Cho 1 dãy số tự nhiên A(i) thỏa mãn:
A(1) <2011, A (i) + A(i+1) = A(i+2)

Biết A(1) - A(n) và A(2) + A(n-1) chia hết cho 2011.
CMR; N là 1 số lẻ

Xét dãy số $A_1=0;A_2=2011;A_i + A_{i+1} = A_{i+2}$ là một dãy số thoả mãn yêu cầu bài toán (do tất cả các số hạng của dãy đều chia hết cho $2011$)
Đâu nhất thiết là $n$ lẻ?

Vì gọi a là số vịt
a:2 số lẻ
a:3 dư 1.
a:4 dư.
a:5 tận cùng là 4;9.
a:2 dư tận cùng a ko phải là 4.
a<200 a là B(7) có tận cùng là 9.
7.7=49
7.17=119:3 dư 2
7.27=189:3 =63
Vậy a = 49.
poro_poro
Bài này có nhiều trên mạng rồi em ạ

Cho đường tròn $(O)$. $A$ lad một điểm nằm ngoài đường tròn. Từ $A$ vẽ tiếp tuyến $AA'$ và cát tuyến $ACD$ ($C$ nằm giữa $A$ và $D$). Đường tròn $(A; AA')$ cắt đường thẳng $CD$ tại $E,F$ ($E$ nằm giữa  $C$ và $D$). Gọi $M=A'E\cap OF, N=DM\cap A'F, I=CM\cap A'F, J=NC\cap A'E$. Chứng minh: $I,J,D$ thẳng hàng.

Có hình luôn đây 

- Hai đường tròn $(O)$ và $(A)$ trực giao nên $(FECD)=-1$

$\Rightarrow M(FECD)=-1\Rightarrow (FA'NI)=-1$

- Theo hệ quả của phép chiếu xuyên tâm thì $I,D,J$ thẳng hàng $\square$

Một túi gồm 1001 viên đá. Mỗi bước chọn 1 túi có nhiều đá hơn, bỏ đi 1 viên và chia số còn lại thành 2 túi . Hỏi có thể làm như vậy để thu đc tất cả các túi đều có 3 viên đá đc không?

Gọi $S$ là tổng số đá và số túi sau mỗi bước $\Rightarrow S$ là đại lượng bất biến (sau mỗi bước bỏ 1 đá và thêm 1 túi)
Do lúc đầu $S\not\vdots 4$, mà để thu được tất cả các túi đều có 3 viên đá thì $S\vdots 4$
$\Rightarrow$ Không thể thu được tất cả các túi đều có 3 viên đá.

Tính tích :
$\sin \frac{\pi}{2n}\sin \frac{2\pi}{2n}\sin \frac{3\pi}{2n}...\sin \frac{(n-1)\pi}{2n}$.

- Xét phương trình $x^{2n}-1=0$ có các nghiệm $x_k=\cos\dfrac{2k\pi}{2n}+i\sin\dfrac{2k\pi}{2n}$ với $k=\overline{0,2n-1}$ (chú ý $x_0=1;x_n=-1$)

- Với $k=\overline{1,n-1}$, ta có:
$$\begin{aligned}x_{2n-k}&=\cos\dfrac{2(2n-k)\pi}{2n}+i\sin\dfrac{2(2n-k)\pi}{2n}\\ &=\cos(2\pi-\dfrac{2k\pi}{2n})+i\sin(2\pi-\dfrac{2k\pi}{2n})\\&= \cos\dfrac{2k\pi}{2n}-i\sin\dfrac{2k\pi}{2n}\\&=\overline{x_k} \end{aligned}$$

Vậy nên ta có thể viết:
$$\begin{aligned}x^{2n}-1&=(x^2-1)\prod _{i=1}^{k-1}(x-x_{k})(x-\overline{x_{k}})\\&=(x^2-1)\prod _{i=1}^{k-1}[x^2-(x_{k}+\overline{x_{k}})+1]\\&=(x^2-1)\prod _{i=1}^{k-1}(x^2-2\cos\dfrac{2k\pi}{2n}+1)\\&=(x^2-1)\prod _{i=1}^{k-1}(x^2-2(1-2\sin^2\dfrac{k\pi}{2n})+1)\end{aligned}$$

Ở trên nếu cho $x\rightarrow 1$ thì:
$$n=\prod _{i=1}^{k-1}4\sin^2\dfrac{k\pi}{2n}\\ \Rightarrow \prod _{i=1}^{k-1}\sin\dfrac{k\pi}{2n}=\dfrac{\sqrt{n}}{2^{n-1}}\ \square$$

