SỞ GDĐT TỈNH PHÚ THỌ                                     ĐỀ THI HSG LỚP 9 TỈNH PHÚ THỌ 

 

Câu 1:

a) Giải phương trình nghiệm nguyên $x^2+5y^2-4xy+4x-8y-12=0$

b) Cho $p(x)=x^3-3x^2+14x-2$. Tìm các số tự nhiên $x< 100$ sao cho $p(x)\vdots 11$

Câu 2

a) Tính giá trị biểu thức $P=\frac{a^3-3a+2}{a^3-4a^2+5a-2}$ với $a=\sqrt[3]{55+\sqrt{3024}}+\sqrt[3]{55-\sqrt{3024}}$

b) Cho $x,y,z$ là các số thực đôi một khác nhau thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} x^3=3x-1\\ y^3=3y-1\\ z^3=3z-1 \end{matrix}\right.$.

Tính $x^2+y^2+z^2$

Câu 3.

a) Giải phương trình : $3x-1+\frac{x-1}{4x}=\sqrt{3x+1}$

b) GHPT : $\left\{\begin{matrix} 3x^2+2y^2+x+8y-4-4xy=0\\ x^2-y^2+2x+y-3=0 \end{matrix}\right.$

Câu 4.

Cho đường tròn $(O;R)$ và dây cung $BC$ không đi qua tâm. Gọi $A$ là điểm chính giữa cung nhỏ $BC$. Gọi nội tiếp $\angle EAF$ quay quanh $A$ và cố định, sao cho $E,F$ nằm khác phía với $A$ so với $BC$, $AF,AE$ cắt $BC$ tại $M,N$. Lấy điểm $D$ sao cho tứ giác $MNED$ là hình bình hành.

a) Chứng minh : $MNEF$ là tứ giác nội tiếp

b) Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta MDF$. Chứng minh : $I$ luôn thuộc 1 đường thẳng cố định khi góc nội tiếp $\angle EAF$ quay quanh $A$.

c) Tìm min của $OI$ khi $\angle EAF=60^{\circ},BC=R$

Câu 5. Cho $x,y,z>0,x+y+z=3$ Chứng minh rằng :

 $\sum \frac{x^2+y^2+2z^2}{4-xy}\geq 4xyz$

P/s: Thánh nào siêu thỳ làm ngay cho mk câu hình cái. Trâu wa   

 

câu 2b:

trừ mỗi biểu thức cho nhau => (x-y)(x²+xy+y²)=0. do x khác y =>x²+xy+y²=0 (1). làm 2 cái tương tự, đặt là (2); (3) trừ tiếp 2 trong 3 biểu thức rồi biến đổi suy ra x+y+z=0. 

Cộng theo vế (1);(2); (3):

2(x²+y²+z²)+ xy+ yz+ zx=9

=>$\frac{3}{2}$ (x²+y²+z²)=9 => đpcm

Mọi người làm giúp mình vài bài này nha. Cảm ơn mọi người!

Câu 6: cho a, b, c là các số nguyên dương và nguyên tố cùng nhau từng đôi một và thoả mãn điều kiện
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}$. Chứng Minh rằng a+b là một số chính phương.
 

ab-ac-bc=0 => (a-c)(b-c)=c².

Đặt (a-c;b-c)=d =>  => c chia hết cho d => a và b cùng chia hết cho d

(a;b)=(b;c)=(c;a)=1 => d=1 =>

 a-c=x²; b-c=y²; xy=c

( với x;y nguyên dương)

=>a+b= (x+y)²       (đpcm)

$\sqrt{a^{2}+(2^{a-3}+2^{-a-1})^{2}}+\sqrt{a^{4}+2a^{2}+2}=\sqrt{(a^{2}+a+1)^{2}+(1+2^{a-3}+2^{-a-1})^{2}}$

Thế thì $a+b=c(x^{2}+y^{2})=xy(x^{2}+y^{2})$ mới đúng chứ

x+y=2c+x²+y²=(x+y)² mà

 

