với tam giác nhọn ABC,c/m

 

$$3(tan\frac{A}{2}+tan\frac{B}{2}+tan\frac{C}{2})+cot\frac{A}{2}cot\frac{B}{2}cot\frac{C}{2}\geq 6\sqrt{3}$$

(dùng đạo hàm)

Mình xin giải bài này, có gì các bạn cứ góp ý  giùm mình     

$\displaystyle  ta   cmđ    \cot \frac{A}{2}\cot \frac{B}{2}\cot \frac{C}{2}= \cot \frac{A}{2}+ \cot \frac{B}{2} + \cot \frac{C}{2}$

 

$\displaystyle  Xét     hàm     số     f(x)  $  $$3\tan x + \cot x - 2\sqrt{3}$$ 

  $\displaystyle  với$

 

$$x  \in\left ( 0;\frac{\pi}{4} \right )$$

$\displaystyle ta có $          

 

$$f'(x)= \frac{3}{(\cos{x})^2} - \frac{1}{(\sin  x)^2}$$

$\displaystyle  Xét     phương     trình    f'(x) =0  ,  ta   có :$  $$x= \pm \frac{\pi}{6}+ k\pi$$

$\displaystyle  Suy    ra    f(x)     nghịch    biến    trên:$  $\left (0;\frac{\pi}{6} \right ]$

 

$\Rightarrow \forall x \in \left(0; \frac{\pi}{6} \right ]$  $\displaystyle , f(x) \geqslant  f( \frac{\pi}{6})   =0$   (1)

 

 

 

 $\displaystyle  và    đồng    biến    trên    khoảng:$  $\left ( \frac{\pi}{6};\frac{\pi}{4}  \right )$

$\Rightarrow \forall x \in \left( \frac{\pi}{6};\frac{\pi}{4}  \right )$ $\displaystyle , f(x) >  f( \frac{\pi}{6})   =0$   (2)

$\displaystyle (1)   \wedge  (2) \Rightarrow  thế x = A, B, C    rồi   cộng   lại    ta   có   đpcm$ 

Chú ý Latex

$Cho$ $\Delta ABC$$.$ $Gọi$ $M,N,P$ $là$ $các$ $điểm$ $sao$ $cho:$

$\left\{\begin{matrix} & \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{2MB}=0 & \\ & \overrightarrow{NB}+\overrightarrow{2NC}=0 & \\ & \overrightarrow{PC}+\overrightarrow{2PA}=0 & \end{matrix}\right.$

$Chứng$ $minh$ $\Delta ABC$ và $\Delta MNP$ $có$ $cùng$ $trọng$ $tâm$

$Ta có:$

$\displaystyle Gọi    G    là    trọng   tâm   của \Delta ABC$ $\Rightarrow \overrightarrow{GA}+ \overrightarrow{GB}+ \overrightarrow{GC}= 0$

$\overrightarrow{MA}+ \overrightarrow{2MB} = $ $\overrightarrow{GA}+ \overrightarrow{2GB}-  \overrightarrow{3GC}= 0$

 

$\displaystyle Tương    tự    cho   2    cái    kia,   cộng    lại$ 

$\Rightarrow \overrightarrow{GM}+ \overrightarrow{GN}+ \overrightarrow{GP}= 0$

$\Rightarrow \displaystyle G   cũng   là   trọng   tâm   \Delta MNP$ 

 

 

Tìm giới hạn sau:$\lim_{x\rightarrow 0}$ $\frac{tan 2x}{sin 5x}$

Ta có :

$\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{\sin2x }{2x}\times \frac{5x}{\sin5x}\times\frac{2}{5\times\cos2x}}$ $=$ $\frac{2}{5}$

Vì : $\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{x}{\sin x}} = \lim_{x\rightarrow 0}{\frac{\sin x}{x}} = 1$

Giải hpt:

$\left\{\begin{matrix} x(2\sqrt{2x-y} -\sqrt{x+y})=y(\sqrt{2x-y}+\sqrt{x+y})\\\sqrt[3]{y}-2(x-1)^3 +1 =0 \end{matrix}\right.$

Ta có : 

 $ x(2\sqrt{2x-y} -\sqrt{x+y})=y(\sqrt{2x-y}+\sqrt{x+y})$

$\Leftrightarrow$  $\sqrt{\left (  2\times x -y\right )^3} = \sqrt{\left ( x + y \right )^3}$ $\Rightarrow x=2y$

