Ta có :

 

$VT\geq \frac{8(a+b+c)^{3}}{9(ab+bc+ac)}+\frac{8(a+b+c)(ab+bc+ac)}{(a+b+c)^{2}}\geqslant 2\sqrt{\frac{64(a+b+c)^{3}.(ab+bc+ca)}{9(ab+bc+ac).(a+b+c)^{2}}}=\frac{16}{3}(a+b+c)$

 

Vậy ta được đpcm

EM CẢM ƠN CÁC ANH

Đã fix,riêng câu $3$ các anh xem chuẩn không, em nhắm rớt vào $a=b=c$ nên chọn vậy. Có gì các anh thông cảm

BĐT câu 2 sửa rồi vẫn sai, hì hục làm mãi vẫn ngược dấu, bực mình lôi máy tính ra bấm thử 4 bộ số liền, thấy vế trái đều nhỏ hơn 5

Câu 3 hoctrocuanewton bị nhầm số mũ của a+b+c trên tử trong căn là 4 chứ không phải là 3, còn lại thì chuẩn rồi nhé.

Dấu "-" nhé!

Hình như vẫn chưa chứng minh được phương trình chỉ có 2 nghiệm!

Hì, nhầm dấu, mình sửa rồi bạn, ở đây đã chỉ ra nếu $x_0$ là nghiệm thì nó chỉ có thể là 0 hoặc 1 chứ không phải theo hướng chứng minh phương trình chỉ có 2 nghiệm bạn nhé.

tại sao $\frac{abc+abd+acd+bcd}{16abcd}\leq \frac{1}{4abcd}$ anh giải thích rõ được ko

Là thế này:

$abc+bcd+cda+dab=ab(c+d)+cd(a+b)\leq \frac{(a+b)^{2}(c+d)}{4}+\frac{(c+d)^{2}(a+b)}{4}=\frac{(a+b)(c+d)(a+b+c+d)}{4}\leq \frac{1}{4}(a+b+c+d)^{2}.\frac{a+b+c+d}{4}= \frac{(a+b+c+d)^{3}}{16}=\frac{4^{3}}{16}=4$

Ở đây ta áp dụng BĐT quen thuộc:

$xy\leq \frac{(x+y)^{2}}{4}$ để chuyển từ tích về tổng.

Từ chỗ này sao lại suy ra $x=\frac{1}{2}$

Bị nhầm thảm hại, đã sửa lại

Giải phương trình:

$\sqrt{\frac{1-x}{x}}= \frac{2x+x^2}{1+x^{2}}$

ĐKXĐ: $x\in (0;1]$

PT tương đương với:

$\sqrt{\frac{1-x}{x}}-1= \frac{2x+x^2}{1+x^{2}}-1\Leftrightarrow \frac{\frac{1-x}{x}-1}{\sqrt{\frac{1-x}{x}}+1}=\frac{2x-1}{1+x^{2}}\\ \Leftrightarrow \frac{1-2x}{x(\sqrt{\frac{1-x}{x}}+1)}=\frac{2x-1}{1+x^{2}}\\$

$\Leftrightarrow(2x-1)(\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{x(\sqrt{\frac{1-x}{x}}+1)})=0$

Rõ ràng biểu thức trong ngoặc luôn dương, vậy x=1/2 (thỏa mãn).

Mình vẫn ko chứng minh được phương trình này chỉ có hai nghiệm. Giúp mình với!

Gọi $x_0$ là một nghiệm của PT. Xét hàm số: $f(t)=t^{x_0}+(11-t)^{x_0}\Rightarrow f(8)=f(7)$

Theo định lí Lagrange, tồn tại $c\in (7,8)$ sao cho f'(c)=0 hay $x_0[c^{x_0-1}-(11-c)^{x_0-1}]=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x_0=0 & & \\ x_0=1 & & \end{bmatrix}$

( Vì $c^{x_0-1}-(11-c)^{x_0-1}=0\Leftrightarrow c^{x_0-1}=(11-c)^{x_0-1}\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x_0=1 & & \\ c=5,5\notin (7;8) & & \end{bmatrix}$

Bài toán kết thúc.

