Cho điểm C thuộc nửa đường tròn đường kính AB. H là hình chiếu của C trên AB. Các điểm D,E thuộc nửa đường tròn đó sao cho HC là phân giác $\measuredangle DHE$. CMR $HC^{2}$= HD.HE

Tìm a,b,c là các số nguyên tố đôi một khác nhau sao cho: 20abc<30(ab+bc+ca)<21abc

B13, Cho $\sum \frac{8-x^{4}}{16+x^{4}}$$\geq 0$

Tìm Max-MinA=xyz

B14, Cho a,b,c>0

                $\sum a^{2}=4\sqrt{abc}$

CMR : a+b+c$\geq \frac{9}{4}\sqrt{abc}$ 

Ai làm được thì giúp nhe

B1 , Cho x,y,z>0 và  x+y$\leq$z

Tìm MinA=$\sum x^{4}.\sum \frac{1}{x^{4}}$

B2,Cho x,y,z>0 và x+y+z=1

Tìm MinA=$\sum \frac{x^{4}}{\left ( x^{2}+ y^{2} \right)\left ( x+  y\right)}$

B3,Cho a,b,c>0 và thỏa mãn : $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=2$

Tìm MaxP=abc

B4,Cho 0<a,b,c<1 và thỏa mãn :ab+bc+ca=1

Tìm MaxP=$\frac{a^{2}\left ( 1-2b \right )}{b}+ \frac{b^{2}\left ( 1-2c \right )}{c}+\frac{c^{2}\left ( 1-2a \right )}{a}$.

B5,Cho a,b,c>0 và thỏa mãn  $a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}=\frac{4}{3}$

Tìm MinB=a+b+c

B6, Cho x,y,z>0 và thỏa mãn   x+y+z=1

Tìm MinP=$\left ( x+2y+3z \right )\left ( 6x+3y+2z \right )$

B7, Cho a,b,c>0 và thỏa mãn  a+b+c=1

Tìm MinA=$\frac{9}{1-2\left ( ab+bc+ca \right )}+\frac{2}{abc}$

B8,Cho x,y,z>0 và thỏa mãn x+y+z=3

Tìm MinA= $\frac{x^{2}}{x+y^{2}}+\frac{y^{2}}{y+z^{2}}+\frac{z^{2}}{z+x^{2}}$

B9, Cho x,y,z>0 và thỏa mãn $2\sqrt{xy}+\sqrt{xz}=1$

Tìm MinA= $\frac{3yz}{x}+\frac{4zx}{y}+\frac{5xy}{z}$

B10,Cho 0<x,y,z<1 và thỏa mãn xy+yz+zx+xyz=1

Tìm MaxP=$\sqrt{1-x^{2}}+\sqrt{1-y^{2}}+\sqrt{1-z^{2}}$

B11, Cho a,b,c>1

CMR: $\frac{a}{\sqrt{b}-1}+\frac{b}{\sqrt{c}-1}+\frac{c}{\sqrt{a}-1}$$\geq 12$

B12, Cho x,y,z>0 và x+y+z=3

Tìm MinP= $\frac{x^{2}+yz}{xz+y}+\frac{y^{2}+zx}{xy+z}+\frac{z^{2}+xy}{yz+x}$

@MOD : Những bài toán có chung chủ để bạn nên gộp lại làm một , không nên đăng nhiều bài cùng chủ đề trong cùng một khoảng thời gian như thế nhé 

vâng em cảm ơn ạ

Tại sao bài này em bị 1 điểm nhắc nhở rồi lại hủy là sao ạ? Ở đây ạ: http://diendantoanho...ht-3geq-frac94/

Mong nhận được trả lời sớm ạ

Nhưng lí do gì hủy điểm nhắc nhở ạ?