Cho $a,b,c,d>0$ thỏa
$a+b+c+d = \frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+\frac{1}{d^{2}}$
CMR
$2(a+b+c+d)\geq \sqrt[3]{a^{3}+7}+\sqrt[3]{b^{3}+7}+\sqrt[3]{c^{3}+7}+\sqrt[3]{d^{3}+7}$

Bài này sử dụng $Chebyshev$ là ra :
---
-Viết lại giả thiết: $\sum \left(a-\dfrac{1}{a^2}\right)=0$. Ta có:
$$bdt\Leftrightarrow \sum (2a-\sqrt[3]{a^3+7})\ge 0\\ \Leftrightarrow \sum \dfrac{8a^3-(a^3+7)}{4a^2+2a\sqrt[3]{a^3+7}+\sqrt[3]{(a^3+7)^2}}\ge 0\\ \Leftrightarrow \sum \dfrac{a-\dfrac{1}{a^2}}{4+2\sqrt[3]{1+\dfrac{7}{a^3}}+\sqrt[3]{(1+\dfrac{7}{a})^2}}\ge 0$$
Giả sử $a\ge b\ge c\ge d$ thì ta có hai dãy đơn điệu cùng chiều:
$$a-\dfrac{1}{a^2}\ge b-\dfrac{1}{b^2}\ge c-\dfrac{1}{c^2}\ge d-\dfrac{1}{d^2}\
\\\dfrac{1}{4+2\sqrt[3]{1+\dfrac{7}{a^3}}+\sqrt[3]{(1+\dfrac{7}{a})^2}}\ge \dfrac{1}{4+2\sqrt[3]{1+\dfrac{7}{b^3}}+\sqrt[3]{(1+\dfrac{7}{b})^2}}\ge ...$$
Áp dụng BĐT $Chebyshev$ cho hai dãy đơn điệu cùng chiều ta có ĐPCM. Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=d=1$

bài1:Cho tam giác ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp là R,trọng tâm G.tìm vị trí điểm P để biểu thức http://latex.codecog...rac{3PG^2}{R^4}đạt giá trị bé nhất


bài 2:Cho tam giác ABC nội tiếp (O) ,I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.IA,IB,IC cắt (O) tại D,E,F.(khác A,B,C).Chứng minh rằng:
http://latex.codecog...9}{S\Delta ABC}

bài 3:Cho tam giác ABC,trọng tâm G,điểm lemoine L(giao của 3 đường đối trung).Chứng minh rằng:
http://latex.codecog...c{LC}{GC}\leq 3

Học gõ $\LaTeX$ và suy nghĩ kĩ trước khi hỏi bài!
Bài nào thử mọi cách ko ra thì mới hỏi. Đằng này BTVN chiều thầy vừa cho xong mà tối đã post lên đây rồi .

Cho đa thức $P(x)$ có hệ số nguyên thỏa mãn điều kiện : $P(2006)=2006! $và $xP(x-1)=(x-2006)P(x)\ (*)$ .Chứng minh rằng: $f(x)=(P(x))^2+1$ bất khả quy trong $Z [x]$

-Thay $x=0$ vào $(*)\Rightarrow P(0)=0$

-Thay $x=2006$ vào $(*)$ ta có:
$$2006P(2005)=0\Rightarrow P(2005)=0$$

-Thay $x=2005$ vào $(*)$ ta có:
$$2005P(2004)=0\Rightarrow P(2004)=0$$

Tiếp tục quá trình trên suy ra: $P(k)=0$ với $k=\overline{0,2005}$

-Theo định lý Bezout thì đa thức $P(x)$ có dạng:
$$P(x)=x(x-1)(x-2)...(x-2005)Q(x)$$

Từ (*) ta có thể dễ dàng chứng minh bằng quy nạp rằng:
$$P(2006+n)=\dfrac{(2006+n)!}{n!}\ \ n\in \mathbb{N}$$

Từ đó suy ra:
$$P(2006+n)=(2006+n)(2005+n)...(1+n)Q(2006+n)\\ \Leftrightarrow \dfrac{(2006+n)!}{n!}= \dfrac{(2006+n)!}{n!}Q(2006+n)\\ \Leftrightarrow Q(2006+n)=1\ \ \forall n\in \mathbb{N}\\ \Rightarrow Q(x)\equiv 1$$

Khi đó viết lại $P(x)$:
$$P(x)=x(x-1)(x-2)...(x-2005)$$

Công việc chứng minh $f(x)=(P(x))^2+1$ bất khả quy trong $Z [x]$ bây giờ trở thành một bài toán quen thuộc $\square$