Thế $x = 2y$ vào pt 2 ta được : $\sqrt[3]{y}-2(2y-1)^3 +1 =0 $

Xét hàm số $f(y) = \sqrt[3]{y}-2(2y-1)^3 +1$  

Nếu $y< 1$ thì $f(y) >0 \Rightarrow \displaystyle {pt vô nghiệm}$

Nếu $y>1$  thì $f''(y) = \frac{-2}{9\times y^{\frac{5}{3}}} - 96\times y + 48 <0$ $\Rightarrow f(x) < f(1) =0$

Mặt khác $f(1) = 0$ 

Suy ra HPT có nghiệm duy nhất là (x;y) = (2;1)

$ Cho    dãy    số    u_{n}    được    xác    định    bởi : $ 

$u_{n}= \frac{n+1}{2^{n+1}}\times\left ( \frac{2}{1}+ \frac{2^{2}}{2}+ \cdots + \frac{2^{n}}{n} \right )$ $\forall x\in \mathbb{N^{\ast}}$

 

$\displaystyle Chứng    minh    dãy    có    giới    hạn$ 

$ Cho    dãy    số    u_{n}    được    xác    định    bởi : $ 

$u_{n}= \frac{n+1}{2^{n+1}}\times\left ( \frac{2}{1}+ \frac{2^{2}}{2}+ \cdots + \frac{2^{n}}{n} \right )$ $\forall x\in \mathbb{N^{\ast}}$

 

$\displaystyle Chứng    minh    dãy    có    giới    hạn$ 

 

Đặt $x_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{2^k}{k} ; y_n = \frac{2^{n+1}}{n+1}$ 

Dễ thấy : $\lim x_n = \lim y_n = +\infty$

Ta có : $\frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n} = \frac{n+2}{n}$ 

Theo Stolz : $\lim \frac{x_n}{y_n} = \lim \frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n} = \lim \frac{n+2}{n} = 1$ 

Hay $ \lim u_n = 1 $ 

Điều phải chứng minh 

Cho mình hỏi là ở hai dòng cuối từ Đ/l Stolz rồi bạn lại có    $\lim_{x  \rightarrow 0}{u_{n}}$

Cho dãy số $u_{n}$ biết $u_{1}=u_{2}= 1, u_{3}=2, u_{n}=\frac{u_{n-1}\times u_{n-2}+ k }{u_{n-3}}$ 

Định k để mọi số hạng của dãy số $u_{n}$ đều là số nguyên. 

 

 

 

 

 

giải phương trình:

$tan2x-tanx=\frac{1}{6}(sin4x+sinx)$

Ta có : 

$\tan 2x -\tan x = \frac{\sin x}{\cos 2x \times \cos x} = \frac{\sin x }{6}\times \left (4\times  \cos 2x \times \cos x + 1 \right )$

$\Rightarrow \sin x =0 \vee 6= 4\times t^{2}+ t \left(với    t    =   \cos 2x \times \cos x \right )$ 

Tới đây bạn giải pt ra ta có đáp án của bài toán

Cho các số thực không âm a;b;c thỏa mãn a+b+c=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

  $\large A=ab+bc+ac-2abc$

Câu hỏi của bạn hình như đã có ở đây http://diendantoanho...2xyzle-frac727/

4)               $2cos(x-\frac{\pi}{4})-cos(x-\frac{\pi}{4})sin2x-3sin2x+4=0$

 

$\Leftrightarrow \sqrt{2}\times \left( \cos x + \sin x \right ) - \sqrt{2}\times \left( \cos x + \sin x \right )\times\sin x \times \cos x -6\times \sin x\times\cos x +4 =0 $

Tới đây chắc đặt ẩn phụ $ t = \sin x + \cos x$ là xong rồi

2. $2cos(\frac{4x}{3})+(sinx + cosx)^2 =0$

Ta có : 

$\Leftrightarrow  2- 4\times \sin^{2} \frac{2x}{3} + 1 + 2\times \sin x \times \cos x $

$\Leftrightarrow 2- 4\times \sin^{2} \frac{2x}{3} + 1 + -4\sin^{3}\frac{2x}{3}+3\sin \frac{2x}{3}$

