Bài 29

Cho $p_{n}$ là số nguyên tố thứ $n$. Chứng minh rằng:

a.$p_{n}>2n$ với mọi $n>4$

b.$p_{n}>3n$ với mọi $n>11$

a) Ta có $p_{5}=11>2.5$

Giả sử bất đẳng thức đúng với $n=k\geq 5$

Khi $n=k+1$

2 số nguyên tố liên tiếp kể từ số 3 trở đi đều cách nhau ít nhất là 2 vì mọi số nguyên tố khác 2 đều là số lẻ

Suy ra $p_{k+1}-p_{k}\geq 2 \Rightarrow p_{k+1}\geq p_{k}+2> 2k+2=2(k+1)$

=> dpcm
b) ta có$p_{12}=37> 3.12$

Chia tập hợp các số nguyên dương thành các nhóm 3 số:

$A_{1}={1,2,3}$

$A_{2}={4,5,6}$

....

$A_{k}={3k-2,3k-1,3k}$

Trong 12 tập đầu tiên có 11 số nguyên tố, kể từ tập 13 trở đi, trong  mỗi tập $A_{k} , k\geq 13$ có 1số 3k chia hết cho 3 và lớn hơn 3, trong 2 số 3k-1, 3k-2 có 1 số chẵn và lớn hơn 2 => Trong mỗi tập có nhiều nhất là 1 số nguyên tố.   Do vậy số nguyên tố thứ n $p_{n}$ sẽ thuộc tập $A_{k+1}$ hoac các tập sau nữa.
Từ đó suy ra dpcm

Cảm ơn bạn mình thấy chỗ sai rồi nhưng PT có 2 nghiệm phân biệt đều dương thì S>0 và P>0 chứ .

Cảm ơn bạn mình thấy chỗ sai rồi nhưng PT có 2 nghiệm phân biệt đều dương thì S>0 và P>0 chứ .

bạn thông cảm hen. cm luc đêm khuya buồn ngủ

Bài tiếp theo (dành cho học sinh lớp 8, 9)

Bài toán 3
Đề bài: Giải phương trình $(x^2-6x-9)^2=x(x^2-4x-9)$ (1)

Lời giải:
Đặt $a^2-6x-9=t$
PT(1) trở thành
$t^2-x(t+2x)=0$
$\Leftrightarrow (t+x)(t-2x)=0$
$\Leftrightarrow t=-x$ hoặc $t=2x$
Xét $t=-x$
Từ (1) ta có $(-x)^2=x(x^2-4x-9)$
$\Leftrightarrow x(x^2-5x-9)=0$
$\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=\frac{5+\sqrt{61}}{2}$ hoặc $x=\frac{5-\sqrt{61}}{2}$
Xét $t=2x$
Từ (1) ta có: $4x^2=x(x^2-4x-9)$
$\Leftrightarrow x(x^2-8x-9)=0$
$\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=9$ hoặc $x=-1$
Tóm lại phương trình có 5 nghiệm $x \in $ {$0;\frac{5+\sqrt{61}}{2};\frac{5-\sqrt{61}}{2};9;-1$}
_______________________________________________
Theo cách giải đó thì PT(1) là phương trình bậc 4 có tận 5 nghiệm, lẽ nào lời giải lại sai, bạn có thể giải thích không?

Khi giải trường hợp $t=-x$, ta phải giải hpt sau để có nghiệm:

$\left\{\begin{matrix} x^2-6x-9=-x & \\(-x)^2= x(x^2-4x-9) & \end{matrix}\right.$

hệ này vô nghiệm

MOD: Học gõ Latex ở đây

haiz, minh lam được ít quá. chắc không hi vọng

ta dễ dàng cm được các bdt sau
$a^4+b^4\geq a^3b+ab^3$
$b^4+c^4\geq b^3c+bc^3$
$a^4+c^4\geq a^3c+ac^3$
cộng các bdt trên ta được
$2(a^4+b^4+c^4)\geq a^3b+a^3b+b^3c+b^3a+c^3a+c^3b$
$\Rightarrow 3(a^4+b^4+c^4)\geq a^3b+a^3b+a^4+b^3c+b^3a+b^4+c^3a+c^3b+c^4$
$\Rightarrow 3(a^4+b^4+c^4)\geq (a+b+c)(a^3+b^3+c^3)$
$\Rightarrow (a^4+b^4+c^4)\geq (a^3+b^3+c^3)$

