 số thức dương a;b;c thỏa mãn a+b+c=1 và a+b>2c.

Tìm MIN: 

$\large P=\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\frac{6\sqrt{15}}{25(a+b)}$

CHo a;b;c là các số thực dương thỏa mãn: $ab+bc+ac=1$

CMR                 $\large a\sqrt{b+c}+b\sqrt{a+c}+c\sqrt{a+b}\leq \sqrt{2(a+b+c)}$

Giải phương trình

$(x+4)\sqrt{x+5}-8\sqrt{x}=x\sqrt{x}$      (1)

*ĐKXĐ: $x\geq 0$

Ta có: $\large (1)\Leftrightarrow (x+4)(\sqrt{x+5}-3)+3x+12-8\sqrt{x}-(\sqrt{x})^{3}=0\\ \Leftrightarrow (x-4).\frac{x+4}{\sqrt{x+5}+3}+(2-\sqrt{x})(x-\sqrt{x}+6)=0\\ \Leftrightarrow x-4=0\Leftrightarrow x=4$

GIải BPT

$\large 8x^{3}-2x\geq (4+\sqrt{x-1})(x+14+8\sqrt{x-1})\hspace{5mm}(1)$

Mình vừa tìm được 1 cách giải này:

Ta có: 

$\large (1)\Leftrightarrow (2x)^{3}-2x\geq (4+\sqrt{x-1})(x+14+8\sqrt{x-1})\\ \Leftrightarrow (2x)^{3}-2x\geq \left ( 4+\sqrt{x-1} \right )^{3}-(4+\sqrt{x-1})$

Xét hàm số: $\large f(t)=t^{3}-t$ trên $\large \left ( 1;+\infty \right )$

GIải BPT

$\large 8x^{3}-2x\geq (4+\sqrt{x-1})(x+14+8\sqrt{x-1})$

Xem hàm số: $\LARGE \LARGE y=f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x\hspace{5mm}(C)$

Giả sử điểm M có tọa độ $\LARGE M(x_{0};y_{0})$

Khi đó tiếp tuyến của (C) tại điểm M có phương trình: 

$\LARGE y=f'(x_{0}).(x-x_{0})+y_{0}= (3x_{0}^{2}-12x_{0}+9).x+A\\ \Leftrightarrow (3x_{0}^{2}-12x_{0}+9).x-y+A=0\hspace{5mm}(d)$

Góc tạo bởi (d) và ($\Delta$) là góc $\LARGE \alpha$ có $\LARGE cos\alpha =\frac{4}{\sqrt{41}}$

$\LARGE \LARGE \Leftrightarrow \frac{\left | (3x_{0}^{2}-12x_{0}+9).1-1.1 \right |}{\sqrt{(3x_{0}^{2}-12x_{0}+9)^{2}+1^{2}}.\sqrt{2}}=\frac{4}{\sqrt{41}}\\ \\ \Leftrightarrow \frac{(3x_{0}^{2}-12x_{0}+8)^{2}}{(3x_{0}^{2}-12x_{0}+9)^{2}+1}=\frac{32}{41}$       (*)      (bình phương 2 vế ạ)

Đặt $\LARGE 3x_{0}^{2}-12x_{0}+8=t$

Khi đó phương trình (*) trở thành: 

$\LARGE \frac{t^{2}}{(t+1)^{2}+1}=\frac{32}{41}\\ \Leftrightarrow 9t^{2}-64t-64 \Leftrightarrow \begin{bmatrix} t=\frac{-8}{9} & & \\ t=8 & & \\ \end{bmatrix}$

Đến đây thay t lên chỗ đặt và giải ra $\LARGE x_{0}$

$\large \large \left\{\begin{matrix} y(\sqrt{x+6}-y)=6-\sqrt{6(y^{2}-x)} \hspace{5mm}(*)& & \\ 2+x+\sqrt{x(y^{2}-10)+3}=\sqrt[3]{x^{2}(y^{2}-1)+16x+5} \hspace{5mm}(**)& & \end{matrix}\right.$

GIẢI:

*ĐKXĐ: $\large \left\{\begin{matrix} x\geq 6 & & & \\ y^{2}\geq x & & & \\ x\left ( y^{2}-10 \right )+3\geq 0 & & & \end{matrix}\right.$

 Nếu $\large \sqrt{x+6}+y=0\rightarrow y\leq 0\rightarrow VT_{(*)}\leq 0$

Mặt khác: $\large x\geq -6\Rightarrow y^{2}-x\leq y^{2}+6\rightarrow VP_{(*)}\geq 0$

Do đó: $\large VT_{(*)}=VP_{(*)}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=-6 & & \\ y=0 & & \end{matrix}\right.$

Thế vào (**) không thỏa mãn. 