Câu 4(5 điểm) cho đường tròn tâm O đường kính AB cố định. Gọi Ax và Ay là hai tia thay đổi luôn tạo với nhau góc 60^o và nằm về 2 phía của AB cắt đường tròn (O) lần lượt tai M;N.Đường thẳng BN cắt Ax ở E, đường thẳng BM cắt Ay ở F. Gọi K là trung điểm EF

1. Chứng minh rằng $\frac{EF}{AB}= \sqrt{3}$

2. Chứng minh OMKN nội tiếp

3.Khi tam giác AMN đều gọi C là điểm di động trên cung nhỏ AN .Đường thẳng qua M vuông góc vói AC cắt NC ở D. Xác định vị trí điểm C để diện tích MCD lớn nhất

                                                                   

xin lỗi vì không vẽ hình được, mọi người thông cảm

$\angle EMF=\angle ENF=90^{\circ}$

Suy ra MNFE nội tiếp.

=> $\angle MEF=\angle ANM=\angle ABM$

=> $\Delta AMB\sim \Delta FME$           (1)

=> $\frac{EF}{AB}=\frac{MF}{AM}$

tam giác vuông AME có góc MAF=60 => $\frac{EF}{AB}=\frac{MF}{AM}=\sqrt{3}$

b) Từ (1) => $\Delta KMF\sim \Delta OAM$

=> $\widehat{KMO}=\widehat{BMA}=90^{\circ}$

Cm tương tự => $\widehat{KMO}=\widehat{KNO}=90^{\circ}$

=> OMKN nội tiếp

Cho $f(x)= ax²+bx+c>0$ với mọi $x$. $a,b,c$ là các số nguyên dương, $b$ khác $1$

Cm bất đẳng thức:

$\frac{2250a+1340b+4ac+2b+1}{b}\geq 2014$

@Viet Hoang 99: Chú ý tiêu đề

$x^{2}\vdots 5$ =>$x\vdots 5$ =>$x^{2}\vdots 25$ 

 $x^{2}\leq 72$ => $x^{2}=25$

Giải phương trình:

$(x^{2}+9)(x^{2}+9x)=22(x-1)^{2}$

-Nếu A thỏa mãn a và b thì A chia hết cho 125 => A ko thể có 2 chữ số. (loại)

-Nếu A thỏa mãn a và c thì A+7 chia 5 dư 2 ko là số chính phương (loại)

-Nếu A thỏa mãn a và d thì A-20 là số chính phương có tận cùng là 5 => A-20=25 => A=45

-Nếu A thỏa mãn b và c thì A+7 chia hết cho 7

=> A+7 chia hết cho 49 => A=42

-Nếu A thỏa mãn b và d thì A-20 là số chính phương chia 21 dư 1

=> A-20=64 => A=84

-Nếu A thỏa mãn c và d thì đặt A+7=x²; A-20=y²

=> x²-y²=27. đến đây giải pt ước số

A là bội của 5 nên $A$ tận cùng là 5 hoặc 0 $\Rightarrow A+7$ tận cùng là 2 hoặc 7 vô lý và $A+7$ là số chính phương

thế còn các trường hợp kia, đọc lại đề đi

$x^{2}+9\geq 6x

y^{2}+4\geq 4y$

=> $x^{2}+y^{2}+13\geq 2(3x+2y)$

=> $x^{2}+y^{2}\geq 13$

Dấu = khi x=3;y=2

Cho a;b;c là số nguyên thỏa mãn: ab+ bc+ ca= 1.

