Có thể giải thích giúp em tại sao có điều kiện lớn hơn hoặc bằng 1 không ạ ?

Hôm qua có chút nhầm lẫn. Mình đã sửa lại như trên.
 

Cho em hỏi cách suy đồ thị hàm  $y=f(|x|+m)$ với ạ?

Ban đầu em nghĩ là: Vẽ đồ thị hàm f(|x|) trên, sau đó dịch chuyển sang phải hay sang trái tùy vào m>0, m<0 thì sẽ được đồ thị của  $y=f(|x|+m)$ nhưng thực tế thì lại không đúng như thế! Vậy tại sao lại xảy ra lỗi như thế ạ? Mong được giúp đỡ ạ, em cảm ơn rất nhiều!

Bạn phải thực hiện lần lượt các bước như sau mới đúng :

1- Vẽ đồ thị hàm $y=f(x)$.

2- Tịnh tiến đồ thị đó $|m|$ đơn vị theo trục hoành sang trái nếu $m> 0$, hoặc sang phải nếu $m< 0$.

3- Xóa phần đồ thị bên trái trục tung.

4- Vẽ thêm phần đồ thị đối xứng với phần còn lại qua trục tung.
 

Có 10 hành khách bước ngẫu nhiên vào 4 toa tàu khác nhau. Tính xác suất để có đúng hai toa tàu mà mỗi toa có đúng 3 hành khách.

Mỗi người có 4 cách lên tàu, nên số phần tử không gian mẫu là : $4^{10}$
Chọn 3 người lên toa thứ nhất :$C_{10}^{3}\cdot C_{4}^{1}$
Tiếp đến,chọn 3 người lên toa thứ hai: $C_{7}^{3}\cdot C_{3}^{1}$
Số cách lên tàu của 4 người cuối :$2^4$
Trong số đó, có trường hợp có 3 toa mà mỗi toa có đúng 3 người :$C_{10}^{1}\cdot C_{4}^{1}\cdot C_{9}^{3}\cdot C_{6}^{3}\cdot C_{3}^{3}$
Vậy XS cần tìm là :$\frac{C_{10}^{3}\cdot C_{4}^{1}\cdot C_{7}^{3}\cdot C_{3}^{1}\cdot2^4-C_{10}^{1}\cdot C_{4}^{1}\cdot C_{9}^{3}\cdot C_{6}^{3}\cdot C_{3}^{3} }{4^{10}}$

Xác suất không lớn như thế đâu !

-------------------------------

Mình làm thế này :

+ TH1 :

   - Chọn $1$ toa (toa này không có khách) : $4$ cách.

   - Chọn $1$ toa khác và xếp vào đó $4$ người : $C_3^1.C_{10}^4$ cách.

   - Chia đều $6$ người còn lại vào $2$ toa còn lại : $C_6^3$ cách.

+ TH2 :

   - Chọn $2$ toa và $4$ người : $C_4^2.C_{10}^4$ cách.

   - Chia đều $4$ người đó vào $2$ toa đó : $C_4^2$ cách.

   - Chia đều $6$ người còn lại vào $2$ toa còn lại : $C_6^3$ cách.

$\Rightarrow$ xác suất cần tìm là $\frac{4.3.C_{10}^4.C_6^3+(C_4^2)^2.C_{10}^4.C_6^3}{4^{10}}\approx 0,192261$.

Cho hàm số bậc bốn f(x) có f(0)=1 và hàm số f'(x) có đồ thị trong hình bên, số nghiệm của phương trình $f(x^2)-x=3$ là?

Sửa lại đề : "...số nghiệm THỰC của phương trình $f(x^2)-x=3$ là ?"

-----------------------------------------------------------

Hàm $f(x)$ có dạng $f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+1\Rightarrow f'(x)=4ax^3+3bx^2+2cx+d$.

Phương trình $f'(x)=0$ có nghiệm kép $x=0$ và một nghiệm âm $\Rightarrow f'(x)=x^2(4ax+3b)\Rightarrow \left\{\begin{matrix}c=d=0\\ab> 0 \end{matrix}\right.$

Hơn nữa $\lim_{x\to -\infty}f'(x)=\lim_{x\to -\infty}\left ( 4ax^3+3bx^2 \right )=-\infty\Rightarrow a> 0$. Vậy $b> 0$.

$f(x)=ax^4+bx^3+1\Rightarrow f(x^2)-x=ax^8+bx^6-x+1$.

$f(x^2)-x=3\Leftrightarrow ax^8+bx^6-x+1=3\Leftrightarrow ax^8+bx^6=x+2.$

Đặt $g(x)=ax^8+bx^6$ ($a> 0,b> 0$) ; $h(x)=x+2$.

