Bài 5:

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3.$ Chứng minh rằng :

$\frac{a+1}{b^{2}+1}+\frac{b+1}{c^{2}+1}+\frac{c+1}{a^{2}+1}\geqslant ab+bc+ca.$

Dấu "=" xảy ra khi nào ?

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

$\frac{a+1}{b^{2}+1}=(a+1)-\frac{b^{2}(a+1)}{b^{2}+1}\geq a+1-\frac{ab+b}{2b}$

CMTT ta có:

$VT\geq 3+\frac{a+b+c-ab-bc-ca}{2}$

Mà a + b + c = 3 $=>2(ab+bc+ca)\leq (a+b+c)^{2}=9=>ab+bc+ca\leq 3$

=>$VT\geq 3\geq ab+bc+ca$

dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 1

Bài 4 :

1, Cho các số thực dương $x,y$ thỏa mãn $x+y=1.$ Tìm min :$\sqrt{x^{2}+y^{2}+4x-2y+5}$

 

BT = $\sqrt{(x+2)^{2}+(y-1)^{2}}\geq \frac{x+2+y-1}{\sqrt{2}}=\frac{x+y+1}{\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{2}$

Cho a, b, c, x, y, z thỏa mãn:

$\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}=\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}$

Chứng minh rằng $x^{2013}+y^{2013}+z^{2013}=0$

Giải phương trình:

$\sqrt{3x^{2}-7x+3}-\sqrt{x^{2}-2}=\sqrt{3x^{2}-5x-1}-\sqrt{x^{2}-3x+4}$

Tìm $x,y$ thoả mãn: 

$$x^3+y^3=x^4+y^4=1$$

$x^{3}(x-1)+y^{3}(y-1)=0$

Vì  x^4+y^4=1 =>$-1\leq x,y\leq 1$

=>$x-1\leq 0;y-1\leq 0 =>$x^{3}(x-1)\leq 0;y^{3}(y-1)\leq 0$

=>$x^{3}(x-1)+y^{3}(y-1)\leq 0$

Dấu "=' xảy ra khi  x = 0; y = 1 hoặc x = 1; y = 0

Trong cách sử dụng BĐT trên dấu bằng xảy ra khi :$\left\{\begin{matrix} x+2=y-1\\ x+y=1 \end{matrix}\right.\\\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=-1\\ y=2 \end{matrix}\right.$( kết hợp với cả giả thiết)

Tuy nhưng theo giả thiêt thì x,y, là các số dương .Vậy bài làm trên chưa đúng rồi ....

uk. Bạn cho lời giải đúng giúp mik đc ko?

giải phương trình:

1. $\sqrt{x^{2}+3x+5}+\sqrt{x^{2}-2x+5}=5\sqrt{x}$

2. $3x^{2}-2x+12=5\sqrt{x^{3}+4x}$

3.$4x^{2}-17x+18=4x\sqrt{x-2}-9\sqrt{x-2}$

Cho a, b là các số tự nhiên sao cho $\frac{a+1}{a}+\frac{b+1}{b}\epsilon \mathbb{Z}$

Gọi d là ước chung của a và b. Chứng minh d$\leq$ $\sqrt{a+b}$

a, ĐKXĐ: x$\geq \frac{1}{4}$. Đặt $\sqrt{x+\frac{1}{4}}=a=> x=a^{2}-\frac{1}{4}$

Thay x vào phương trình ta có:

$a^{2}-\frac{1}{4}+\sqrt{(a+\frac{1}{2})^{2}}=2 \Rightarrow a^{2}-\frac{1}{4}+a+\frac{1}{2}=2$

$\Leftrightarrow 4a^{2}+4a-7=0$

Câu a) $\sqrt{x+\frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}}=\sqrt{x+\frac{1}{4}+2.\frac{1}{2}.\sqrt{x+\frac{1}{4}}+\frac{1}{4}}=\sqrt{(\sqrt{x+\frac{1}{4}})^{2}}=x+\frac{1}{4}\Rightarrow PT\Leftrightarrow 2x+\frac{1}{4}=2\Leftrightarrow x=\frac{7}{8}$

bạn giải thích rõ hơn đc ko

Giải phương trình:

a,$2\sqrt[3]{x^{2}}-5\sqrt[3]{x}=3$

b,$x^{3}-3\sqrt{2}x^{2}+3x+\sqrt{2}=0$

ý 2 là vô tỷ chứ

$M^{2}=\frac{x^2(x+1)^2+(x+1^2)+x^2}{x^2(x+1)^2}$

=$\frac{x^{2}(x^{2}+2x+2)+(x+1)^{2}}{x^{2}(x+1)^{2}}$

=$\frac{x^{4}+2x^{2}(x+1)+(x+1)^{2}}{(x^{2}+x)^{2}}=\frac{(x^{2}+x+1)^{2}}{(x^{2}+x)^{2}}$

