Ta có :$x=\frac{y+1}{l}= > ky-1=\frac{y+1}{l}= > kly-l=y+1= > y(kl-1)=l+1= > y=\frac{l+1}{kl-1}$

Do y là số tự nhiên $= > l+1\vdots kl-1= > l+1\geq kl-1= > l\geqslant kl= > l(k-1)\leq 0= > k-1\leq 0= > k\leq 1$

Do k nguyên dương nên k=1 $= > y=\frac{l+1}{l-1}$

$= > l+1\vdots l-1= > l-1+2\vdots l-1= > 2\vdots l-1$ $= > l-1=1,l-1=2= > l=2$ hoặc $l=3$

-Với $k=1,l=2= > 2x-1=y,y-1=x= > y=3,x=2$

-Voi $k=1,l=3= > 3x-1=y,y-1=x= > y=2,x=1$

Sử dụng tam giác đồng dạng ta CM được :$AB.CD=AC.BD$ nên ABCD điều hoà

Cho $-\frac{1}{2}\leq x\leq 1$. Tìm GTLN, GTNN của $y=x^{3}-6x^{2}+21x+18$

Ta có:$y=x^3-6x^2+12x+18=x^2(x-1)-5x(x-1)+7(x-1)+25=(x-1)(x^2-5x+7)+25\leq 25$(Do $x-1\leq 0,x^2-5x+7> 0$

$4y=4x^3-24x^2+84x+72=2x^2(2x+1)-13x(2x+1)+\frac{97}{2}(2x+1)+72-\frac{97}{2}=(2x+1)(2x^2-13x+\frac{97}{2})+\frac{47}{2}\geq \frac{47}{2}= > y\geq \frac{47}{8}$

Theo bdt AM-GM có :$(a+b)(b+c)(c+a)\leq\frac{8(a+b+c)^3}{27}=\frac{8}{27}$

                                 $abc\leq \frac{(a+b+c)^3}{27}=\frac{1}{27}$

$= > abc(a+b)(b+c)(c+a)\leq \frac{8}{27}.\frac{1}{27}=\frac{8}{27^2}$

Dang thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

hiểu rồi à? phần bđt này mình mới học hồi chiều. công nhận mấy cái này khó thật...

Phần này cũng bình thường mà chỉ cẩn áp dụng nhớ là nó phải dương

Bạn ơi biến x,y,z mà???

Chắc mình ghi nhầm

Cộng theo vế các pt ta được $x^2(a+b+c)+x(a+b+c)+a+b+c=0= > (a+b+c)(x^2+x+1)=0= > a+b+c=0= > c=-a-b$

Thay vào pt đầu ta được $ax^2+bx-a-b=0< = > a(x-1)(x+1)+b(x-1)=0< = > (x-1)(ax+a+b)=0= > ax+b=-a= > cx^2-a=0= > x^2=\frac{a}{c}= > a\vdots c$

Tương tự $c\vdots a$

$= > c=a$.Thay vào (1) ta được :$ax^2+bx+a=0$

 Cho các số thực dương $a,b,c$. CMR:

  $\sum \sqrt[3]{\frac{a^2+bc}{abc(b^2+c^2)}}\geq \frac{9}{a+b+c}$

Đề nghị mod cho sao chép bài này

 Theo AM-GM 3 số ta có :

  $\sum \sqrt[3]{\frac{a^2+bc}{abc(b^2+c^2)}}=\sum \frac{a^2+bc}{\sqrt[3]{abc(b^2+c^2)(a^2+bc)^2}}=\sum \frac{a^2+bc}{\sqrt[3]{(ab^2+ac^2)(ba^2+bc^2)(ca^2+c^2b)}}\geq \sum \frac{a^2+bc}{\frac{ab^2+ac^2+ba^2+bc^2+ca^2+c^2b}{3}}=3\sum \frac{a^2+bc}{\sum ab(a+b)}=\frac{3\sum a^2+3\sum ab}{\sum ab(a+b)}$

Ta cần chứng minh $\frac{3\sum a^2+3\sum ab}{\sum ab(a+b)}\geq \frac{9}{\sum a}< = > (\sum a^2+\sum ab)(\sum a)\geq 3\sum ab(a+b)< = > \sum a^3+3abc\geq \sum ab(a+b)< = > a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b)\geq 0$

 BDT này luôn đúng vì đó là Schur bậc 3.