Hàm $g(x)$ nghịch biến trên $(-\infty;0)$, đồng biến trên $(0;+\infty)$, $g(0)< h(0)$ và khi $x\to \pm\infty$ thì $g(x)> h(x)$. Từ đó suy ra đồ thị của $g(x)$ và $h(x)$ có đúng $2$ giao điểm $\Rightarrow$ phương trình $f(x^2)-x=3$ có đúng $2$ nghiệm thực.

  Cho hàm số $y=f(x)$ có tập xác định là $D=\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ bên dưới, đạo hàm xác định trên $\mathbb{R}$. Hỏi hàm số $y=f(f(x^2-1))$ có bao nhiêu điểm cực trị ? 

A. 13 

B. 12

C. 15

D. 11

 

 Ngoài ra, mọi người có thể giúp mình tìm ra đa thức của đồ thị f(x) được không ạ ? Mình cảm ơn.

$f'(x)=0\Leftrightarrow x=-1$ hoặc $x=1$ hoặc $x=2$.

$y=f(f(x^2-1))\Rightarrow y'=2xf'(x^2-1)f'(f(x^2-1))$

Đặt $u(x)=f'(x^2-1)$ ; $v(x)=f'(f(x^2-1))$ $\Rightarrow y'=2x.u(x).v(x)$

$u(x)=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x^2-1=-1\\x^2-1=1\\x^2-1=2 \end{array}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=0\\x=\pm \sqrt2\\x=\pm \sqrt3 \end{array}\right.$

Gọi giao điểm của đường thẳng $y=-1$ với đồ thị hàm $f(x)$ là $A,B,C$ ($x_A< -1< x_B< x_C=2$)

       giao điểm của đường thẳng $y=1$ với đồ thị hàm $f(x)$ là $D,E,F,G$ ($x_D< -1< x_E< x_F<x_G$)

       giao điểm của đường thẳng $y=2$ với đồ thị hàm $f(x)$ là $H,I,K$ ($x_H< -1< x_I=1< x_K$)

Đặt $x_A+1=a$ ; $x_B+1=b$ ; $x_C+1=c$ ; ...

Ta có $y'=2x.u(x).v(x)=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=0\\x=\pm \sqrt b\\x=\pm \sqrt{e}\\x=\pm \sqrt2\\x=\pm \sqrt f\\x=\pm \sqrt 3\\x=\pm \sqrt g\\x=\pm \sqrt k \end{array}\right.$ (tất cả là $15$ giá trị của $x$)

Chú ý rằng mỗi khi $x$ đi qua bất kỳ giá trị nào trong $15$ giá trị kể trên thì chỉ có $x$ hoặc $u(x)$ hoặc $v(x)$ (một trong ba) đổi dấu mà thôi. Suy ra hàm số $y=f(f(x^2-1))$ có đúng $15$ điểm cực trị.

-----------------------------------------------------------------------------

Tìm đa thức $f(x)$ ?  (Theo đồ thị, đa thức $f(x)$ là bậc chẵn)

Giả sử đa thức là bậc $6$, tức là $f(x)=ax^6+bx^5+cx^4+dx^3+ex^2+fx$ (vì $f(0)=0$)

và $f'(x)=6ax^5+5bx^4+4cx^3+3dx^2+2ex+f$

Ta có $\left\{\begin{matrix}f(1)=2\\f(2)=-1\\f'(1)=0\\f'(-1)=0\\f'(2)=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a+b+c+d+e+f=2\\64a+32b+16c+8d+4e+2f=-1\\6a+5b+4c+3d+2e+f=0\\-6a+5b-4c+3d-2e+f=0\\192a+80b+32c+12d+4e+f=0 \end{matrix}\right.$

Hệ này có vô số nghiệm. Nếu chọn $b=0$, ta có $f(x)=\frac{29}{148}\ x^6-\frac{93}{74}\ x^4-\frac{21}{37}\ x^3+\frac{285}{148}\ x^2+\frac{63}{37}\ x$.

(Nếu ban đầu giả sử đa thức bậc $4$ thì vô nghiệm, còn giả sử nó là bậc chẵn lớn hơn $6$ thì cũng vô số đa thức thỏa mãn)
 

Cho hình chóp S.ABCD có SA=x và các cạnh còn lại đều bằng 1. Tính thể tích khối chóp theo x và tìm x để thể tích đó lớn nhất

Đáy $ABCD$ là hình thoi có cạnh bằng $1$. Gọi bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác $BCD$ là $R$ và tâm của nó là $O$.
Nhận xét : Muốn cho thể tích lớn nhất thì chiều cao phải lớn nhất, tức là $R$ phải nhỏ nhất, suy ra góc $A$ của hình thoi $ABCD$ phải là góc nhọn.

