cái này mò thôi

Nhưng phải có cơ sở thì mới mò được chứ bạn?

Bài 1:

Chứng minh tồn tại vô hạn các số $n\in \mathbb{N}^*$ sao cho:

$2^n+1\vdots n$

Bài 2:

Chứng minh rằng luôn tìm được một số tự nhiên gồm $2014$ chữ số $1$ và $2$ sao cho số đó chia hết cho $2^{2014}$.

BÀi 1

Gợi ý: CM quy nạp $n=3^{k}$ thỏa mãn đề bài

 

Bạn ơi làm sao tìm được $n=3^k$ vậy?

Cho đa thức $P(x)$ với hệ số thực và $P(x)$ có bậc $6$ thoả mãn:$P(1)=P(-1),P(2)=P(-2),P(3)=P(-3)$. Chứng minh:$\forall x\epsilon \mathbb{R}$ thì $P(x)=P(-x)$

Cho $a,b,c>0$ thoả mãn $a+b+c=3$. Chứng minh:

$a\sqrt{b^3+1}+b\sqrt{c^3+1}+c\sqrt{a^3+1}\leq 5$

bạn xem lại đề cái khi thay $a=b=c=\frac{1}{4}$ vào cả hai bài đều không đúng

 

U-Th

Mình sửa lại đề bài rồi

Bài 1:

Cho $a,b,c>0$ và $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leq 16(a+b+c)$. Chứng minh:

$\frac{1}{(a+b+2\sqrt{a+c})^3}+\frac{1}{(b+c+2\sqrt{b+a})^3}+\frac{1}{(c+a+2\sqrt{c+b})^3}\leq \frac{8}{9}$

Bài 2:

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=(a+b+c)$. Chứng minh:

$5(a+b+c)\geq 7+8abc$

Cho $a,b,c>0$ thoả mãn $a+b+c=3$. Tìm max:

$P=\frac{2}{3+ab+bc+ca}+\sqrt[3]{\frac{abc}{(1+a)(1+b)(1+c)}}$

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{2x^2-6xy+5y^2}+\sqrt{2x^2+2xy+13y^2} &=2(x+y) \\ (x+2y)\sqrt{x+2}-4y^2\sqrt{y} &=8y^4\sqrt{y}-2\sqrt{x+2} \end{matrix}\right.$

Bài 1:

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh:

$\frac{a^2+1}{4b^2}+\frac{b^2+1}{4c^2}+\frac{c^2+1}{4a^2}\geq \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}$

Bài 2:

Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x+y+z=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

$P=x\sqrt{\frac{x}{y+3}}+y\sqrt{\frac{y}{z+3}}+z\sqrt{\frac{z}{x+3}}$

$\sqrt{2x^2-6xy+5y^2}+\sqrt{2x^2+2xy+13y^2}=2(x+y)$

 

$\rightarrow x+y >0$

 

$\rightarrow \sqrt{2x^2-6xy+5y^2}=2(x+y)-\sqrt{2x^2+2xy+13y^2}$

 

$\rightarrow 2x^2-6xy+5y^2=[2(x+y)-\sqrt{2x^2+2xy+13y^2}]^2$
 

$\rightarrow (x+y)\sqrt{2x^2+2xy+13y^2}=x^2+4xy+3y^2$

 

$\rightarrow (x+y)\sqrt{2x^2+2xy+13y^2}=(x+y)(x+3y)$

 

$\rightarrow \sqrt{2x^2+2xy+13y^2}=x+3y$ (do $x+y>0$)

 

$\rightarrow x^2-4xy+4y^2=0$

 

$\iff (x-2y)^2=0$

 

$\iff x=2y$

 

Đến đây bạn thay xuống pt (2)...

Thực ra PT (1) mình làm được rồi. Chỉ còn đoạn thay vào PT (2) là mình chưa làm được . Bạn có thể giải thích rõ hơn được không?

$\sqrt[3]{x^2-1}+x=\sqrt{x^3-1}=y$. ĐK: y >(=) 0

Suy ra hpt:

$y^2=x^3-1$ và $y^3-3y^2x+3yx^2-x^3=x^2-1$

Giải hệ này là xong

Làm thế nào để giải tiếp hệ đó hả bạn?