Tới đây giải pt bậc 3 là xong rồi  

$2\sin2x - \tan x = \sin4x + \cos6x$

$\Leftrightarrow \sin{2x}-\sin{4x}+ \sin x\times \left(\frac{2\cos^{2} x -1}{\cos x} \right )= \cos {6x}$

$\Leftrightarrow \sin x \times \left(\frac {\cos {2x}- 2\cos{3x}\times \cos x}{\cos x} \right )= \cos{6x}$

$\Leftrightarrow -\sin x \times \cos{4x} = \cos{6x} \times \cos x $

tới đây mình nghĩ chỉ còn cách bung ra hết thành $\tan x$ rồi giải pt bậc 14

Không biết có ai có cách hay hơn ko

Cách khác  

pt đã cho 

$\Leftrightarrow 2\times \left (\cos \left( 2x + \frac{\pi}{2} \right ) +1 \right )^{2}+sin 4x = 2\cos{2x}$

$\Leftrightarrow 2\times \left (- \sin \left( 2x  \right )+1 \right )^{2}+sin 4x = 2\cos{2x}$

$\Leftrightarrow \left (- \sin \left( 2x  \right )+1 \right )^{2}= \cos{2x}\times \left( -\sin {2x} +1 \right )$

$\Leftrightarrow \sin {2x} =1  \vee -\sin {2x}+1 = \cos {2x}$

Giải phương trình:
4cos$\left ( \frac{4x}{3} \right )$ = cos²x

 Ta có : 4cos$\left ( \frac{4x}{3} \right )$ = cos²x
             $\Leftrightarrow 8\times \left(2\cos^{2} \frac{2x}{3} -1  \right )= cos{2x} +1$
             $\Leftrightarrow 16\times \cos^{2} \frac{2x}{3} -8 = 4\cos^{3} \frac{2x}{3} -3\times \cos \frac{2x}{3} +1$
tới đây ta có pt bậc 3 ( nghiệm rất xấu )

$cos^{2}2x-cos2x=4sin^{_{2}}2x.cos^{2}x$

Ta có :  

$cos^{2}2x-cos2x=4sin^{_{2}}2x.cos^{2}x$

$\Leftrightarrow \cos{2x}\times \left(\cos{2x} -1\right )= \left(1- \cos{4x} \right )\times \left(1+ \cos {2x} \right )$

$\Leftrightarrow \cos{2x}\times \left(\cos{2x} -1\right )=2\times  \left(1- \cos{2x} \right )\times \left(1+ \cos {2x} \right )^{2}$

Tới đây chắc đc rồi  

vế phải bạn làm cách nào để ra đc như vậy ? bạn giải thích kĩ hơn đc k ?

 Ta sử dụng công thức hạ bậc để biến đổi vế phải

$\sin^{2}{2x}= \frac{1- \cos{4x}}{2}$ và $\cos^{2}{x}= \frac{1+\cos{2x}}{2}$

 

 

 

 

 

Bạn chi mình hỏi, khai triển từ trên xuống dưới sao có thêm cái "+1" vậy?

ặc, mình đánh lộn nó phải là như thế này : $\cos {2x} +1$ dùng công thức hạ bậc để có được dòng này
Cám ơn bạn đã nhắc
Mình đã sửa

Giải phương trình:

 

$tan(x-\frac{\pi}{6}).tan(x+\frac{\pi}{3}).sin3x=sinx+sin2x$

ĐK:  $x\neq \frac{2\pi}{3}+ k\pi\wedge x\neq \frac{\pi}{6}+ k\pi$

$tan(x-\frac{\pi}{6}).tan(x+\frac{\pi}{3}).sin3x=sinx+sin2x$

$\Leftrightarrow tan(x-\frac{\pi}{6}).tan(\frac{\pi}{2}+\left( x-\frac{\pi}{6}\right ))\times 2\sin(\frac{3x}{2})\cos(\frac{3x}{2})=2\times\sin(\frac{3x}{2})\times\cos(\frac{x}{2})$

$\left ( \sqrt{x+3}-\sqrt{x-1} \right )\left ( x-3+\sqrt{x^{2}+2x-3} \right )\geq 4$

ĐK:    $x\geqslant 1$

 

$\left ( \sqrt{x+3}-\sqrt{x-1} \right )\left ( x-3+\sqrt{x^{2}+2x-3} \right )\geq 4$

$\Leftrightarrow x-3 +\sqrt{x^{2}+2x -3} \geq \sqrt{x+3}+\sqrt{x-1}$

Đặt $t = \sqrt{x-1}+\sqrt{x+3}$ $\Rightarrow \frac {t^{2}}{2}-x-1= \sqrt{x^{2}+2x-3}$

Từ đây ta thế t vào và thu được BPT bậc 2

Một lớp học gồm 10 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 13 học sinh sao cho có ít nhất 10 bạn nữ và phải có cả nam nữa?