Bài 2. (4 điểm)
Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - {y^2} = 4\\
{x^3} - {y^3} = 8
\end{array} \right.$
hinh nhu de nham. le ra phai la x^2-y^2=-4 chu

1 so chinh phuong chia du 0;1
gia su m^2 chia 4 du1, n^2 chia 4 du 1
=> k^2 chia 4 du 2 (vo lý)
=> it nhat 1 trong 2 so m,n chia het cho 4
=>mn chia het cho 4

1 so chinh phuong chia du 0;1
gia su m^2 chia 4 du1, n^2 chia 4 du 1
=> k^2 chia 4 du 2 (vo lý)
=> it nhat 1 trong 2 so m,n chia het cho 4
=>mn chia het cho 4

cách suy luận của bạn chỉ đưa về được là, trong 2 số m^2, n^2 có ít nhất 1 số chia hết cho 4, chu ko suy ra được 1 số chia hết cho 4 hay m, n cùng chẵn
ở đây, bạn chỉ mới xét được trường hợp m,n cùng lẻ=> vô lý
còn trường hợp m,n cùng chẵn hay m,n khác tính chẵn lẻ thi như thế nào?
đây là 1 bài toán khá quen thuộc nhưng cũng khá dễ nhầm lẫn.

mình cũng thử giải bài này rồi nhưng ko được
khi vẽ hình ra mình ko thấy tam giác MNP đều
không biết ý kiến các bạn như thế nào nhưng mình nghĩ bài này thiếu dữ kiện,
theo mình nếu cho thêm tam giác OAB cân nữa thì bài này sẽ khá đơn giản, còn như thế này mình ko giải được

Anh không biết em vẽ hình bằng phần mềm nào. Còn anh xài Gebra thì bài này hoàn toàn đúng:

sao mình thấy tam giác MNP của bạn ko đều, mình ko hiểu về phần mềm vẽ hình lắm

bài 2
áp dụng BDT bunhiakovski cho các số $\frac{1}{\sqrt{a}},\sqrt{\frac{2}{b}},\sqrt{a},\sqrt{2b}$
$((\frac{1}{\sqrt{a}})^{2}+(\sqrt{\frac{2}{b}})^2)((\sqrt{a})^2+(\sqrt{2b})^2)\geq 9$ (*)
ta có $\frac{a+2b}{c}\leq 3$ (1)
thật vậy (1)$\Leftrightarrow a+2b\leq 3c$
$\Leftrightarrow (a+2b)^2\leq 9c^2$
$\Leftrightarrow b^2+2ab\leq 3c^2$ (luôn dúng vì $b^2+2ab\leq a^2+2b^2\leq 3c^2$)
vậy $( a+2b)\frac{3}{c}\leq 9$(**)
(*). (**) $(\frac{1}{a}+\frac{2}{b})(a+2b)\geq (a+2b)\frac{3}{c}\Rightarrow$ dpcm

bài 5
$M=\frac{n}{x+y}=\frac{10x+y}{x+y}=1+\frac{9x}{x+y}=1+\frac{9}{1+\frac{y}{x}}\geq 1+\frac{9}{1+\frac{9}{1}}= \frac{19}{10}$
GTNN của $M=\frac{19}{10}\Leftrightarrow n=19$