    Dấu = xảy ra khi $a=b=c$

Bài 3: (Bài ngon nhất ) :Không mất tính tổng quát giả sử c là số lớn nhất trong 3 số $= > 1\leq c\leq 2$

Ta có :$a^2+b^2+c^2=(a+b)^2+c^2-2ab\leq (a+b)^2+c^2=(3-c)^2+c^2\leq 5< = > 2c^2-6c+9\leq 5< = > c^2-3c+2\leq 0< = > (c-1)(c-2)\leq 0$

Bài 3:Quy đồng lên BĐT $< = > a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\geq abc(a+b+c)$

Theo bđt Cosi có :$a^2b^2+b^2c^2\geq 2\sqrt{a^2b^4c^2}=2ab^2c$

Thiết lập các bddt tương tự rồi cộng lại ta có đpcm

Bài 2: BĐT $< = > \frac{1}{2}(a-b)^2+\frac{1}{2}(b-c)^2+\frac{1}{2}(c-a)^2\geq 0$(luôn đúng)

à mình quên để mình sửa lại.Tks

Không có gì

Bạn thiếu điều kiện $x\geq 1$

PT <=> 2x²-2(m + 2)x - 2m +7 = x² - 2x +1

     <=> x² - 2(m +1)x - (2m - 7) = 0

          $\Delta$^' = m² + 8 > 0

=> PT có 2 nghiêm thực

                     

 Cho $\Delta ABC$ có $O$ là điểm bất kỳ nằm trong $\Delta$. Nối $AO,BO,CO$ giao $BC,CA,AB$ ở $M,N,P$. Gọi $I$ là điểm bất kỳ nằm trong $\Delta MNP$ .Nối $MI,NI,PI$ giao $PN,PM,MN$ ở $D,E,F$. CMR:  $AD,BE,CF$ đồng quy.

Cho $a,b,c>0$ . CMR : $\frac{3(\sum ab)}{(\sum a)^{2}}+\frac{\prod (a+b)}{8abc}\geq 2$

BDT $< = > \frac{\prod (a+b)}{8abc}-1\geq 1-\frac{3\sum ab}{(\sum a)^2}< = > \frac{\sum ab(a+b)-6abc}{8abc}\geq \frac{\sum a^2-\sum ab}{(\sum a)^2}< = > \frac{\sum a(b-c)^2}{4abc}\geq \frac{\sum (b-c)^2}{(\sum a)^2}< = > \sum (b-c)^2(\frac{1}{4bc}-\frac{1}{(\sum a)^2})\geq 0$

  BDT này đúng do $4bc\leq (b+c)^2< (a+b+c)^2= > \frac{1}{4bc}> \frac{1}{(\sum a)^2}= > \frac{1}{4bc}-\frac{1}{(\sum a)^2}> 0$

Tương tự $\frac{1}{4ac}-\frac{1}{(\sum a)^2}> 0,\frac{1}{4ab}-\frac{1}{(\sum a)^2}> 0$

 Do đó $S_{a}> 0,S_{b}> 0,S_{c}> 0$ nên ta có ĐPCM

Lưu ý là có đk :a+b+c=1 rồi thay vào thôi

Ta có :$3^n-1=(3-1)(3^(n-1)+3^(n-2)+...+1)=2(3^(n-1)+3^(n-2)+...+1)$ là số chẵn nên n chẵn

Ta có :$\frac{a^2+b}{b+c}+a+\frac{b^2+c}{c+a}+b+\frac{c^2+a}{a+b}+c=\frac{a(a+b+c)+b}{b+c}+\frac{b(b+c+a)+c}{c+a}+\frac{c(c+a+b)+a}{a+b}=\frac{a(a+b+c)+b(a+b+c)}{b+c}+\frac{b(a+b+c)+c(a+b+c)}{c+a}+\frac{c(c+a+b)+a(a+b+c)}{a+b}=\frac{(a+b+c)(a+b)}{b+c}+\frac{(a+b+c)(b+c)}{c+a}+\frac{(c+a)(a+b+c)}{b+a}=(a+b+c)(\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{c+a}+\frac{c+a}{a+b})\geq 3(a+b+c)\sqrt[3]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}}=3(a+b+c)= > \frac{a^2+b}{b+c}+\frac{b^2+c}{c+a}+\frac{c^2+a}{a+b}\geq 3(a+b+c)-(a+b+c)=2(a+b+c)=2$(đpcm) 