Đặt $\widehat{BAD}=\alpha\ (0^o< \alpha < 90^o)$

$S_{ABCD}=\sin \alpha$

$R=\frac{BC.CD.DB}{4\ S_{BCD}}=\frac{\sqrt{2-2\cos \alpha }}{2\sin \alpha }$

$h=\sqrt{1-R^2}=\frac{\sqrt{4\sin^2\alpha +2\cos\alpha -2}}{2\sin\alpha }$

$\Rightarrow V=\frac{S_{ABCD}.h}{3}=\frac{\sqrt{4\sin^2\alpha +2\cos\alpha -2}}{6}$

Đến đây chỉ việc tìm GTLN của hàm $V(\alpha )$.

$V_{max}=\frac{1}{4}$ khi $\cos\alpha =\frac{1}{4}$

Khi đó $R=OC=\frac{\sqrt{2-\frac{1}{2}}}{\frac{\sqrt{15}}{2}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$

$OA=AC-OC=\sqrt{2+\frac{1}{2}}-\frac{\sqrt{10}}{5}=\frac{3}{10}\ \sqrt{10}$

$x=\sqrt{OA^2+h^2}=\frac{\sqrt6}{2}$.

Để tìm $V(x)$ có thể làm như sau :

$x^2=(AC-R)^2+h^2=(2+2\cos\alpha )+\frac{2-2\cos\alpha }{4\ \sin^2\alpha }-\frac{2\sqrt{4-4\cos^2\alpha }}{2\sin\alpha }+\frac{4\sin^2\alpha +2\cos\alpha -2}{4\sin^2\alpha }$

$=1+2\cos\alpha$

$\Rightarrow V=\frac{\sqrt{4\sin^2\alpha +2\cos\alpha -2}}{6}=\frac{\sqrt{3x^2-x^4}}{6}$.

ĐỀ BÀI: Trong 1 trang tập học sinh có kích thước 21x16 ô ly. Hỏi có thể vẽ được bao nhiêu loại hình chữ nhật khác nhau được cấu thành bởi 7 hình chữ nhật giống hệt nhau? Biết rằng, mỗi hình chữ nhật nhỏ đó được cấu thành bằng các ô ly trong tập học sinh đã cho.


Giải thích thêm cho đề bài: Như trong hình ta thấy là 1 hình chữ nhật được vẽ trong trang tập học sinh, học sinh cần tìm các hình chữ nhật khác hình chữ nhật đó và lưu ý là khác nhau có thể vẽ được trong trang tập đó. Xin mời các toán thủ nghiên cứu  .Hoàn toàn có thể coi hình vuông là hình chữ nhật.

Các loại hình chữ nhật thỏa mãn điều kiện đề bài phải có diện tích chia hết cho $7$, tức là ít nhất có một trong hai cạnh (chiều dài và chiều rộng) có độ dài chia hết cho $7$.

Ký hiệu các hình chữ nhật là $a\times b$, với $a$ là chiều rộng, $b$ là chiều dài ($a,b\in\mathbb{N},0< a\leqslant 16,0< b\leqslant 21$ và $a\leqslant b$).

Gọi $A$ là tập hợp các loại hình chữ nhật có chiều rộng chia hết cho $7\rightarrow \left | A \right |=23$ (với $a=7$ có $15$ loại, với $a=14$ có $8$ loại)

Gọi $B$ là tập hợp các loại hình chữ nhật có chiều dài chia hết cho $7\rightarrow \left | B \right |=37$ (với $b=7$ có $7$ loại, với $b=14$ có $14$ loại, với $b=21$ có $16$ loại)

Gọi $C=A\cap B\rightarrow \left | C \right |=5$ ($7\times 7$ ; $7\times 14$ ; $7\times 21$ ; $14\times 14$ và $14\times 21$)
Số loại hình chữ nhật thỏa mãn điều kiện đề bài có thể vẽ được là $\left | A \right |+\left | B \right |-\left | A\cap B \right |=23+37-5=55$ (loại)
 

Với $\left | A \right |=21+21$ ( trùng 7x14 ở cả hai dòng) nên còn $\left | A \right |=20+20$
$\left\{\begin{matrix} 7\times 1\rightarrow 7\times 21\\ 14\times 1\rightarrow 14\times 21 \end{matrix}\right.$
$\left | B \right |=16+16+16$ ( trùng 7x14 ở hai dòng trên, nhưng 2 dòng trên cũng chỉ là "con" của $\left | A \right |$)
$\left\{\begin{matrix} 1\times 7\rightarrow 16\times 7\\ 1\times 14\rightarrow 16\times 14\\ 1\times 21\rightarrow 16\times 21 \end{matrix}\right.$ 
$\left | C \right |=16+16 + 2$ (7x21; 14x21)
KQ:20+20+16-2= 54 loại
Bài của bạn chắc sai ở chỗ xác định tập $\left | C \right |$.Phải là $C=A\cap B\rightarrow \left | C \right |=4 $ $(7\times 7 ; 7\times 14; 14\times 7 ;  14\times 14)$.Tập C có 4 loại mới đúng, vì ở b=21 thì bạn đã loại trừ sẵn 2 loại 7x21 và 14x21 rồi.  
 