Cho x+y+z=3

       x,y,z>0

Tìm MinA=$\sum \sqrt{\frac{\left ( 3-x) \right (3-y)}{z}}$

Câu 4.

a.Dễ thấy $\widehat{HMP}=\widehat{NMB}\Rightarrow \Delta MHP=\Delta MNB\Rightarrow MN=MH$

  $\Delta MHN$ cân tại $M$ nên $MI$ là đường trung trực của $HN \Rightarrow \Delta HGN$ cân ở $G$, $\Delta HJN$ cân ở $J$ 

 dễ thấy$HJ\parallel GN\Rightarrow \widehat{JHN}=\widehat{HNG}\Rightarrow \widehat{JNH}=\widehat{NHG}\Rightarrow HG\parallel JN\Rightarrow HGNJ$ là hình bình hành 

Mặt khác $HN\perp BJ\Rightarrow HGNJ$ là hình thoi

b.Dễ thấy $\widehat{AKM}=\widehat{BKM}=45^{\circ}\Rightarrow \widehat{AKB}=90^{\circ}\Rightarrow$ quỹ tích điểm $K$ là nửa cung tròn đường kính $AB$ (khác A,B)

Kẻ $O_1F_1,O_2F_2,I'F'\perp AB\Rightarrow I'F'=\frac{O_1F_1+O_2F_2}{2}=\frac{AB}{4}\Rightarrow$ quỹ tích điểm $I'$ là nửa cung tròn $(F';\frac{AB}{4})$

điểm F' đã cố định chưa bạn

Bài 2:

 

$3P=\sum \frac{3\sqrt{ab}}{c+3\sqrt{ab}}=\sum (1-\frac{c}{c+3\sqrt{ab}})=3-\sum \frac{c}{c+3\sqrt{ab}}$

 

Áp dụng Cauchy Shwarz có

 

$\sum \frac{c}{c+3\sqrt{ab}}\geqslant \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2}{\sum a+3\sum\sqrt{ab} }\geqslant \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2}{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2+\sum \sqrt{ab}}$

 

$\geqslant \frac{3}{4}\Rightarrow 3P\leqslant \frac{9}{4}\rightarrow P\leqslant \frac{3}{4}$

 

Bài 4: Có vấn đề gì không nhỉ (xem lại  biến $y$ dưới mẫu xem sao)

Bài 4 ko có vấn đề gì đâu ạ. Chính xác 100% đấy ạ.

B1, Cho a,b,c>0 và a+b+c=6

Tìm MinP=$\frac{b+c+5}{a+1}+\frac{c+a+4}{b+2}+\frac{a+b+3}{c+3}$

B2, Cho a,b,c>0

Tìm MaxP=$\sum \frac{\sqrt{ab}}{c+3\sqrt{ab}}$

B3, Cho x,y,z,t>0

       x+y+z+t=2

Tìm MinP=$\frac{(x+y+z)\left ( x+y \right )}{xyzt}$

B4, Cho x,y,z>0 và xy+yz+zx=1

Tìm MinP=$\sum \frac{x}{\sqrt{3}y+yz}$

Cho x,y,z là các số dương chứng minh:

$\sum \sqrt[3]{4(x^4+y^4)}+\sum (\frac{x}{y^2})\geq 12$

Đề bài là $x^{4}+y^{4}$ hay là $x^{3}+y^{3}$ thế bạn?

Cho $a^{3}+b^{3}+c^{3}= 1$

CMR: $\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{ab\left ( a+b \right )^{3}}\geq \frac{9}{4}$

dấu - thì kệ chứ bạn rõ ràng sai dấu mà

Ừ mình sửa lại rồi cảm ơn bạn nhé  

 Cho$x^{3}+y^{3}+3\left ( x^{2}+y^{2} \right )+4\left ( x+y \right )+4=0$ và $xy>0$

  Tìm $MaxA=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$

ngược dấu kìa bạn

mà ct là $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}$ sao lại $\leq$

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}$ sao lại $\leq$. Ở đây có dấu trừ ở trước mà bạn.

cho a,b,c >0 và $\sum a^{2}=3$ 

CM $\sum \frac{a}{a^{2}+2b+3} <=\frac{1}{2}$

Ta có: $a^{2}+1\geq 2a; b^{2}+1\geq 2b; c^{2}+1\geq 2c$

suy ra $\sum \frac{a}{a^{2}+2b+3}\leq \sum \frac{1}{2}\left ( \sum \frac{a}{a+b+1} \right )$

CM $\sum \frac{a}{a+b+1}\leq 1$

Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schawars ta có: 