Mình chém thử câu 4
Vì $P(x) : (x^2-1)$ được thương là x và có dư nên
$P(x)=x^3+\alpha x+\beta$
$P(x):(x-2)$ dư 2
$\Rightarrow P(x)=(x-2)(ax^2+bx+c)=x^3+x^2(a-2)+x(b-2a)-2b+2$
Vì hệ số của $x^2$ là 0 nên => a=2
$\Rightarrow P(x)=x^3+x(b-4)-2b+2$
Làm tương tự với x+2 ta có
$P(x)=x^3 +x (B-4)+2B-2$
Đồng nhất hệ số ta có hpt
$$\left\{\begin{matrix}
b-4=B-4
\\
-2b+2=2B-2
\end{matrix}\right.$$
Giải ta được b=B=1
Từ đó suy ra
$P(x)=x^3-3x$
Thử lại thấy thỏa mãn => dpcm

mình ngĩ không cần phải dồng nhất hệ số phức tạp nhu thế
khi bạn có P(x)=x^3+ax+b
Áp dụng định lí bezout, ta có P(2)=2, P(-2)=-2, từ đây ta sẽ được hpt là: 8+2a+b=2 và -8-2a+b=-2
Giải hpt ta được kết quả giống bạn

$AB= c,BC=a, AC=b$
$\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{c}{b}$
$\Rightarrow c.\overrightarrow{DC}=b.\overrightarrow{BD}$
$\Rightarrow c(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD})=b.(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB})$
$\Rightarrow \overrightarrow{AD}=\frac{c}{b+c}.\overrightarrow{AC}+\frac{b}{b+c}.\overrightarrow{AB}$
lập các đẳng thức tương tự, cộng vế theo vế và biến đổi sẽ được $a=b=c$

$\large x\leq y\leq z\Rightarrow \frac{1}{x}\geq \frac{1}{y}\geq \frac{1}{z}$$\large \Rightarrow \frac{3}{x}\geq \frac{1}{2}\Rightarrow x\leq 6$
giả sử$\large x\leq 5\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq 3.\frac{1}{5}> \frac{1}{2}$ (vô lí)
Vậy $\large x> 5$ mà$\large x\leq 6,x\epsilon \mathbb{N}\Rightarrow x=6$
suy ra$\large \frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{3}$
$\large \Leftrightarrow y+z=3yz$
$\large \Leftrightarrow 3(y+z)=yz \Leftrightarrow (y-3)(z-3)=9$
tới đây thì đơn giản rồi

Mình nghĩ như bạn henry0905 thì lập luận y,z tương tự là được rồi! Cảm ơn bạn nhé!!!

được nhưng mình nghĩ là phả xét x tới 6 trường hợp thì quá dài và mất thời gian nữa

bạn tách 216 thành tích các số nguyên dương
$\large 216=1.216=2.108=3.72=9.24=27.8=54.4=...$
mà$\large x+2y\geq 3$
tới đây thì đơn giản rồi

Sao tớ lập bảng ra rồi mà lại không tìm ra giá trị nào của x, y nguyên cả, toàn là số vô tỉ thôi.

bạn kiểm tra lai đi
mình nghĩ không thể nào ra số vô tỉ được. bởi vì minh chỉ tách thành tích các số nguyên, các hệ số đi với ẩn cũng là số nguyên. trong quá trình giải: hoặc là tìm được nghiệm nguyên hoặc là số hữu tỉ và loại chúng thôi chứ

b. 

Có: $v_n=\frac{u_n}{u_{n+1}-1}=\frac{2014u_n}{u_n^2+2013u_n-2014}=\frac{2014u_n}{(u_n-1)(u_n+2014)}$

Do đó : $v_1+v_2+...+v_n<2014$

<=> $\sum _{k=1}^{n}\frac{2014u_k}{(u_k-1)(u_k+2014)}<2014$

<=>  $\sum _{k=1}^{n}\frac{2015u_k}{(u_k-1)(u_k+2014)}<2015$ $(1)$

mà $\frac{2015u_k}{(u_k-1)(u_k+2014)}=\frac{(u_{k}+2014)-(u_k-1)}{(u_k-1)(u_k+2014)}=\frac{1}{u_k-1}-\frac{1}{u_k+2014}$