Bạn lưu ý ký hiệu hình chữ nhật là $a\times b$ với $a\leqslant b$ nên không có kiểu $7\times 1$ hay $14\times 1$ nhé.

Tập $A$ gồm $\left\{\begin{matrix}7\times 7,7\times 8,7\times 9,...,7\times 21\\14\times 14,14\times 15,14\times 16,...,14\times 21 \end{matrix}\right.$

Vậy $\left | A \right |$ chỉ bằng $15+8=23$ mà thôi.

Tập $B$ gồm $\left\{\begin{matrix}1\times 7,2\times 7,3\times 7,...,7\times 7\\1\times 14,2\times 14,3\times 14,...,14\times 14\\1\times 21,2\times 21,3\times 21,...,16\times 21 \end{matrix}\right.$

Vậy $\left | B \right |=7+14+16=37$

Còn $\left | C \right |=\left | A\cap B \right |=5$ thì đúng rồi (bạn suy nghĩ kỹ xem)

--------------------------------------------------------------------

(Hôm qua đọc nhầm đề là 14 x 21 nên có sai sót, đã sửa lại ở trên, kết quả là $55$)

...
Theo mình biết thì hình chữ nhật đâu có bắt buộc chiều dài lớn hơn chiều rộng, vậy 7x1 vẫn là 1 hình chữ nhật như 1x7 chứ? Bạn có tài liệu nào nói bắt buộc phải $a\leqslant b$ không?

Hình chữ nhật (bao gồm cả hình vuông) thì chiều rộng không lớn hơn chiều dài (đây là định nghĩa về chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật đã học ở Tiểu học rồi mà). Còn trong ký hiệu hình chữ nhật là $a\times b$, nếu không có điều kiện kèm theo, người đọc sẽ hiểu rằng $a$ là chiều rộng hay chiều dài cũng được (tức là viết $1\times 7$ hay $7\times 1$ đều được, và 2 cách viết đều chỉ hình chữ nhật có chiều rộng $1$, chiều dài $7$). Nhưng mình lại kèm thêm điều kiện $a\leqslant b$, như vậy người đọc sẽ hiểu $a$ là chiều rộng, $b$ là chiều dài, và chiều rộng phải viết trước. Tại sao phải thêm điều kiện đó ? Mục đích là để mỗi hình chữ nhật chỉ có một cách gọi duy nhất, và nhờ đó giảm được hiện tượng "đếm trùng" (như trong lời giải của mình, hình chữ nhật chiều rộng $1$, chiều dài $7$ chỉ được đếm $1$ lần trong tập $A$, còn bạn đếm nó đến $2$ lần : lần đầu trong tập $A$ với tên gọi $7\times 1$, lần sau trong tập $B$ với tên gọi $1\times 7$). Hiện tượng "đếm trùng" là nguyên nhân chủ yếu của các sai lầm trong các bài toán đếm, vì vậy hạn chế nó càng nhiều càng tốt.
 

...
Theo mình biết thì hình chữ nhật đâu có bắt buộc chiều dài lớn hơn chiều rộng, vậy 7x1 vẫn là 1 hình chữ nhật như 1x7 chứ? Bạn có tài liệu nào nói bắt buộc phải $a\leqslant b$ không?

Bạn có thể chọn $1$ trong $3$ cách sau :

Cách 1 : "Ký hiệu các hình chữ nhật là $a\times b$ ($a\leqslant b$)"
Cách 2 : "Ký hiệu các hình chữ nhật là $a\times b$ ($a\geqslant b$)"

Cách 3 : "Ký hiệu các hình chữ nhật là $a\times b$ (không kèm theo điều kiện nào hết)"

Chọn cách nào là tùy người giải, miễn sao lời giải chính xác, đơn giản, rõ ràng, dễ hiểu là được. (Theo mình nên chọn cách 1 hoặc cách 2)

Cho hình thang $ABCD$ vuông tại $A, D$, $AB<CD$, chiều cao và diện tích lần lượt là $h,S>0$ cố định. Từ $B$ kẻ đường thẳng vuông góc với $BC$ chia hình thang thành hai phần: trên (chứa đỉnh $A$) và dưới. Tìm độ dài cạnh $AB$ tính theo $h,S$ sao cho diện tích phần trên là lớn nhất.

Chọn $D$ làm gốc tọa độ, tia $DC$ làm trục hoành, tia $DA$ làm trục tung.

Gọi $M$ là trung điểm $BC$ $\Rightarrow M\left ( \frac{S}{h};\frac{h}{2} \right )$

Đường thẳng vuông góc với $BC$ tại $B$ cắt đường thẳng $AD$ tại $E$ và cắt đường thẳng $CD$ tại $F$.