Giải phương trình:

$\sqrt[3]{x^2-1}+x=\sqrt{x^3-1}$

 

Bổ đề:Cho tam giác ABC có H, O, G lần lượt là trực tâm, tâm đ tròn ngoại tiếp, trọng tâm.Cm G nằm giữa O, H và $\frac{HO}{HG} =\frac{3}{2}$

cm bổ đề:kẻ đường kính AD của (O), ta có BD$\perp$AB, mà CH$\perp$AB =>BD//CH

tương tự, CD//BH

=>BHCD là hình bình hành =>BC và HD cắt nhau tại M là trung điểm của mỗi đường =>OM là đ trung bình của DAH =>OM//AH và $\frac{OM}{AH}=\frac{1}{2}$

ta có$\frac{GM}{GA} =\frac{1}{2} =\frac{OM}{AH}$ 

mà $\widehat{GMO} =\widehat{GAH}$ 

=>$\triangle GMO\sim\triangle GAH$ =>$\frac{GH}{GO} =2$ và $\widehat{OGM} =\widehat{HGA}$ =>G nằm giữa H, O và $\frac{HO}{HG} =\frac{3}{2}$

 

cm:$\triangle AEF$ vuông tại A có đ cao AB =>$BE.BF =AB^2$

=>$BP.BQ =\frac{1}{4}$.BE.BF =$\frac{AB^2}{4}$

$\triangle ABF\sim\triangle EBA =>\frac{BF}{BA} =\frac{BA}{BE}$

<=>$\frac{2.BQ}{2.BO} =\frac{BA}{BE} =\frac{BQ}{BO} <=>\frac{BO}{BE} =\frac{BQ}{BA}$

gọi H trung điểm OB =>PH là đ trung bình OBE =>$\frac{BO}{BE} =\frac{2.BH}{2.BP} =\frac{BH}{BP}$

=>$\frac{BQ}{BA} =\frac{BH}{BP}<=>\frac{BQ}{BH} =\frac{BA}{BP}$ (1)

mà $\widehat{QBA} =\widehat{HBP} =90^o$

=>$\triangle QBA\sim\triangle HBP $ =>$\widehat{QAB} =\widehat{HPB}$ 

mà $\widehat{QAB} +\widehat{AQB} =90^o =>\widehat{HPQ} +\widehat{AQB}=90^o =>PH\perp AQ$ =>H là trực tâm $\triangle APQ$ 

(1)=>BH.BA =BP.BQ =$\frac{AB^2}{4}$ =>BH =$\frac{AB}{4}$ =>H là điểm cố định

kéo dài AG cắt d tại M, ta có $\frac{AG}{AM}=\frac{2}{3}$ (2)

trên đoạn AB lấy N sao cho $\frac{AN}{AB} =\frac{2}{3}$ (3) =>N là điểm cố định

(2, 3)=>NG //d =>G luôn di chuyển trên đ thẳng $d_1$ cố định qua N và //d

qua O kẻ đ thẳng $d_2$ //d cắt AB tại P =>$d_2//d_1$ =>$\frac{HP}{HN} =\frac{HO}{HG} =\frac{3}{2}$ (theo bổ đề)

=>$HP =\frac{3}{2}.HN$, mà H, N cố định =>HN không đổi =>HP không đổi =>P cố định =>$d_2$ cố định=>vậy O luôn di chuyển trên $d_2$ //d và qua P

 

2 cái dòng đỏ là thế nào hả bạn: điểm G ở đâu? O thuộc đoạn AB sao lại kẻ // AB?

Cho $a,b,c>0$ thoả mãn $abc$=1. Chứng minh:

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq a+b+c$

Cho $x,y,z\in \left [ 0;2 \right ]$ thỏa mãn $x+y+z=3$. Tìm giá trị lớn nhất:

$P=\sum \frac{1}{x^2+y^2+2}+\sum \sqrt{xy}$

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} (x^2+x)\sqrt{x-y+3} &= &2x^2+x+y+1 \\ y^2+2y &= &(2x-1)(4x^2-12y-1)(\sqrt{y+2}-2)+8 \end{matrix}\right.$

ĐKXĐ: $\left\{\begin{matrix} x-y+3\geqslant 0& & \\ & & \\ y+2\geqslant 0 & & \end{matrix}\right.$=>$\left\{\begin{matrix} x\geqslant -5 & & \\ y\geqslant -2 & & \end{matrix}\right.$

Từ pt (1) ta được

$(x^{2}+x)\sqrt{x-y+3}=2(x^{2}+x)-(x-y+3)+4$(*)

Đặt a=x²+x, b=$\sqrt{x-y+3}$

(*)<=>(b-2)(a+b+2)=0 =>b=2 hoặc a+b+2=0

TH1:b=2=>x=y+1.Thay vào (2) được

$x^{2}-9=(2x+1)(4x^{2}-12x+11)(\sqrt{x+1}-2)$

<=>$(x-3)(x+3)=(2x-1)(4x^{2}-12x+11)(\sqrt{x+1}-2)$

Ta thấy x-3=(x+1)-4=$(\sqrt{x+1}-2)(\sqrt{x+1}+2)$

=>$(\sqrt{x+1}-2)\left \{(\sqrt{x+1}+2)(x+3)-(2x-1)(4x^{2}-12x+11)\right \}=0$

Sau đó đặt $\sqrt{x+1}$=c tìm được nghiệm 

TH2 tương tự

Bạn có thể giải TH2 và đoạn cuối TH1 được không? Mình thấy nghiệm lẻ lắm.

