Cho tam giác ABC có trực tâm H, M là trung điểm của BC. P, Q lần lượt là chân đường cao kẻ từ B và C của tam giác ABC, PQ cắt BC tại N. Chứng minh rằng $NH\perp AM$

 

Bài 3:

1)Giải phương trình : $\sqrt{5x-6}+\sqrt{10-3x}=2x^2-x-2$ (cần lời giải gấp )     (1)

2)Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}xy+x+1=7y &  & \\ x^2+\frac{x}{y}+\frac{1}{y^2}=13 &  & \end{matrix}\right.$

 

1. Ta có: $\left ( 1 \right )\Leftrightarrow \sqrt{5x-6}-2+\sqrt{10-3x}-2=2x^{2}-x-6$

$\Leftrightarrow \frac{5\left ( x-2 \right )}{\sqrt{5x-6}+2}-\frac{3\left ( x-2 \right )}{\sqrt{10-3x}+2}=\left ( 2x+3 \right )\left ( x-2 \right )$

$\Leftrightarrow \left ( x-2 \right )\left ( \frac{5}{\sqrt{5x-6}+2}-\frac{3}{\sqrt{10-3x}+2}-2x-3 \right )=0$

Nhờ vào điều kiện xác định $\frac{6}{5}\leq x\leq \frac{10}{3}$ chứng minh pt kia VN

Pt có 1 nghiệm x=2

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: $y=\sqrt{x^{2}+2x+2}-\sqrt{x^{2}+4x+6}$

Tính đạo hàm và lập bảng biến thiên đi bạn!

Giải hpt: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{2x+1}-\sqrt{2y+1}=y-x\\ x^{2}-12xy+9y^{2}+4=0 \end{matrix}\right.$

Đặt $\large \left\{\begin{matrix} \sqrt{2x+1}=u & & \\ \sqrt{2y+1}=v & & \end{matrix}\right.$

Khi đó phương trình (1) trở thành $\large u-v=v^{2}-u^{2}\Leftrightarrow \left ( u-v \right )\left ( u+v+1 \right )=0$

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{3y^{2}+6}=5x+1\\ 3y^{2}+6=xy^{2}+5x-x^{2} \end{matrix}\right.$

pt 1 phân tích thành $\left ( x-3 \right )\left ( y^{2}-x+2 \right )=0$

Giải hpt: $\left\{\begin{matrix} xy+x+y=x^{2}-2y^{2}\\ x\sqrt{2y}-y\sqrt{x-1}=2x-2y \end{matrix}\right.$

Phương trình 1 phân tích thành $\left ( x+y \right )\left ( 2y-x+1 \right )=0$

THế vào pt 2

Giải hpt: $\left\{\begin{matrix} x^{2}+xy+2=3x+2y\\\sqrt{x+y}+y=x^{2} \end{matrix}\right.$

Phương trình 1 phân tích thành $\left ( x+y-1 \right )\left ( x-2 \right )=0$

Thế vào pt 2 và giải! 

Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác nhọn ABC có $B\left ( -1;-2 \right );C\left ( 6;-1 \right )$, tâm đường tròn ngoại tiếp là $I\left ( 2;2 \right )$. Gọi M là trung điểm của AC; H là hình chiếu của M lên AB. TÌm tọa độ A biết H thuộc đường thẳng $5x-y-1=0$ và H có hoành độ dương

Cho a;b;c là 3 số không âm. Trong đó không có hai số nào đồng thời bằng 0. CMR: 

$\large \sum \frac{a^{3}+abc}{b+c}\geq \sum a^{2}$

Giải HPT sau: $\large \left\{\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{x+y+1}}-\frac{1}{\sqrt{y}}=x^{3}+3y\left ( x^{2}+xy+y-1 \right )+1 & & \\ \sqrt{y-x^{3}}+\sqrt{7-y}=y^{2}+6xy+x^{2}+12 & & \end{matrix}\right.$

Câu 33: Ta có $\large \frac{n_{1}}{n_{2}}=\frac{M_{2}}{M_{1}}=\frac{32,35}{58}$

Giả sử ban đầu có 1 mol butan suy ra số mol sau đó là 1,7984 mol

Nên số mol phản ứng là $\large n_{pứ}=n_{2}-n_{1}=0,7984$

Nên hiệu suất là 79,84%

Câu 34: 

a. Ta thấy $\large n_{ankan}+n_{H2}=n_{anken}=15$$\large =n_{pứ}$

Do đó butan dư là 5 mol

Vậy hiệu suất là 75%

b. Đốt A cũng như đốt butan ban đầu nên  $\large n_{CO_{2}}=4n_{C_{4}H_{10}}=80$

Câu 35: 

Số mol sau pứ là  $\large n_{s}=\frac{n_{t}}{D}$

Do đó để có 0,4 mol X cần 0,16 mol etan

số mol H2 tách ra là 0,0,24 mol=số mol brom pứ

CHo a,b,c dương. CMR 

$\large \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{a+c}{b+c}+\frac{a+b}{a+c}+\frac{c+b}{a+b}$

Giải BPT $\large \large \left ( 5x^{2}-5x+10 \right )\sqrt{x+7}+\left ( 2x+6 \right )\sqrt{x+2}\geq x^{3}+13x^{2}-6x+32$ 