SOLUTION:
Đặt $x=a;y=b;21=c;6=d$, khi đó pt đã cho trở thành:
$$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{a+d}+\frac{d}{a+b}=\frac{2}{z}(*)$$
Mặt khác, ta dễ dàng cm $VT(*)\ge 2$ theo Nesbit 4 biến và $VP(*)\le 2$ do $z\in N^*$. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
$$\left\{\begin{matrix}a=c\\ b=d\\ z=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=21\\ y=6\\ z=1\end{matrix}\right.$$
Vậy pt đã cho có nghiệm $x=21;y=6;z=1$

Tìm hiểu thêm pp cauchy ngược dấu ở đây nhé bạn : http://diendantoanho...-phan-i-ii.html

http://diendantoanho...showtopic=68132

Bài toán :
Cho $a,b,c > 0$. Tìm GTNN của :
$$P = \dfrac{a^{2012}+1}{b}+\dfrac{b^{2012}+1}{c}+\dfrac{c^{2012}+1}{a}-\dfrac{2}{a+b+c}$$

Có $-\dfrac{2}{a+b+c}=-\dfrac{2}{9}.\dfrac{9}{a+b+c}\geq -\dfrac{2}{9}(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})$. Suy ra
$P=\frac{a^{2012}+\frac{7}{9}}{b}+\dfrac{b^{2012}+\frac{7}{9}}{c}+\dfrac{c^{2012}+\frac{7}{9}}{a}+\frac{2}{9}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})-\frac{2}{a+b+c}$
$\geq \dfrac{a^{2012}+\frac{7}{9}}{b}+\dfrac{b^{2012}+\frac{7}{9}}{c}+\dfrac{c^{2012}+\frac{7}{9}}{a}$
Có: $\frac{a^{2012}+\frac{7}{9}}{b}=\frac{a^{2012}+\frac{7}{9.2011}+\frac{7}{9.2011}+...+\frac{7}{9.2011}}{b}\geq \frac{2012\sqrt[2012]{a^{2012}.\frac{7^{2011}}{18099^{2011}}}}{b}=2012\sqrt[2012]{\frac{7^{2011}}{18099^{2011}}}.\frac{a}{b}$
Xây dựng các BĐT tương tự rồi cộng vào ta có:
$P\geq 2012\sqrt[2012]{\frac{7^{2011}}{18099^{2011}}}.(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})\geq 6036\sqrt[2012]{\frac{7^{2011}}{18099^{2011}}}$
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=\sqrt[2012]{\frac{7}{18099}}$
Lần sau a cho bài số đẹp tí nhé

Trong chuyên đề của thầy Thanh có bài này:

Mà nên move topic sang box Số thì đúng hơn

Câu 4:
Cho 2012 số nguyên dương $x_{1}, x_{2},..., x_{2012}$ thỏa mãn:
$\frac{1}{\sqrt{x_{1}}}+\frac{1}{\sqrt{x_{2}}}+...+\frac{1}{\sqrt{x_{2011}}}+\frac{1}{\sqrt{x_{2012}}}=125$
CMR: ​Trong 2012 số nguyên dương trên có ít nhất 3 số bằng nhau.


Giả sử trong 2012 số trên không có quá 2 số bằng nhau
$\Rightarrow 125\leqslant 2\times (1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{1006}})< 2\times (1+\frac{2}{1+\sqrt{3}}+\frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{4}}+...+\frac{2}{\sqrt{1005}+\sqrt{1007}})=2\times (\sqrt{1007}+\sqrt{1006}-\sqrt{2})< 125$
$\Rightarrow$ có ít nhất 3 số bằng nhau

------Đề thi thử ĐHKHTN năm 2012-2013 lần 5------

1. Giải pt:
$$x^2+\sqrt{x+4}+\sqrt{x+11}=27+x$$
2. Giải hệ:
$$\left\{\begin{matrix}2x^3+xy^2+x-2y=4\\ 2x^2+xy+2y^2+2y=4\end{matrix}\right.$$

$\fbox{Bài toán:}$      Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình:
$$\left \lfloor n\sqrt{2} \right \rfloor=\left \lfloor 2+m\sqrt{2} \right \rfloor$$

Problem: Cho số nguyên dương $n$, chứng minh rằng:
$$\sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{i^2(i+2)\sqrt{i+1}}<\dfrac{1}{2\sqrt{2}}$$

Ngày thi: 22/10/2012

Thời gian: 180 phút

(Vòng 1)

Câu 1. (5 điểm)
Xác định tất cả các giá trị thực của m để từ đó tìm được 2 số nguyên a và b sao cho đa thức: $P(x)=x^5+mx-1$ chia hết cho đa thức: $Q(x)=x^2-ax+b$