=>M = $\frac{x^{2}+x+1}{x^{2}+x}$

b,$M = 1+\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$

=> N = $100-\frac{1}{100}$

Bình phương 2 vế =>$2x+2\sqrt{x^{2}-6x+9}=6$

$\Rightarrow x-3+\left | x-3 \right |=0$

Xét khoảng của x => $\frac{3}{2}\leq x\leq 3$

Tên thật: Vũ Thùy Linh

Lớp 9A3 - trường THCS Lâm Thao - huyện Lâm Thao - tỉnh Phú Thọ

Đề Bài: Giải phương trình:

$8x^{2}+3x+7=6x\sqrt{x+8}$

Lời giải:

ĐKXĐ: $x+8\geq 0\Leftrightarrow x\geq -8$

Ta có: $8x^{2}+3x+7=6x\sqrt{x+8}$

       $\Leftrightarrow \left [ 9x^{2} -6x\sqrt{x+8}+(x+8)\right ]-(x^{2}-2x+1)=0$

       $\Leftrightarrow (3x-\sqrt{x+8})^{2}-(x-1)^{2}=0$

       $\Leftrightarrow 3x-\sqrt{x+8}=x-1(1)$

                      hoặc $3x-\sqrt{x+8}=1-x(2)$

$(1)\Leftrightarrow 2x+1=\sqrt{x+8}$  (ĐK: $x\geq \frac{-1}{2}$ )

Bình phương 2 vế:

$\Rightarrow 4x^{2}+4x+1=x+8$

$\Leftrightarrow 4x^{2}+3x-7=0$

$\Leftrightarrow (x-1)(4x+7)=0$

$\Leftrightarrow x=1$ $\in$ ĐKXĐ hoặc $x=\frac{-7}{4}$ $\notin$ ĐKXĐ

$(2)\Leftrightarrow 4x-1=\sqrt{x+8}$   (ĐK: $x\geq \frac{1}{4}$ )

Bình phương 2 vế:

$\Rightarrow 16x^{2}-8x+1=x+8$

$\Leftrightarrow 16x^{2}-9x-7=0$

$\Leftrightarrow (x-1)(16x+7)=0$

$\Leftrightarrow x=1$ $\in$ ĐKXĐ hoặc $x=\frac{-7}{16}$ $\notin$ ĐKXĐ

Vậy S = { 1 }

Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

A =$\frac{3a}{b+c}+\frac{4b}{c+a}+\frac{5c}{a+b}$

câu c đặt $\sqrt{2+x}=a$ và $\sqrt{2-x}=b$

Cho hình thang ABCD ( AB//CD), diện tích S không đổi. AC cắt BD tại O. Gọi $S_{AOD}=S_{1};S_{AOB}=S_{2};S_{BOC}=S_{3};S_{COD}=S_{4}$

a, chứng minh $S_{1}=S_{3}$

b, Chứng minh$S_{2}.S_{4}=S_{1}.S_{3}$

c, Chứng minh $\sqrt{S_{2}}+\sqrt{S_{4}}=\sqrt{S}$

d, Xác định dạng của hình thang để $\S_{1}$ Max

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Trên tia đối của tia AB lấy điểm M. Từ M vẽ tiếp tuyến Mx tiếp xúc (O) tại C. Gọi H là hình chiếu của C trên AB.

a, Chứng minh CA và CB là phân giác của góc tạo bởi tiếp tuyến Mx và tia CH

b, Cho MA = a, MC = 2a. Tính AB và CH

Chắc là như này   

$(a+b+c)^2=\sum (\sqrt{a^2+36}+6)^2=\sum a^2+36.6+12(\sum (\sqrt{a^2+36})$

Do$36\leq \sum (\sqrt{a^2+36})$

$\Rightarrow ab+bc+ca\geq 36.9$ (ta cần chứng minh điều này)

 

e nghĩ đến đây phải cm ab + bc + ca$\leq$ 36.9 thì ms xảy ra dấu đẳng thức

Áp dụng BĐT a + b $\leq \sqrt{2(a^{2}+b^{2})}(a,b\geq 0)$ ta có:

A = $\sqrt{x-1}+\sqrt{y-2}\leq \sqrt{2(x-1+y-2)}=\sqrt{2}$

Vậy Max A = $\sqrt{2}$. Dấu "=" xảy ra khi x + y = 4 & x-1 = y - 2 <=> x = 1,5 và y = 2,5

nhầm rồi Giang ơi ! $\frac{xz}{z}$ ->$\frac{xz}{y}$

Áp dụng BĐT cô si:

$\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}\geq 2y$. Tương tự => 2A$\geq 2(x+y+z)=2$

Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = $\frac{1}{3}$

Chứng minh với mọi số nguyên dương n:

$\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+...+\sqrt{n-1}+\sqrt{n}\leq n.\sqrt{\frac{n+1}{2}}$

ko nhầm thì bài này ko tồn tại đúng ko