=> $v_1+v_2+....+v_n=1-\frac{1}{u_k+2014}$

Do đó $(1)$ <=> $\frac{1}{u_k+2014}>-2014$ (luôn đúng vì $\frac{1}{u_k+2014}>0.-2014$)

Bạn xem hộ mình chỗ bôi đỏ, mình chưa rõ lắm

Sử dụng quy nạp đó bạn ơi, theo mình là thế

Câu 2:

$(a+b+c)^2\geq 4a(b+c)$$\Leftrightarrow 4\geq a(b+c)$

 Suy ra $(b+c)^2\geq 4bc\geq bc.a(b+c)$

$\Rightarrow b+c\geq abc$

đặt $\large x$ là cạnh hình vuông
áp dụng dịnh lý thales, ta có
$\large \frac{MQ}{AH}=\frac{BM}{AB}$
$\large \frac{MN}{BC}=\frac{AM}{AB}$
$\large \frac{MN}{BC}+\frac{MQ}{AH}=1$
$\large \frac{x}{a}+\frac{x}{h}=1$
$\large x=\frac{ha}{h+a}$

$VT \vdots 2001 \Rightarrow VP\vdots 2001\Rightarrow x\vdots 2001(1)) Ma VT> 0\Rightarrow VP> 0\Rightarrow 2001>x(2)) Tu (1)(2)\Rightarrow PT vô nghiệm$

mình nghĩ bài này ko cho điều kiện $x\epsilon \mathbb{Z}$ nên bạn ko thể áp dụng tính chất chia hết

Mình nghĩ Ý của bạn TranLeQuyen là đặt $a=\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$ $\Rightarrow a\geq 0$

Khi đó $VT=f(a)=4a+\frac{1}{a}+\sqrt{\frac{1}{2}(a^2+\frac{1}{a^2})}$

Sau đó xét miền giá trị của f(a) bằng kiến thức đạo hàm 

$\large (\overline{ab})^3=\overline{abcde}$
$\large \Rightarrow (\overline{ab})^3=1000\overline{ab}+\overline{cde}$
$\large \Rightarrow (\overline{ab})^2=1000+\frac{\overline{cde}}{\overline{ab}}\leq 1000+\frac{999}{10} \Rightarrow \overline{ab}\leq 33$
$\large (\overline{ab})^2=1000+\frac{\overline{cde}}{\overline{ab}}\geq 1000+\frac{100}{99} \Rightarrow \overline{ab}\geq 32$
mà$\large \overline{ab}\epsilon \mathbb{N}\Rightarrow \overline{ab}=32,33$
thử vào ta thấy$\large \overline{ab}=32$ thỏa $\large \Rightarrow \overline{abcde}=32768$

Bài 2:
$\overline{ab}=(a+b)\sqrt{a+b}$
$\Rightarrow \sqrt{a+b}=\frac{\overline{ab}}{a+b}\epsilon \mathbb{Q}$
$a+b\epsilon \mathbb{N}\Rightarrow a+b$ là số chính phương
$1\leq a+b \leq 18$
$a+b=4,9,16$
thử lần lượt các trường hợp, ta thấy $\overline{ab}=27$ thỏa

Lời giải. Ta có $$P=x^3+y^3+2xy= 2011(x^2-xy+y^2)+2xy= 2011(x^2+y^2)-2009xy= \dfrac{2009}{2}(x-y)^2+ \dfrac{2013}{2}(x^2+y^2) \ge \dfrac{2013}{2} \cdot \dfrac{(x+y)^2}{2} \ge \dfrac{2013 \cdot 2011^2}{4}.$$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y= \dfrac{2011}{2}$. $\blacksquare$

$x,y$ nguyên dương mà bạn