Đặt $AB=t$ ($t> 0$) $\Rightarrow B\left ( t;h \right )$.

Gọi diện tích phần hình thang phía trên đường thẳng $BE$ (có chứa đỉnh $A$) là $S_0$.

Vector pháp tuyến của $BE$ là $\left ( t-\frac{S}{h};\frac{h}{2} \right )\Rightarrow BE:\left ( t-\frac{S}{h} \right )x+\frac{h}{2}\ y+\frac{St}{h}-t^2-\frac{h^2}{2}=0$

$\Rightarrow E\left ( 0;\frac{2ht^2-2St+h^3}{h^2} \right )$ ; $F\left ( \frac{2ht^2-2St+h^3}{2(ht-S)};0 \right )$

Xét các trường hợp :

1) $2ht^2-2St+h^3\geqslant 0,\forall t\Leftrightarrow S\leqslant h^2\sqrt{2}$.

    Khi đó $y_E\geqslant 0,\forall t\Rightarrow S_0=S_{ABE}=\frac{AB.AE}{2}=\frac{t(h-y_E)}{2}=\frac{St^2-ht^3}{h^2}$

    Dùng phương pháp đạo hàm suy ra GTLN của $S_0$ là $\frac{4\ S^3}{27\ h^4}$ (khi $t=\frac{2\ S}{3\ h}$)

2) $h^2\sqrt{2}< S\leqslant \frac{3}{2}\ h^2$ :

    Khi đó có 2 khả năng :

    + Nếu $y_E\geqslant 0$ thì $S_0$ đạt GTLN là $\frac{4\ S^3}{27\ h^4}$ (khi $t=\frac{2\ S}{3\ h}$)

    + Nếu $x_F> 0$ :

       Khi đó $S_0=S_{ABFD}=\frac{AD(AB+DF)}{2}=\frac{h\left ( t+x_F \right )}{2}=\frac{4h^2t^2-4hSt+h^4}{4ht-4S}$

       Dùng phương pháp đạo hàm suy ra $S_0< S-h^2$

    Bây giờ ta cần chứng minh $\frac{4\ S^3}{27\ h^4}\geqslant S-h^2$

    Đặt $S=m.h^2$ ($m> 0$).

    $\frac{4\ S^3}{27\ h^4}=\frac{4\ m^3}{27}\ h^2$ ; $S-h^2=(m-1)h^2$

    Dễ thấy rằng $\frac{4\ m^3}{27}\geqslant m-1,\forall m> 0\Rightarrow \frac{4\ S^3}{27\ h^4}\geqslant S-h^2$

    Vậy trong trường hợp này, GTLN của $S_0$ là $\frac{4\ S^3}{27\ h^4}$ (khi $t=\frac{2\ S}{3\ h}$)

3) $S> \frac{3}{2}\ h^2$ :

    Gọi giao điểm của đường tròn đường kính $DM$ với đường thẳng $AB$ là $H$ và $K$ ($x_H< x_K$)

    $\Rightarrow x_K=\frac{S+\sqrt{S^2-2h^4}}{2h}$

    + Nếu $y_E\geqslant 0$ thì $S_0$ đạt GTLN là $\frac{S+\sqrt{S^2-2h^4}}{4}$ (khi $t=x_K=\frac{S+\sqrt{S^2-2h^4}}{2h}$)

    + Nếu $x_F> 0$ :

       Khi đó GTLN của $S_0$ là $S-h^2$ (khi $t=\frac{2S-h^2}{2h}$)

    Bây giờ phải so sánh $P=\frac{S+\sqrt{S^2-2h^4}}{4}$ với $Q=S-h^2$

    Đặt $S=m.h^2$ ($m> \frac{3}{2}$)

    $\Rightarrow P_1=\frac{4P}{h^2}-m=\sqrt{m^2-2}$ ; $Q_1=\frac{4Q}{h^2}-m=3m-4$

    $Q_1^2-P_1^2=8m^2-24m+18\geqslant 0,\forall m\Rightarrow P< Q$

Tóm lại $S_{0(max)}=\left\{\begin{matrix}\frac{4S^3}{27h^4}\ (khi\ t=\frac{2S}{3h})\ neu\ S\leqslant \frac{3}{2}\ h^2\\S-h^2\ (khi\ t=\frac{2S-h^2}{2h})\ neu\ S> \frac{3}{2}\ h^2 \end{matrix}\right.$

Chỗ này, khi $t=\frac{2S}{3h}$, ta có $y_E=\frac{9h^4-4S^2}{9h^3}$, cái này sẽ bé hơn $0$ khi $S> \frac{3}{2}h^2$, khi đó $E$ nằm ngoài đoạn $AD$ nên GTLN ở trường hợp này không xảy ra.