$\sum \frac{b+1}{a+b+1}=\sum \frac{\left ( b+1 \right )^{2}}{\left ( b+1 \right )\left ( a+b+1 \right )}\geq \frac{\left ( a+b+c+3 \right )^{2}}{\sum \left ( b+1 \right )\left ( a+b+1 \right )}$

Mà $\sum a^{2}=3$ nên ta có: $\sum \left ( b+1 \right )\left ( a+b+1 \right )= 3\left ( a+b+c \right )+\sum ab+\sum a^{2}+3= \frac{1}{2}\left ( a+b+c+3 \right )^{2}$ 

suy ra: $\sum \frac{b+1}{a+b+1}\geq 2$ suy ra đpcm

cho a,b,c >0 và $\sum a^{2}=3$ 

CM $\sum \frac{a}{a^{2}+2b+3} <=\frac{1}{2}$

Ta có: $a^{2}+1\geq 2a; b^{2}+1\geq 2b; c^{2}+1\geq 2c$

suy ra $\sum \frac{a}{a^{2}+2b+3}\leq \sum \frac{1}{2}\left ( \sum \frac{a}{a+b+1} \right )$

CM $\sum \frac{a}{a+b+1}\leq 1$

Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schawars ta có: 

$\sum \frac{b+1}{a+b+1}=\sum \frac{\left ( b+1 \right )^{2}}{\left ( b+1 \right )\left ( a+b+1 \right )}\geq \frac{\left ( a+b+c+3 \right )^{2}}{\sum \left ( b+1 \right )\left ( a+b+1 \right )}$

Mà $\sum a^{2}=3$ nên ta có: $\sum \left ( b+1 \right )\left ( a+b+1 \right )= 3\left ( a+b+c \right )+\sum ab+\sum a^{2}+3= \frac{1}{2}\left ( a+b+c+3 \right )^{2}$ 

suy ra: $\sum \frac{b+1}{a+b+1}\geq 2$ suy ra đpcm

Cho tam giác $ABC$ có $BC=a, CA=b, AB=c$. Gọi ${l_a},{l_b},{l_c}$ lần lượt là độ dài $3$ đường phân giác, Chứng minh rằng

$a)$ $\sum {{1 \over {{l_a}}}}  \ge \sum {{1 \over a}} $

 

Từ đây, mình nghĩ ra bài toán sau

$b)$ $\sum {{1 \over {{l_a}}}}  \ge {2 \over {\sqrt 3 }}\sum {{1 \over a}} $

 

Và mình cũng không biết có tồn tại BĐT sau không

$c)$ $\sum {{1 \over {{l_a}}}}  \ge \sum {{1 \over {{m_a}}}}  \ge {2 \over {\sqrt 3 }}\sum {{1 \over a}} $

Ý a nhá.

Gọi AD là phân giác góc A. Kẻ CH song song AD.

Mình nghĩ có thể b và c không có đâu 

Áp dụng BĐT là $a^3+b^3\geqslant ab(a+b)$ suy ra $4(a^3+b^3)\geqslant a^3+b^3+3abc(a+b)=(a+b)^3$

 

Do đó áp dụng BĐT $AM-GM$ có

 

$P\geqslant 2(x+y+z+\frac{x}{y^2}+\frac{y}{z^2}+\frac{z}{x^2})\geqslant 2.6\sqrt[6]{1}=12$

 

Dấu $=$ khi $a=b=c=1$

phải là a^3+b^3+3ab(a+b)=(a+b)^3$ chứ ạ?

Cho x,y,z>0

Tìm MinP=$\sum \sqrt[3]{4\left ( x^{3}+y^{3} \right )}+2\left ( \sum \frac{x}{y^{2}} \right )$

Cho x,y,z>0

       xy+yz+zx=1

Tìm MinP= $\sum \frac{x}{\sqrt{3}y+yz}$

Cho $a^{2}+b^{2}=4$

       c+d=4

Tìm MaxF=ac+bd+cd

Cho x,y,z>0

        $\frac{1}{x+1}+\frac{2}{2+y}+\frac{3}{3+z}=1$

Tìm MinP=xyz