Giải hệ phương trình sau:

$\left\{\begin{matrix} \frac{3x}{x+1}+\frac{4y}{y+1}+\frac{2z}{z+1} &=1 \\ 8^9x^3y^4z^2 &=1 \end{matrix}\right.$

Bài1:

Cho $x,y\in \mathbb{R}$ thoả mãn $x+y=26\sqrt{x-3}+3\sqrt{y-2013}+2016$. Tìm min, max:

$M=(x-1)^2+(y-1)^2+\frac{2016+2xy\sqrt{x+y+1}}{\sqrt{x+y+1}}$

Bài 2:

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $\frac{4a}{b}(1+\frac{2c}{b})+\frac{b}{a}(1+\frac{c}{a})=6$. Tìm min:

$P=\frac{bc}{a(b+2c)}+\frac{2ca}{b(c+a)}+\frac{2ab}{c(2a+b)}$

Ta có : $$\left\{\begin{matrix} \frac{3x}{x+1}+\frac{4y}{y+1}+\frac{2z}{z+1} =1 (1)\\ 8^9x^3y^4z^2 =1 (2)\end{matrix}\right.$$

Áp dụng BĐT AM-GM 8 số :

$$1-\frac{x}{x+1}=\frac{2x}{x+1}+\frac{4y}{y+1}+\frac{2z}{z+1}\Rightarrow \frac{1}{x+1}\geq 8\sqrt[8]{\frac{x^2y^4z^2}{(x+1)^2(y+1)^4(z+1)^2}}$$

Tương tự : $\Rightarrow \frac{1}{z+1}\geq 8\sqrt[8]{\frac{x^3y^4z}{(x+1)^3(y+1)^4(z+1)}}$

$$\frac{1}{y+1}\geq 8\sqrt[8]{\frac{x^3y^3z^2}{(x+1)^3(y+1)^3(z+1)^2}}$$

$$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \left (\frac{1}{x+1} \right )^3\geq 8^3\sqrt[8]{\frac{x^2y^4z^2}{(x+1)^2(y+1)^4(z+1)^2}}^3\\ \left (\frac{1}{z+1} \right )^2\geq 8^2\sqrt[8]{\frac{x^3y^4z}{(x+1)^3(y+1)^4(z+1)}}^2\\ \frac{1}{y+1}^4\geq 8^4\sqrt[8]{\frac{x^3y^3z^2}{(x+1)^3(y+1)^3(z+1)^2}}^4 \end{matrix}\right.\Rightarrow 1\geq 8^9x^3y^4z^2$$

Dấu = xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{8}$

Bạn ơi, AM-GM thì các số phải không âm nhưng đề bài chưa cho $x,y,z>0$

Cho các số thực $x,y,z$ thoả mãn:

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+2011}+\sqrt{y+2012}+\sqrt{z+2013} &=\sqrt{y+2011}+\sqrt{z+2012}+\sqrt{x+2013} \\ \sqrt{y+2011}+\sqrt{z+2012}+\sqrt{x+2013}&=\sqrt{z+2011}+\sqrt{x+2012}+\sqrt{y+2013} \end{matrix}\right.$

Chứng minh: $x=y=z$

                                                       (Trích đề tuyển sinh ĐHSP Hà Nội năm 2013-2014)

Cho $a,b,c$ đôi một phân biệt và $a,b,c\in [0,2]$. Chứng minh:

$\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}\geq \frac{9}{4}$

Bài 1:

Tìm số tự nhiên $n$ có dạng $n=2^p.3^q$ sao cho $n+25$ là số chính phương.

Bài 2:

Cho dãy gồm 101 số nguyên dương: $a_1< a_2< a_3< ....< a_1_0_1< 5050$

Chứng minh rằng trong dãy trên tồn tại 4 số sao cho: $a_k+a_l-a_m-a_n\vdots 5050$

Chứng minh rằng tồn tại vô số các số $n\in \mathbb{N}^*$ sao cho:

$a^n-1\vdots n$ với $a\in \mathbb{N}^*,a>2$ cho trước.