Đã sửa ở trên.
 

Một câu hỏi mở rộng thú vị là:

Nếu bây giờ các giáo viên và học sinh xếp thành vòng tròn để nhảy lửa trại nhưng vẫn thỏa yêu cầu ban đầu (giữa hai giáo viên có ít nhất 2 học sinh), thì có bao nhiêu cách sắp xếp?

Ở bước đầu tiên là xếp 20 học sinh vào vòng tròn, ta có $19!$ cách. $19!$ cách này là theo quy ước về đếm cách xếp người theo vòng tròn, tức là chỉ quan tâm đến vị trí tương đối giữa các thành viên trong vòng tròn (không quan tâm đến cảnh quan bên ngoài). Tất cả các cách có được bằng cách xoay một góc $\alpha$ nào đó từ một cách ban đầu đều không được tính.

Vì vậy ở bước sau cùng không cần phải chia cho $4$, cho $24$ hoặc cho bất kỳ số nào khác.

Kết quả là $19!4!\binom{15}{3}$ (cách)
 

Anh đã cố định người giáo viên đầu tiên rồi đúng không? Thế thì ở cuối chỉ còn $3!$ thay vì $4!$ chứ nhỉ?
 

Cố định em học sinh đầu tiên xếp vào vòng tròn (gọi là em $A$ chẳng hạn), xem em này là mốc.

Mọi thành viên xếp vào sau đều xét vị trí tương đối so với em $A$.

Khi xếp giáo viên đầu tiên vào 1 trong 4 vạch thì có $4$ cách, chứ không phải $1$ cách (vì vị trí tương đối của $4$ vạch so với mốc là khác nhau). Xếp tiếp giáo viên thứ hai có $3$ cách... Như vậy xếp $4$ giáo viên vào vị trí $4$ vạch có $4!$ cách.
 

Cho $3$ chiếc hộp, trong đó có một hộp chứa $1$ đồng xu, hai hộp còn lại mỗi hộp chứa $1$ con xúc xắc. Giả sử giá trị của mặt ngửa đồng xu là $1$, mặt úp là $2$, giá trị của các mặt xúc xắc tương ứng số chấm trên mặt đó. Chọn ngẫu nhiên một trong ba hộp và lấy món bên trong hộp đó ra để gieo. Tính xác suất để gieo được giá trị $1$.

Bạn giải thích cụ thể chữ "ngẫu nhiên" nhé. Ngẫu nhiên cũng có nhiều cách phân bố (density function) không giống nhau.

Hiểu từ "ngẫu nhiên" theo cách thông thường thôi (đừng làm khó em nó chứ )

Gọi $A_1$ là biến cố chọn được hộp có đồng xu $\Rightarrow P(A_1)=\frac{1}{3}$.

       $A_2$ là biến cố chọn được hộp có con xúc sắc $\Rightarrow P(A_2)=\frac{2}{3}$.

       $B$ là biến cố gieo đồng xu được mặt ngửa $\Rightarrow P(B)=\frac{1}{2}$.

       $C$ là biến cố gieo xúc sắc được mặt $1$ chấm $\Rightarrow P(C)=\frac{1}{6}$.

       $D$ là biến cố gieo được giá trị $1$ $\Rightarrow P(D)=P(A_1).P(B)+P(A_2).P(C)=\frac{5}{18}$.

1, một kho hàng chứa sản phẩm của 2 xí nghiệp với tỉ lệ 70% sản phẩm của xí nghiệp 1 và 30% sản phẩm của xí nghiệp 2. Sản phẩm của xí nghiep 1 sản xuất được 80% là loại tốt, xí nghiệp 2 đạt 90% là loại tốt 

a) Người ta lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm thì được sản phẩm xấu . Tính xác suất để sản phẩm đó  do xí nghiẹp 1 sản xuất

b) Người ta lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ kho hàng . Tính xs để được 1 sản phẩm tốt, 1 sản phẩm xấu.

2. ba người mỗi người bắn 1 viên đạn vào cùng 1 mục tiêu . xác suất trúng đích mỗi lần bắn của người thư nhất là 0,9, người thứ 2 là 0,8, người thứ 3 là 0.7 và độc lập với nhau

a) tính xác suất để có ít nhất 1 viên đạn trúng đích

b) biết rằng có ít nhất 1 viên đạn trúng đích , tính xác suất để người thứ nhất bắn trúng

Bài 1 :

b) Xác suất lấy được $1$ sp tốt và $1$ sp xấu là $C_2^1.0,17.(1-0,17)=0,2822$

Bài 2 :

b) Gọi $D$ là biến cố có ít nhất $1$ viên trúng đích $\Rightarrow P(D)=0,994$

    Xác suất cần tính là $P(A/D)=\frac{P(A).P(D/A)}{P(D)}=\frac{0,9.1}{0,994}\approx 0,9054$
 