Nhưng định lí Lagrange chỉ chứng minh được phương trình có nghiệm thôi mà bạn?

giải các pt sau

1,$\sqrt[4]{x+\frac{1}{2}}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}+x=\frac{1}{2}$

2,$\sqrt{1-x^2}=(\frac{2}{3}-\sqrt{x})^2$

Cách khác:

http://diendantoanho...2frac23-sqrtx2/

Cho a,b,c dương có tổng bằng 1.

Tìm GTLN của biểu thức S=$\frac{a}{a+bc}+\frac{b}{b+ca}+\frac{\sqrt{abc}}{c+ab}$.

GHPT $\left\{\begin{matrix} x^3=3\sqrt{y}-2\\ y^{2}=\sqrt{y}\left ( 3x-2 \right ) \end{matrix}\right.$

Xét y=0.

Với y khác 0, chia cả 2 vế của pt (2) cho $\sqrt{y}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x^{3}=3\sqrt{y}-2 & & \\ (\sqrt{y})^{3}=3x-2 & & \end{matrix}\right.$

Hệ đối xứng thì ổn rồi

Nếu x=1 suy ra đúng !

Nếu x>2$8^{x}-7^{x}=4^{x}-3^{x}$ mà lại có $4^{x}-3^{x}\equiv 1(mod3)\Rightarrow VT\equiv 1(mod3)\Rightarrow 8^{x}\equiv 2(mod3)$(vô lí ) Vậy phương trình có nghiêm duy nhất là x=y=1

@khanghaxuan: Đề bài có cho nghiệm nguyên đâu bạn

Giai phương trình sau: 

8^x  + 3^x = 4^x + 7^x

Bạn đăng bài 1 lần thôi nhé

Cái này chắc sử dụng định lí Lagrange đó bạn

$$\color{orange}{\begin{array}{||} \hline \boxed{\text{Bài toán}} \; \text{cho}   a;b;x;y \geq 0 \text{và}  x+y=1 \\ \text{Chứng minh:}    ax+by \geq a^xb^y \\ \hline \end{array}}$$

Mình nghĩ bài này phải cho x,y hữu tỉ nữa cơ, và nếu không có ĐK đó thì cũng không giải được theo cách của Mr. Nhan

Bài toán tổng quát là như này: 

Cho n số hữu tỉ dương $\alpha _i,i=\overline{1,n}$ thỏa mãn: $\sum_{i=1}^{n}\alpha _i=1$. Khi đó, với mọi $a_i\geq 0,i=\overline{1,n}$ ta có BĐT sau:

$\sum_{i=1}^{n}\alpha _ia_i\geq \prod_{i=1}^{n}a_i^{\alpha _i}$

Bài toán được chứng minh bằng AM-GM.

http://diendantoanho...3-4x24x33x22x1/

Một sự trùng hợp không hề nhẹ

giải các pt sau

1,$\sqrt{x^2-3x+3}=\frac{3x^3-4x^2+4x+3}{3x^2+2x+1}$

2,$3x^3-13x^2+30x-4=\sqrt{(6x+2)(3x-4)^3}$

1) ĐKXĐ:...

Trừ đi x ở cả 2 vế của pt để giảm bậc ta được:

$\frac{x^2-3x+3-x^{2}}{\sqrt{x^2-3x+3}+x}=\frac{-6x^2+3x+3}{3x^2+2x+1}$ (vế trái thực hiện nhân liên hợp luôn, lưu ý xét ĐK mẫu khác 0)

hay

$\frac{x-1}{\sqrt{x^2-3x+3}+x}=\frac{(2x+1)(x-1)}{3x^{2}+2x+1}\Rightarrow \begin{bmatrix} x=1 & & \\ (2x+1)(\sqrt{x^2-3x+3}+1)=3x^{2}+2x+1 & & \end{bmatrix}$

Phương trình sau tương đương với $(2x+1)\sqrt{x^{2}-3x+3}=x^{2}+x+1$

Đặt a=2x+1, b= $\sqrt{x^{2}-3x+3}$ ta được:

$ab=b^{2}+2a-4\Leftrightarrow (a-b-2)(b-2)=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} a-2=b & & \\ b=2 & & \end{bmatrix}$

Đến đây thì dễ rồi (chú ý đk để tìm nghiệm nhé!)