TH1: 10 nữ, 3 nam 

Số cách chọn 10 bạn nữ trong 15 bạn là một tổ hợp chập 10 của 15 phần tử  $\Rightarrow$ có 3003 cách chọn 

Số cách chọn 3 bạn nam trong 10 bạn nam là một tổ hợp chập 3 của 10 phần tử $\Rightarrow$ có 120 cách chọn 

$\Rightarrow 120 \times 3003 = 360360$ cách chọn $\left(1\right)$

TH2: 11 nữ 2 nam 

Số cách chọn 11 bạn nữ trong 15 bạn là một tổ hợp chập 11 của 15 phần tử  $\Rightarrow$ có 1365 cách chọn 

Số cách chọn 2 bạn nam trong 10 bạn nam là một tổ hợp chập 2 của 10 phần tử $\Rightarrow$ có 105 cách chọn 

$\Rightarrow 105 \times 1365 = 143325$ cách chọn $\left(2\right)$

TH3: 12 nữ 1 nam 

Số cách chọn 12 bạn nữ trong 15 bạn là một tổ hợp chập 12 của 15 phần tử  $\Rightarrow$ có 445 cách chọn 

Số cách chọn 1 bạn nam trong 10 bạn nam là một tổ hợp chập 1 của 10 phần tử $\Rightarrow$ có 10 cách chọn 

$\Rightarrow 10 \times 445 = 4450$ cách chọn  $\left(3\right)$

 

Từ $\left(1\right)$, $\left(2\right)$,$\left(3\right)$ Suy ra ta có 508135 cách chọn

P\s: Nếu cách giải mình sai thì nhờ các bạn góp ý  vào  

Vậy nếu 1 bài như này : 

 

                 Một lớp có 8 học sinh nam, 12 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 10 học sinh  sao cho có ít nhất 2 học sinh nam?

 

Nếu làm như bạn, ta sẽ có 8 TH. Vậy có cách nào để làm nhanh hơn ko?

Đối với mình thì mình sẽ làm như thế này :

_ Đầu tiên là tính tổng số cách chọn không có thêm điều kiện nào 

_ Tiếp theo, mình sẽ tính số cách để không thỏa YCĐB. Có hai TH :

      1. là chỉ có 1 nam 

      2. là không có nam 

_ lấy hai cái đó trừ nhau sẽ ra kết quả của bài toán.  

Chứng minh rằng nếu n là số nguuyên dương chẵn và a là số thực lớn hơn 3 thì phương trình sau vô nghiệm:

$(n+1)x^{n +2}-3(n+2)x^{n+1} + a^{n+2}= 0$

 

Bài 47:  Cho a, b, c  > 0. Chứng minh:$ \frac{ab}{3a+4b+5c}+ \frac{bc}{3b+ 4c+5a}+ \frac{ca}{3c+4a+5b}\leq \frac{a+b+c}{12}$

 

$\sqrt{x^{2}+15}= 3\sqrt[3]{x}-2+\sqrt{x^{2}+8}$

ĐK: $x \geq \frac{8}{27}$ 

Xét hàm số $f(x) =\sqrt{x^{2}+15}= 3\sqrt[3]{x}-2+\sqrt{x^{2}+8} \forall x \in \left[\frac{8}{27};+\infty  \right )$

$\Rightarrow f'(x)= \frac{-1}{x^{\frac{2}{3}}}+x\left(\frac{1}{\sqrt{x^{2}+15}}-\frac{1}{\sqrt{8+ x^{2}}} \right )$

Ta thấy $f'(x) <0 \forall x \in \left[\frac{8}{27};+\infty  \right )$  

$\Rightarrow f(x)$   nghịch biến trên    $\left[\frac{8}{27};+\infty  \right )$  mà  $f(1) =0$ 

Suy ra PT đã cho có nghiệm duy nhất là $x=1$   :)