CMR: $(1+a^{2})(1+b^{2})(1+c^{2})$ là số chính phương

1+a²=ab+bc+ca+a²=(a+b)(a+c)

Hai cái sau tương tự 

Cho: x,y thỏa mãn $3x+2y=13$ tìm min $x^2+y^2$

 

CHo $x^3+y^3+z^3=3xyz$ tính : $\frac{xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)}$

Phân tích thành nhân tử: x³+y³+z³=3xyz

=> (x+y+z)(x²+y²+z²-xy-yz-xz)=0

*Nếu x+y+z=0 thì x+y=-z; y+z=-x; x+z=-y

=> Bt đã cho bằng -1

*Nếu x²+y²+z²-xy-yz-xz=0

=>(x-y)²+(y-z)²+(z-x)²=0 =>. x=y=z

=> Bt đã cho bằng 1/8

cho x là số tự nhiên chẵn khác 0

1. Tìm số dư S(x)=6^x+2008 khi chia cho 1260

2. Tồn tại hay không số tự nhiên x có dạng x=12ⁿ (n là số nguyên dương) sao cho S(x) chia hết cho 2009

Nhân 2 pt đầu rồi cộng lạI

=> 2x(m+1)=5

=> pt có nghiệm duy nhất khi m khác -1

Hơi tắt tí

$\left\{\begin{matrix} mx +2y=1 & \\ 2x -4y= 3 & \end{matrix}\right.$

Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Nhân 2 pt đầu rồi cộng lạI

=> 2x(m+1)=5

=> pt có nghiệm duy nhất khi m khác -1

Hơi tắt tí 

Nếu x và y đều ko chia hết cho 3 

x²;y² chia cho 3 dư 1 => x²+y² ko chia hết cho 3 (trái giả thiết)

=> x và y đều chia hết cho 3 => xy chia hết cho 9

giải các phương trình sau :

$x^{2} + \sqrt{x + 2004} = 2004$

 

Ta có:

$x^{2}+x+\frac{1}{4}=x+2004+\sqrt{x+2004}+\frac{1}{4}$

=> $\left ( x+\frac{1}{2} \right )^{2}=\left ( \sqrt{x+2004}+\frac{1}{2} \right )^{2}$

Tới đây xét các trường hợp là xong

Toán chung

 

1)cho $ab+bc+ac=3$ và a,b,c là các số dương. c/m $a^3+b^3+c^3\geq 3$

 

$\left\{\begin{matrix} a^{2}+b^{2}\geq 2ab\\ b^{2}+c^{2}\geq 2bc\\ c^{2}+a^{2}\geq 2ca\\ \end{matrix}\right.$

=> $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca=3$

$a^{3}+b^{3}+c^{3}=(a+b+c)^{3}-3(a+b)(b+c)(c+a)\geq27 -3.(\frac{a+b+b+c+c+a}{3})^{3}\geq 3$

=> đpcm. Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1

Rút gọn biểu thức:

$\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{4^{2}}+\frac{1}{6^{2}}...+\frac{1}{2n^{2}}$

Chứng minh biểu thức luôn bé hơn $\frac{1}{2}$ với mọi n nguyên dương 

chỗ này theo mình  là (2n)² chứ nhỉ

2b: $x^{2}+x+3=3\sqrt{x^{2}+x+1}$

Đặt $\sqrt{x^{2}+x+1}=y$        với    $y\geq \frac{1}{2}$

tới đây giải pt y²-3y+2=0

giải phương trình;

$\sqrt[6]{6x-5}=\frac{x^{7}}{8x^{2}-10x+3}$

 

cach hay hon ( bài 2 thì đọc thêm về dạng toán bất biến là làm được)

 

bạn làm đc thì post cho mình tham khảo với

Cái món này ngược dấu rồi bạn ơi

ơ mình thấy đúng r mà

$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca$

=> $\left ( a+b+c \right )^{2}\geq 3(ab+bc+ca)=9$

=> $a+b+c\geq 3$

Mấy câu được rồi bỏ nghen   : 
CM: 
d/ $(4^{2n}-3^{2n} -7)  \vdots 168 $ với $n\epsilon N , n\geq 1$
Câu e sai đề !!!!

biểu thức đã cho: 16ⁿ-9ⁿ-7

168=3.7.8

Tới đây xét chia hết thì dễ r