Áp dụng AM-GM ta có 

  $a\sqrt{b^3+1}=a\sqrt{(b+1)(b^2-b+1)}\leqslant \frac{a(b+1+b^2-b+1)}{2}=\frac{a(b^2+2)}{2}$

Do đó ta chỉ cần chứng minh 

  $\sum \frac{a(b^2+2)}{2}\leqslant 5$

$\Leftrightarrow ab^2+bc^2+ca^2\leqslant 4$, sử dụng $a+b+c=3$

BĐT trên luôn đúng khi sử dụng bất đẳng thức quen thuộc sau

             $ ab^2+bc^2+ca^2+abc\leqslant \frac{4(a+b+c)^3}{27}=4\Rightarrow ab^2+bc^2+ca^2 \leqslant 4$

Vậy ta có đccm

Đẳng thức xảy ra khi $(a,b,c)=(0,1,2)$ và hoán vị

Em nghĩ dấu = ở BĐT cuối xảy ra thì các bất đẳng thức trước đó ta đánh giá cũng phải đảm bảo đk dấu = chứ nhỉ? D

Trong khi dấu "=" ở BĐT AM-GM chỉ xảy ra khi biến =0 hoặc 2 chứ đâu có =1 ạ?

Giải HPT:$\left\{\begin{matrix}(x+y)\sqrt{2xy+5}=4xy-3y+1 & \\ (x+2y)\sqrt{2xy+5}=6xy+x-7y-6&\end{matrix}\right.$

Ở đây nhé: http://diendantoanho...endmatrixright/

Giải phương trình sau :

$\sqrt{3x^{3}+2x^{2}+2}+\sqrt{-3x^{3}+x^{2}+2x-1}=2(x^{2}+x+1)$

 

@MOD : Nhớ kẹp 2 dấu $ vào 2 đầu của công thức 

Đặt 2 căn lần lượt là a,b không âm, ta có:

$a+b=2(x^{2}+x+1),a^{2}+b^{2}=3x^{2}+2x+1$

Áp dụng BĐT $(a+b)^{2}\leq 2(a^{2}+b^{2})\Rightarrow [2(x^{2}+x+1)]^{2}\leq 2(3x^{2}+2x+1)\Leftrightarrow 2(x^{2}+x)^{2}+(x+1)^{2}\leq 0\Leftrightarrow x=-1$

(chỗ này mình làm hơi tắt, nhưng biến đổi tương đương cũng không mấy khó khăn, bạn tự làm nhé )

Khi đó: a=1, b=1, thỏa mãn.

Vậy nghiệm duy nhất x=-1

Giải hệ phương trình sau :

$\left\{\begin{matrix} 2x^{4}+x^{2}+\sqrt{x^{2}+2}=2y^{4}+y^{2}+\sqrt{2y^{2}+1}\\x^{4}+2y^{4}-2x^{2}+y^{2} -2=0 \end{matrix}\right.$

Hệ phương trình ban đầu:

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x^{4}+x^{2}+\sqrt{x^{2}+2}=2y^{4}+y^{2}+\sqrt{2y^{2}+1} & & \\ x^{4}-2x^{2}-2=-2y^{4}-y^{2} & & \end{matrix}\right. \\ \Rightarrow (x^{2}+1)^{2}+(x^{2}+1)+\sqrt{(x^{2}+1)+1}=(2y^{2})^{2}+2y^{2}+\sqrt{2y^{2}+1}$