Vậy $\large \sqrt{x+6}+y\neq 0$

Khi đó ta có: $\large (*)\Leftrightarrow \frac{y\left ( x-y^{2}+6 \right )}{\sqrt{x+6}+y}=\frac{6\left ( 6-x+y^{2} \right )}{6+\sqrt{6\left ( y^{2}-x \right )}}$

$\large \Leftrightarrow (x-y^{2}+6)(\frac{y}{\sqrt{x+6}+y}+\frac{6}{6+\sqrt{6(y^{2}-x)}})=0\Leftrightarrow y^{2}=x+6$

Thế vào phương trình (**) ta được phương trình: 

$\large 2+x+\sqrt{x^{2}-4x+3}=\sqrt{x^{3}}+5x^{2}+16x+5\\ \Leftrightarrow \sqrt{x^{2}-4x+3}=\frac{-x^{2}+4x-3}{M}$    (1)

Với $\large M.(\sqrt[3]{x^{3}+5x^{2}+16x+5}-x-2)=-x^{2}+4x-3$ và M>0 

$\large (1)\Leftrightarrow (x^{2}-4x+3)(\frac{1}{\sqrt{x^{2}-4x+3}}+\frac{1}{M})=0 \\ \Leftrightarrow x^{2}-4x+3=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=1 & & \\ x=3 & & \end{bmatrix}$

Kết hợp với ĐKXĐ ta được tập nghiệm của hệ phương trình là $\large S=\left \{ (1;-\sqrt{7});(1;\sqrt{7});(3;3);(3;-3) \right \}$

Cho các số thực a;b;c thỏa mãn: $\left\{\begin{matrix} a;b;c\in \left [ 1;2 \right ] & & \\ a+b+c\leq 4 & & \end{matrix}\right.$

CMR: $\sum \frac{a}{bc+2}> \frac{2}{3}$

Giải hệ phương trình sau 

$\left\{\begin{matrix} xy+2=y\sqrt{x^2+2} & \\ y^2+2(x+1)\sqrt{x^2+2x+3}=2x^2-4x & \end{matrix}\right.$

Ta có: $pt1\Leftrightarrow y\left ( \sqrt{x^{2}+2}-x \right )=2\Leftrightarrow y=x+\sqrt{x^{2}+2}$

Thế vào phương trình 2 ta được $x+x\sqrt{x^{2}+2}=\left ( -x-1 \right )+\left ( -x-1 \right )\sqrt{\left ( -x-1 \right )^{2}+2}$

Đến đây đã xuất hiện hàm đặc trưng

Bài 4: (Đề thử sức số 3 báo THTT số 450 T12/2014)

Cho hai số thực $a;b\in \left ( 0;1 \right )$ thỏa mãn $a^{2}+b^{2}=a\sqrt{1-b^{2}}+b\sqrt{1-a^{2}}$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P= \frac{8\left ( 1-a \right )}{1+a}+9\sqrt{\frac{1-b}{1+b}}$

Bài 3 (Đề thi thử số 2 báo THTT số 449 tháng 11/2014)

 

Cho $a.b.c$ là các số thực dương thỏa mãn $abc=\frac{1}{6}$.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$$\mathbb{P}=\frac{1}{a^4(2b+1)(3c+1)}+\frac{1}{16b^4(3c+1)(a+1)}+\frac{1}{81c^4(a+1)(2b+1)}$$

Đổi biến $\left ( \frac{1}{a};\frac{1}{2b};\frac{1}{2c} \right )\rightarrow \left ( x;y;z \right )$. Từ điều kiện suy ra $xyz=1$

Khi đó $P= \frac{x^{3}}{\left ( y+1 \right )\left ( z+1 \right )}+\frac{y^{3}}{\left ( x+1 \right )\left ( z+1 \right )}+\frac{z^{3}}{\left ( x+1 \right )\left ( y+1 \right )}$

THeo BĐT AM-GM ta có: $\frac{x^{3}}{\left ( y+1 \right )\left ( z+1\right )}+\frac{y+1}{8}+\frac{z+1}{8}\geq \frac{3x}{4}$

THiết lập các BĐT tương tự ta suy ra được $P_{Min}=\frac{3}{4}\Leftrightarrow a=1;b=\frac{1}{2};c=\frac{1}{3}$

Nghĩ thế nào mà ra được cái (1) thế bạn, chỉ cho mk với!!