1. Cho a,b,c dương thỏa mãn $b+c=a\left ( b^{2}+c^{2} \right )$

Tìm GTNN của biểu thức 

$A=\frac{1}{\left ( 1+x \right )^{2}}+\frac{1}{\left ( 1+y \right )^{2}}+\frac{1}{\left ( 1+z \right )^{2}}+\frac{4}{\left ( 1+x \right )\left ( 1+y \right )\left ( 1+z \right )}$

2. CHo a,b,c dương thỏa mãn $\large \sum ab=3$

CMR:   $\large \sum \frac{1}{1+a^{2}\left ( b+c \right )}\leq \frac{1}{abc}$

đổi $\left ( \frac{b}{a},\frac{c}{b},\frac{a}{c} \right )\rightarrow \left ( x,y,z \right )$

do đó ta cần chứng minh $\sum \frac{1}{(1+x)^2}\geq \frac{3}{4}$ với $xyz=1$

không mất tính tổng quát giả sử $z=min\left \{ x,y,z \right \}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} z\leq 1\\xy\geq 1 \end{matrix}\right.$

ta có $\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}\geq \frac{1}{2}\left ( \frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y} \right )^2\geq \frac{1}{2}\left ( \frac{2}{1+\sqrt{xy}} \right )^2=\frac{2}{\left ( 1+\frac{1}{\sqrt{z}} \right )^2}$

do đó ta cần chứng minh $\frac{2}{\left ( 1+\frac{1}{\sqrt{z}} \right )^2}+\frac{1}{(1+z)^2}\geq \frac{3}{4}$ với $z\leq 1$

cái này biến đổi tương đương là ra hay xét hàm cũng được

 

p/s:một bài với cách làm tương tự là TST VN 2005

với $a,b,c>0$.CMR $\left ( \frac{a}{a+b} \right )^3+\left ( \frac{b}{b+c} \right )^2+\left ( \frac{c}{c+a} \right )^3\geq \frac{3}{8}$

 

U-Th

Bạn có thể biến đổi tương đương dùm mình không? Mình làm nhưng bị ngược dấu!

Với a,b,c dương chứng minh rằng:    $\left ( \frac{a}{a+b} \right )^{2}+\left ( \frac{b}{b+c} \right )^{2}+\left ( \frac{c}{a+c} \right )^{2}\geq \frac{3}{4}$

 Giải hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} y^2-9x^2+27x-27=0\\ z^3-9y^2+27y-27=0 \\ x^3-9z^2+27z-27=0 \end{matrix}\right.$

Bài này đã thảo luận ở đây

Cho các số dương a,b,c thỏa mãn $\sum a^{2}=3$

CMR: $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+a+b+c\geq 6$

Đối với tam giác ABC hãy chứng minh: 

6. $\sum sinB.sinC.\left ( 1-cosA \right )\leq \frac{9}{8}$

Tìm n thỏa mãn: 

$C_{2n+1}^{1}-2\ast 2\ast C_{2n+1}^{2}+3\ast 2^{2}\ast C_{2n+1}^{3}-4\ast 2^{3}\ast C_{2n+1}^{4}+...+\left ( 2n+1 \right )\ast 2^{n}\ast C_{2n+1}^{2n+1}=2005$

P/s: M.n làm giúp cách không dùng đạo hàm nhé 

Chứng minh rằng:   $\frac{1}{1!\left ( n-1 \right )!}+\frac{1}{3!\left ( n-3 \right )!}+...+\frac{1}{\left ( n-1 \right )!*1!=\frac{2^{n-1}}{n!}$

Tìm nghiệm nguyên của phương trình:$\large cos \left [ \frac{\pi }{8}:\left ( 3x-\sqrt{9x^{2}+160x+800} \right ) \right ]=1$

P/s: xin lỗi mình ghi

PolarBear154

đề sai! Fixed!  

Ta có:$\sum \frac{bc}{(a-b)(a-c)}=1$(đây là bổ đề quen thuộc về đại số nên mình không chứng minh nhé)

mà $\sum \frac{a^2}{(b-c)^2}=(\sum \frac{a}{b-c})^2+\sum \frac{2bc}{(a-b)(a-c)}$

$=(\sum \frac{a}{b-c})^2+2\geq 2$(điều phải chứng minh)

Dấu bằng xảy ra:$\sum \frac{a}{b-c}=0$

$\sqrt{3x+2}$ chứ đâu phải $\sqrt{3x-2}$ đâu các bạn !!

Nếu vậy thì chỉ có cách bình phương hai vế thôi bạn! Còn theo đề mình sửa thì có phương pháp như các # ở trên!

@@@: có lẽ bạn mới học pt lượng giác. Dạng phương trinh dạng như têế này lúc mới học khá hay + khó + thú vị.

Bài giải của nó kết hợp giữa lượng giác và nghiệm nguyên.

Trước eết, giải pt: $\sin y = 1 \Leftrightarrow y = \dfrac{\pi}{2} + k\pi., k \in Z $

$\Rightarrow \pi.\cos x = \dfrac{\pi}{2}+k\pi \Leftrightarrow \cos x = \dfrac{1}{2} + k.$

Nhận xét: $|\cos x | \le 1$ nên với đk $k \in Z$ , ta tìm được $\left[ \begin{array}{l} k=0\\k=-1 \\ \end{array} \right.$

đến đây thì bạn hoàn toàn có thể tự giải được rồi

anh sai ở đây ạ, phải là $ y = \dfrac{\pi}{2} + k2\pi., k \in Z $