(lấy pt trên trừ pt dưới)

$\Rightarrow x^{2}+1=2y^{2}$, tới đây kết hợp với pt 2 thì ok rồi

Cho a,b,c,d>0, abcd=$r^{4}\geq 1$. CMR:

$\sum \frac{ab+1}{a+1}\geq \frac{4(1+r^{2})}{1+r}$

Bài này đã được giải trong Sáng tạo BĐT của Phạm Kim Hùng theo cách này:

 nhưng mình vẫn đăng lên, mong mọi người cùng với mình suy nghĩ để tìm ra hướng đi khác tối ưu hơn, cảm ơn mn nhiều

$3\cot ^{2}x+2\sqrt{2}\sin^{2} x=(2+3\sqrt{2})\cos x$

-Nếu $x> 2= > 8x^3-6x=8x^2(x-2)+16x(x-2)+26x> \sqrt{2x+2}$(vô lý)

Xét $-2\leq x\leq 2$

Đặt $x=cos \frac{a}{2}= > 2(4cos^3\frac{a}{2}-3cos\frac{a}{2})=\sqrt{2cos\frac{a}{2}+2}< = > 2.cos\frac{3a}{2}=\sqrt{2(2cos^2\frac{a}{4}-1)+2}=\sqrt{4cos^2\frac{a}{4}}=2\left | cos\frac{a}{4} \right |= > cos\frac{3a}{2}=\left | cos\frac{a}{4} \right |$

Đến đây coi như xong

Bạn bị xét nhầm trường hợp kìa, phải xét $x>1$, $-1\leq x\leq 1$ thì mới đặt x=cos được chứ, còn khoảng của bạn thì phải đặt x=2cos, với bài này thì ĐKXĐ là $x\geq -1$ rồi

Tìm nghiệm nguyên của phương trình:$\large cos \left [ \frac{\pi }{8}:\left ( 3x-\sqrt{9x^{2}+160x+800} \right ) \right ]=1$

 

 

 

P/s: xin lỗi mình ghi

PolarBear154

đề sai! Fixed!  

Bạn ơi hình như là cái pt ấy k có nghiệm nguyên, hướng chứng minh cũng tương tự như cái mình là trc thôi, có 16k(3x-căn bậc 2...)=1, nếu cái căn nguyên thì vế phải chẵn, vế trái lẻ, vô nghiệm, còn căn dưới dạng $a\sqrt{b}$ với b nguyên dương không chính phương thì có thể biểu diễn:

$\sqrt{b}=\frac{3x-\frac{1}{16k}}{a}$

Vế phải vô tỉ, vế trái hữu tỉ, vô nghiệm.

Híc, chẳng biết sai sót chỗ nào không nữa

CMR: $\tan 34^{\circ}> \frac{2}{3}$

Giải phương trình:

$9\sqrt{2x-1}\sqrt[3]{3x-2}\sqrt[4]{4x-3}\sqrt[5]{5x-4}\sqrt[6]{6x-5}=x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9$

ĐKXĐ: $x\geq \frac{5}{6}$

Áp dụng Cauchy:

$VT\leq 9.\frac{(2x-1)+1}{2}.\frac{(3x-2)+1+1}{3}.\frac{(4x-3)+1+1+1}{4}.\frac{(5x-4)+1+1+1+1}{5}.\frac{(6x-5)+1+1+1+1+1}{6}=9x^{5} \\ VP=(x+x^{9})+(x^{2}+x^{8})+(x^{3}+x^{7})+(x^{4}+x^{6})+x^{5}\geq 9x^{5}$

Dẫu = xảy ra tại x=1

$\left\{\begin{matrix} 3(x+\frac{1}{x})=4(y+\frac{1}{y})=5(z+\frac{1}{z}) & \\ &xy+yz+xz=1 \end{matrix}\right.$

Hây da, bài này đc post mấy lần rồi, mà tìm k thấy, bạn xem ở đây vậy

http://toan.hoctainh...nd-matrix-right