 Dấu =xảy ra khi a=b=c=$\frac{1}{3}$

Ta có :$M=\sum \frac{\sqrt{x^2+xy+y^2}}{4yz+1}\geq \sum \frac{\sqrt{\frac{3}{4}(x+y)^2}}{4yz+1}=\frac{\sqrt{3}}{2}.\sum \frac{x+y}{4yz+1}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}.\sum \frac{x+y}{(y+z)^2+1}$$M=\sum \frac{\sqrt{x^2+xy+y^2}}{4yz+1}\geq \sum \frac{\sqrt{\frac{3}{4}(x+y)^2}}{4yz+1}=\frac{\sqrt{3}}{2}.\sum \frac{x+y}{4yz+1}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}.\sum \frac{x+y}{(y+z)^2+1}$

Đặt $y+z=a,x+z=b,x+y=c$ $= > a+b+c=2(x+y+z)=3$

$= > A\geq\frac{\sqrt{3}}{2}. \sum \frac{c}{a^2+1}=\frac{\sqrt{3}}{2}.\sum \frac{c(a^2+1)-a^2c}{a^2+1}=\frac{\sqrt{3}}{2}.(\sum c-\sum \frac{a^2c}{a^2+1})\geq \frac{\sqrt{3}}{2}.(3-\sum \frac{a^2c}{2a})=\frac{\sqrt{3}}{2}(3-\sum \frac{ac}{2})\geq \frac{\sqrt{3}}{2}(3-\frac{(a+b+c)^2}{6})=\frac{\sqrt{3}}{2}(3-\frac{9}{6})=\frac{3\sqrt{3}}{4}$

 Dấu=  xảy ra tại a=b=c=1 hay $x=y=z=\frac{1}{2}$

Cho $x,y,z\in \left ( 0,1 \right ]$ .CMR

                               $\frac{1}{1+xy}+\frac{1}{1+yz}+\frac{1}{1+zx}\leq \frac{5}{x+y+z}$

Ta có:$(1-x)(1-y)\geq 0= > xy+1\geq x+y= > \frac{1}{xy+1}\leq \frac{1}{x+y}$.Tương tự $\frac{1}{yz+1}\leq \frac{1}{y+z},\frac{1}{xz+1}\leq \frac{1}{x+z}$

Cộng theo vế $= > \sum \frac{1}{xy+1}\leq \sum \frac{1}{x+y}$

Do đó ta cần CM:$\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z}\leq \frac{5}{x+y+z}< = > \left [ (x+y)+(x+z)+(y+z) \right ](\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z})\leq 10$

Đặt $x+y=a,y+z=b,x+z=c= > 0\leq a,b,c\leq 2$

BDT$< = > (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\leq 10$.Đây chính là bdt quen thuộc

  Bài toán : Cho các số thực dương $a,b,c> 0$ .CMR:

  $\frac{a}{a+b+7c}+\frac{b}{b+c+7a}+\frac{c}{c+a+7b}+\frac{2(ab+bc+ac)}{3(a^2+b^2+c^2)}\leq 1$

Bài 3: Không mất tính tổng quát giả sử $a\geq b\geq c$

$= > c^2a\geq c^2.c=c^3$

Từ đề bài ta cần CM :$3+a^2b+b^2c\geq c^3+2a^3+2b^3$

Mặt khác do $a\geqb \geq c= > a^2b-b^3=b(a^2-b^2)\geq 0= > a^2b\geq b^3,b^2c\geq c^3$(1)

Mà $0< b< 1= > b^3< 1$(2)

Cộng theo vế (1) và (2) $= > a^2b+b^2c+1> b^3+c^3+b^3=2b^3+c^3$(3)

Do $0< a<1 = > 2a^3< 2$(4)

Cộng theo vế (3) và (4) $= > a^2b+b^2c+1+2> 2b^3+c^3+2a^3$(đpcm)

$= > 2a^3+2b^3+2c^3< 3+a^2b+b^2c+c^2a$

Bài 1: Đặt $\sqrt{a}=x,\sqrt{b}=y$ .BĐT $< = > \frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{3(x+y)}{\sqrt{x^2+y^2}}> 6$

Theo bđt AM-GM  có :$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{3(x+y)}{\sqrt{x^2+y^2}}\geq \frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{6\sqrt{xy}}{\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{x^2+y^2}{xy}+\frac{6\sqrt{xy}}{\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{x^2+y^2}{xy}+\frac{3\sqrt{xy}}{\sqrt{x^2+y^2}}+\frac{3\sqrt{xy}}{\sqrt{x^2+y^2}}\geq 3\sqrt[3]{\frac{9xy(x^2+y^2)}{xy(x^2+y^2)}}=3\sqrt[3]{9}> 3\sqrt[3]{8}=3.2=6$(đpcm)