Thank you anh chanhquocnghiem . Cho em hỏi :
Bài 1, câu b:
Em nghĩ đơn giản như sau : em nhập vai là 1 khách hàng đến công ty để lấy ở kho 1 sp tốt và 1 sp xấu mà, tất nhiên, không hề quan tâm sp đó do XN nào sản xuất (chỉ biết là trong kho của công ty có 2 loại là sp tốt hoặc xấu mà thôi và biết XS để lấy sp xấu là $0,17$) nên em mới tính XS để lấy 1 sp tốt và 1sp xấu là $0,17\times(1-0,17)$
Bài 2, câu b:
Em nghĩ : A chắc chắn bắn trúng, nên em tính XS cho 4 khả năng của B và C:
$0,9\left ( 0,8\cdot0,7+0,8\cdot0,3+0,2\cdot0,3+0,2\cdot0,7 \right )=0,9\cdot1=0,9$
Như vậy suy nghĩ có logic không vậy anh?

Câu 1b)

Nếu bạn lấy $2$ sản phẩm :

- Xác suất được $2$ sản phẩm tốt là $0,83^2$

- Xác suất được $2$ sản phẩm xấu là $0,17^2$

Vậy xác suất được $1$ tốt, $1$ xấu có phải là $1-0,83^2-0,17^2=(0,83+0,17)^2-0,83^2-0,17^2=2.0,83.0,17$.

Câu 2b) Bạn nghĩ $A$ chắc chắn bắn trúng là sai (xác suất $A$ bắn trúng là $0,9$, tức là $A$ cũng có thể bắn không trúng)
 

Cám ơn anh.
Câu 1b):Em sai rồi!
Câu 2b):Trong quá trình tính toán, em vẫn lấy XS chắc chắn bắn trúng của A là $0,9$ đấy chứ!

Câu 2b)

Đề bài hỏi xác suất $A$ bắn trúng nếu có ít nhất $1$ viên trúng đích, tức là yêu cầu tính $P(A/D)$.

Công thức mà bạn dùng, thực chất là tính $P(A)$ (vì cái trong ngoặc bằng $1$), mà $P(A)$ biết rồi, tính chi nữa

Còn tính $P(A/D)$ thì phải dùng công thức xác suất có điều kiện (như câu 1a bạn đã làm)
 

 

Mọi người cho em xin phép hỏi bài toán sau :

 

2.  Trong khu vườn hình chữ nhật chiều dài 120m, chiều rộng 100m, người ta đặt 9 bồn hoa hình tròn có đường kính 5m.

Chứng minh luôn tồn tại phần đất để xây ngôi nhà hình chữ nhật có kích thước 25mx35m.

 

** Bài 2. chắc là sẽ làm theo dirichle và chia hình, nhưng em chia mãi chưa thấy có cách nào hợp lý ... có một bài toán gần giống em tra được, mọi người thử tham khảo cách đó.... ạ

<của thầy Trịnh Việt Phương ạ, em chụp trên trang mathvn >

 

Gợi ý nhé :  $120=3.35+2.5+2.2,5$

                    $100=2.25+1.35+2.5+2.2,5$

Vậy có thể chia thành $10$ mảnh đất $25\times 35$ rồi áp dụng nguyên lý Dirichlet.

Theo wikipedia thì "Trong tiêu chuẩn của ISO 80000-2[1] và tài liệu giáo khoa chuẩn của Việt Nam[2], số tự nhiên được định nghĩa theo kiểu là số nguyên không âm (0, 1, 2, 3, 4,...). " cho nên ở bài toán này thì $x,y,z$ là các số nguyên không âm. Do đó nghiệm của $x+y+z=10$ là $C_{12}^{2}$ dẫn đến :
$$|A|\neq |B|$$

Có thể bạn này lấy từ sách nước ngoài. Ở đó thì $\mathbb{N}$ không có số $0$

Tài liệu giáo khoa chuẩn của Việt Nam khác với nước ngoài thì học sinh, sinh viên, nghiên cứu sinh Việt Nam luôn bị thiệt thòi !

+ Định nghĩa tập số tự nhiên (cái nền tảng của số học)

+ Ký hiệu số chỉnh hợp

+ Ký hiệu logarit thập phân

+ Tên gọi các bất đẳng thức thường gặp (AM - GM, Cauchy - Schwarz)

+ ......

Thật là bức xúc !

 

Câu 4. Mệnh đề nào sau đây là sai?