Câu 2. (5 điểm)
Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n cho trước thì phương trình:$x^{2n+1}=x+1$ có đúng một nghiệm thực. Gọi nghiệm ấy là $x_n$, tìm $\lim x_n$

Câu 3. (4 điểm)
Cho tam giác đều $ABC$ cạnh $a$, tâm $O$. Đường thẳng $d$ qua $O$ cắt $AB,BC,AC$ lần lượt tại $M, N, I$ . Chứng minh rằng: $\dfrac{1}{OM^2}+\dfrac{1}{ON^2}+\dfrac{1}{OI^2}$ không đổi khi $d$ quay quanh $O$.

Câu 4. (3 điểm)
Cho dãy số $(x_n)_{n=1}^7$ gồm các số nguyên dương thỏa mãn điều kiện:
$ x_6=144;\ \ \ x_{n+3}=x_{n+2}(x_{n+1}+x_n)$ với $n=1,2,3,4$.
Tính $x_7$

Câu 5. (3 điểm)
Cho bộ 3 số $(a;b;c)$ các số không đồng thời bằng nhau. Ta thực hiện phép toán sau: Nếu có bộ 3 số $(x;y;z)$ thì được thay thế bằng bộ 3 số $(x-y;y-z;z-x)$
a. Chứng minh rằng: Từ bộ 3 số $(a;b;c)$ ban đầu bằng cách thực hiện liên tiếp phép toán trên một số bước thích hợp ta nhận được bộ 3 số mà tồn tại ít nhất 1 trong 3 số đó lớn hơn số $22^{10}$.
b. Chứng minh rằng từ bộ 3 số $(a;b;c)$ ban đầu, với $a, b, c$ là các số nguyên. Nếu ta thực hiện liên tiếp phép toán trên một số bước thích hợp thì nhận được bộ 3 số mà ít nhất 1 trong 3 số đó chia hết cho $3^{2012}$

----------------------------- HẾT -----------------------------

Đã chém được $2,4,5$. Nhưng bài 4 làm vòng vèo quá ="=. Có đề mà không có đáp án so
P/s: Quê mình không hay cho BĐT, PTH thì phải?

Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
$$1+x+y^2+x^3=1987^y$$
P/s: Chả biết đề đúng hay sai nữa, her her ... Nhưng nếu nó chỉ dừng lại ở $1+x+x^2+x^3=1987^y$ thì không còn là bài toán khó

Câu I ( 2 điểm): Cho hàm số : $f(x) = \sqrt{x^2+3}-x $ và $x_1;x_2$ là 2 nghiệm pt $x^2+(m-3)x+m=0$ Tính :
$$f(x_1)+f(x_2)+f(x_1).f(x_2)$$

Câu II (3 điểm):
1) Giải phương trình : $$(x^2+19x-5)+19(x^2+19x-5)-x=5$$
2) Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix} 2x^2(8x-1) + y^2 = 0 \\ \frac{9x^2}{x^2+y+1}+\frac{x^2+y+1}{x^2}=10 \end{matrix}\right.$

Câu III (2 điểm):
1) Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương n để $$ 5^n+1 \vdots 49^{2012}$$
2) Tìm x;y nguyên dương để: $$\sqrt{x-1}+\sqrt{y+1} = \sqrt{\frac{xy-1+x-y}{2012}}$$

Câu IV (2 điểm) :Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H và 2 đường cao BE;CF,phân giác trong AD.Gọi I;K lần lượt là trung điểm AH;BC.IK cắt AD ở M.Chứng minh rằng E;M;H;F cùng thuộc 1 đường tròn

Câu V (1 điểm)Cho x;y dương thay đổi.Tìm Min:
$$ P=\frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{y}}+\frac{\sqrt{y}}{2}+ \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} +\frac{1}{1+\sqrt{x}} $$

Nguồn: Son9701 - diendan.hocmai.vn
Đề này được post cách đây 3 ngày, cũng không chắc có phải là ngày thi không . Thời gian làm bài cũng mù tịt

Problem: Đếm số hình vuông $n*n$, trong đó các ô vuông con $1*1$ được điền các số $0,1$ sao cho mỗi hàng, mỗi cột có tổng các số là chẵn.

1/ Dựng một đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng và một đường tròn cho trước

2/ Dựng một đường tròn tiếp xúc với hai đường tròn và một đường thẳng cho trước

3/ Dựng một đường tròn tiếp xúc ngoài với ba đường tròn cho trước (3 đường tròn này không có điểm chung)