Dùng phương pháp tiếp tuyến đó bạn. 

Cho hàm số: $\left ( n^{2}+n+1 \right )^{2};n\in N^{*}$

Xét dãy số xác định bởi $u=\frac{f\left ( 1 \right ).f\left ( 3 \right ).f\left ( 5 \right )...f\left ( 2n-1 \right )}{f\left ( 2 \right ).f\left ( 4 \right ).f\left ( 6 \right )....f\left ( 2n \right )}$

Tính $Lim\left ( n\sqrt{u} \right )$

Cảm giác có người yêu thế nào mọi người? 

GHPT:

$\left\{\begin{matrix}\sqrt{x+1}+\sqrt[4]{x-1}-\sqrt{y^4+2}=y& \\  2(x^2-2y^4)=y^4\sqrt{4x^2-3x-2}& \end{matrix}\right.$

HD:

Ta có:    $pt1\Leftrightarrow \sqrt{\left ( \sqrt[4]{x-1} \right )^{4}+2}+\sqrt[4]{x-1}=\sqrt{y^{4}+2}+y$

Xét hàm số: $f\left ( t \right )=\sqrt{t^{4}+2}+t$

GHPT: 

1. $\left\{\begin{matrix}\sqrt{(1-y)(x^2+4x-8)} +(x+2)\sqrt{13-y}=12& \\  x^3+6x^2+4x=9+2\sqrt{y-3}& \end{matrix}\right.$

 

Điều kiện: $\left\{\begin{matrix} x> -2 & & \\ 3\leq y\leq 13 & & \end{matrix}\right.$

Giải quyết phương trình (1) ta có: 

$\sqrt{\left ( 1-y \right )\left ( x^{2}+4x+8 \right )}= \sqrt{y-1}.\sqrt{8-4x-x^{2}}\leq \frac{y+7-4x-x^{2}}{2} \left ( \bigstar \right )$

$\sqrt{\left ( 13-y \right )\left ( x+2 \right )^{2}}\leq \frac{x^{2}+4x+17-y}{2}\left ( \bigstar \bigstar \right )$

Từ $\left ( \bigstar \right );\left ( \bigstar \bigstar \right )\rightarrow VT_{\left ( 1 \right )}\leq 12$

Dấu ''='' xảy ra $\Leftrightarrow y=-x^{2}-4x+9$

Giải hệ phương trình:$\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+1=\sqrt[3]{2x^{2}+x}+2x & & \\ 3x^{2}-x+\frac{1}{2}=y\sqrt{x^{2}+x} & & \end{matrix}\right.$

Cho các số dương $a;b;c$ thỏa mãn $\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}= \frac{1}{2c^{2}}$.

TÌm GTNN của biểu thức 

$P=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$

Mình cũng đóng góp bộ sưu tập, G mình nhá! 

Sau bao cảm xúc dồn nén bấy lâu ,tối nay em up ngay hình "Gấu" của em

11219711_1492816341010230_8829147245020173718_n.jpg
 

Mình thấy thích điều này (y)   

Giải phương trình

 $\sqrt{x^{4}+x^{2}+1}+x=\sqrt{x\left ( 1-x^{2} \right )}$

CHo a,b,c là 3 số thực dương thỏa mãn: $\frac{2}{a}+\frac{1}{b}\leq 1;\frac{4}{c}+b\leq 2$

TÌm Min:   $P=a+9b+c$

Tìm điều kiện của m để  hệ bất phương trình sau có nghiệm

$\left\{\begin{matrix} 7^{2x+\sqrt{x+1}}-7^{x+\sqrt{x+1}}+2009x\leq 2009 & & \\ x^{2}+\left ( m+2 \right )x+2m+3\geq 0 & & \end{matrix}\right.$

Các bạn giải gúp:

 

 

Tìm giá trị lớn nhất của E = 1 + $\sqrt{4x-x^{2}-2}$

Xét hàm số $y=\sqrt{4x-x^{2}-2}$ trên $\left [ 2-\sqrt{2};2+\sqrt{2} \right ]$

Lập bảng biến thiên và tìm Max