A. c∫af(x)dx=b∫af(x)dx+c∫bf(x)dx.

B. b∫af(x)dx=c∫af(x)dx−c∫bf(x)dx.

C. b∫af(x)dx=a∫bf(x)dx+c∫af(x)dx.

D.  b∫acf(x)dx=−ca∫bf(x)dx

mọi người giúp em với ạ, đang thử làm vài câu trắc nghiệm

 

C. $\int_{b}^{a}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(x)dx+\int_{c}^{a}f(x)dx$

       (câu này có gì khó đâu, phải động não lên chứ !)
 

Giải phương trình:

$|x-1| + |x-2| + ... + |x-100| = 101x - 200$

Xét các trường hợp :

1) $x< 1$ :

    $(1-x)+(2-x)+...+(100-x)=101x-200\Leftrightarrow x=\frac{1750}{67}$ (loại)

2) $x\geqslant 100$ :

    $(x-1)+(x-2)+...+(x-100)=101x-200\Leftrightarrow x=-4850$ (loại)

3) $1\leqslant x< 100$ :

    Đặt $k\leqslant x< k+1$ (với $k$ là số nguyên từ $1$ đến $99$)

    $(x-1)+(x-2)+...+(x-k)+(k+1-x)+(k+2-x)+...+(100-x)=101x-200$

    $\Leftrightarrow kx-(100-k)x-\frac{k(k+1)}{2}+\frac{(k+101)(100-k)}{2}=101x-200\Leftrightarrow x=\frac{k^2+k-5250}{2k-201}$

    với $k$ phải thỏa mãn $k\leqslant \frac{k^2+k-5250}{2k-201}< k+1\Leftrightarrow k^2-202k+5250\geqslant 0> k^2-200k+5049\Leftrightarrow k=30$

    Vậy $x=\frac{k^2+k-5250}{2k-201}=\frac{1440}{47}$ (thỏa mãn)

Kết luận : Nghiệm duy nhất là $x=\frac{1440}{47}$.
 

Cho 2021 số tự nhiên phân biệt thỏa mãn: tổng của 1011 số bất kì trong chúng không nhỏ hơn tổng 1010 số còn lại.

Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng 2021 số này

Giả sử $a_1<a_2<a_3<...<a_{2020}<a_{2021}$ là $2021$ số tự nhiên đã cho.

Ta có $a_1+a_2+...+a_{1011}\geqslant a_{1012}+a_{1013}+...+a_{2021}$

Hay $a_{1011}\geqslant (a_{1012}-a_1)+(a_{1013}-a_2)+...+(a_{2021}-a_{1010})$

Lưu ý rằng các số tự nhiên phân biệt suy ra mỗi hiệu trong ngoặc đều không nhỏ hơn $1011$

Suy ra $a_{1011}\geqslant 1011.1010\Rightarrow a_{2021}\geqslant 1011.1010+1010=1012.1010=1022120$

GTNN của tổng xảy ra khi có dấu bằng, tức là khi $a_{1012}-a_1=a_{1013}-a_2=...=a_{2021}-a_{1010}=1011$. Nói cách khác, khi đó các số đã cho là các số tự nhiên liên tiếp $1020100,1020101,...,1022120$. Và tổng của chúng là $2063663310$.
 

Dùng đồ thị biện luận theo $m$ số nghiệm của phương trình: $\left | 2x^2-3x-2 \right |=5m-8x-2x^2$

Phương trình đã cho tương đương với : $\left | 2x^2-3x-2 \right |+2x^2+8x=5m$

Đặt $f(x)=\left | 2x^2-3x-2 \right |+2x^2+8x\Rightarrow f(x)=\left\{\begin{matrix}4x^2+5x-2\ if\ x\leqslant -\frac{1}{2}\ or\ x\geqslant 2\\11x+2\ if\ -\frac{1}{2}< x< 2 \end{matrix}\right.$

Nhận xét : $f(x)$ là hàm liên tục, nghịch biến trên $\left ( -\infty;-\frac{5}{8} \right )$, đồng biến trên $\left ( -\frac{5}{8};+\infty \right )$ và có miền giá trị là $\left ( -\frac{57}{16};+\infty \right )$

Vậy phương trình đã cho :

+ Vô nghiệm nếu $5m< -\frac{57}{16}$ hay $m< -\frac{57}{80}$

+ Có $1$ nghiệm kép $x=-\frac{5}{8}$ nếu $m=-\frac{57}{80}$

+ Có đúng $2$ nghiệm phân biệt nếu $m> -\frac{57}{80}$.
 

Để cho nhanh, áp dụng định lý André (André' s theorem ):
$$y:=\sum_{n\geq 0}^{}E_{n}\frac{x^n}{n!}=1+1x+1\frac{x^2}{2!}+2\frac{x^3}{3!}+5\frac{x^4}{4!}+16\frac{x^5}{5!}+61\frac{x^6}{6!}+272\frac{x^7}{7!}+\cdots$$
Thì : $E_{5}=\boxed {16}$.

Sao chỉ có $16$ nhỉ ? (Có gì đó sai sai !)