cách này dùng cô-si này:

$b+c\leq \sqrt{2(b^{2}+c^{2})}$ ; $c+a\leq \sqrt{2(c^{2}+a^{2})}$ ; $a+b\leq \sqrt{2(a^{2}+b^{2})}$

$\rightarrow$ $\sum \frac{a^{2}}{b+c}\geq \sum \frac{a^{2}}{\sqrt{2(b^{2}+c^{2})}}$

Đặt $\sqrt{b^{2}+c^{^{2}}}=x$; $\sqrt{c^{2}+a^{2}}=y; \sqrt{a^{2}+b^{2}}=z$

$\rightarrow a^{2}=\frac{y^{2}+z^{2}-x^{2}}{2}; b^{2}=\frac{x^{2}+z^{2}-y^{2}}{2}; c^{2}=\frac{x^{^{2}}+y^{2}-z^{2}}{2}$

$\rightarrow \sum \frac{a^{2}}{b+c}\geq \frac{1}{2\sqrt{2}}.\left [ \right \sum (\frac{y^{2}+z^{2}}{x}+2x)-3.\sum x\left \right ]$

Có $\frac{y^{2}+z^{2}}{x}+2x\geq \frac{(y+z)^{2}}{2x}+2x\geq 2(y+z)$

Tương tự,...

$\rightarrow \sum \frac{a^{2}}{b+c}\geq \frac{1}{2\sqrt{2}}.(x+y+z)=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2011}{2}}$

1.Tìm số nguyên tố p sao cho $2\left ( p+1 \right )$ là lập phương của một số tự nhiên

2.Tìm các số nguyên tố a,b sao cho $\left ( a^{4}+b^{{4}} \right )$ chia hết cho $\left ( a+b \right )^{2}$

3.Tìm số nguyên tố p sao cho $2\left ( p+1 \right )$ và $2\left ( p^{2} +1\right )$ là các số chính phương

 Tìm chữ số tận cùng của S = $2^{1}+3^{5}+4^{9}+...+502^{2001}$

Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 9. Tìm min của $\sum \frac{a^{3}+b^{3}}{ab+9}$

Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $\left\{\begin{matrix}2^{x}-1=y^{z} & & \\x>1 & & \end{matrix}\right.$. Chứng minh rằng $z=1$

Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên chẵn và a>0 thì phương trình

$\left ( n+1 \right )x^{n+2}+3(n+2)x^{n+1}+a^{n+2}=0$ không có nghiệm thực.

1.Cm với x$\epsilon$N*

Xét n lẻ, chẵn đều có $n^{3}+n \vdots 2 \rightarrow n^{3}+n+2 \vdots 2$

  do $n^{3}+n+2>2\rightarrow n^{3}+n+2$ là hợp số

Bạn ơi $5^{4}\equiv 1$(mod5) à

Cho $a,b,c \epsilon Z$ sao cho $2a+b, 2b+c, 2c+a$ đều là các số chính phương

1.Chứng minh rằng ít nhất 1 trong 3 số nói trên chia hết cho 3

2.Chứng minh $\left ( a-b \right )\left ( b-c\right )\left ( c-a\right )\vdots 27$

1.P=$\frac{x^{2}}{y-1}+\frac{y^{2}}{x-1}\geq \frac{2xy}{\sqrt{x-1}.\sqrt{y-1}}$

$\sqrt{x-1}=\sqrt{1.(x-1)}\leq \frac{x}{2}; \sqrt{y-1}\leq \frac{y}{2}$

$\rightarrow P\geq \frac{2xy}{\frac{xy}{4}}=8$

dấu "=" xảy ra $\leftrightarrow x=y=2$

Ta có $P^{2}=$$a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{1}{a^{2}b^{2}c^{2}}+2(ab+ac+bc+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac})$

=$1+\frac{1}{a^{2}b^{2}c^{2}}+2[(9ab+\frac{1}{ab})+(9bc+\frac{1}{bc})+(9ac+\frac{1}{ac})-8(ab+bc+ca)]$

$1=a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 3\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}\Rightarrow a^{2}b^{2}c^{2}\leq \frac{1}{27}$

$9ab+\frac{1}{ab}\geq 6;9bc+\frac{1}{bc}\geq ;9ac+\frac{1}{ac}\geq 6$

$ab+bc+ca\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$

$\Rightarrow P^{2}\geq 1+27+2(6+6+6-8)=48\Rightarrow P\geq 4\sqrt{3}$

Min P =$4\sqrt{3}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{\sqrt{3}}{3}$

Bài 1. Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki:

$\left ( AB+\sqrt{3} AC\right )^{2}\leq \left ( 1+3 \right )\left ( AB^{2}+AC^{2} \right )=4BC^{2}\Rightarrow AB+\sqrt{3}AC\leq 2BC$

Dấu"=" xảy ra khi $\frac{AB}{AC}=\frac{1}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow \widehat{B}=60^{\circ}$

Giả sử $1\leq a\leq b\leq c\leq 2$

Khi đó $(1-\frac{a}{b})(1-\frac{b}{c})+(1-\frac{b}{a})(1-\frac{c}{b})\geq 0$

$\Leftrightarrow \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\leq 2+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}$

Mặt khác vì $1\leq a\leq c\leq 2\Rightarrow \frac{1}{2}\leq \frac{a}{c}\leq 2\Rightarrow (2-\frac{a}{c})(2-\frac{c}{a})\leq 0\Leftrightarrow \frac{a}{c}+\frac{c}{a}\leq 5$

$\Rightarrow (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=3+(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b})+(\frac{a}{c}+\frac{c}{a})\leq 3+2(\frac{a}{c}+\frac{c}{a})\leq 10$

Dấu "=" xảy ra khi hai trong ba số bằng 2, số kia bằng 1

Bđt cần chứng minh tương đương với $\frac{1+abc}{a(1+b)}+\frac{1+abc}{b(c+1)}+\frac{1+abc}{c(a+1)}\geq 3$

$\Leftrightarrow \frac{1+abc+a(1+b)}{a(b+1)}+\frac{1+abc+b(c+1)}{b(c+1)}+\frac{1+abc+c(1+a)}{c(a+1)}\geq 6$

$\Leftrightarrow [\frac{a+1+ab(c+1)}{a(b+1)}+\frac{b+1+bc(a+1)}{b(c+1)}+\frac{c+1+ca(b+1)}{c(a+1)}\geq 6$

$\Leftrightarrow [\frac{a+1}{a(b+1)}+\frac{a(b+1)}{a+1}]+[\frac{b+1}{b(c+1)}+\frac{b(c+1)}{b+1}]+[\frac{c+1}{c(a+1)}+\frac{c(a+1)}{c+1}]\geq 6$ (*)

Theo cô-si $\frac{a+1}{a(b+1)}+\frac{a(b+1)}{a+1}\geq 2$

    tương tự...

  $\Rightarrow (*)$ luôn đúng

 Dấu = xảy ra khi a=b=c=1

ĐK $x\geq 2$

pt $\Leftrightarrow 2(x-3)=3\sqrt{x-2}-\sqrt{x+6}=\frac{(3\sqrt{x-2}-\sqrt{x+6})(3\sqrt{x-2}+\sqrt{x+6})}{3\sqrt{x-2}+\sqrt{x+6}}=\frac{8(x-3)}{3\sqrt{x-2}+\sqrt{x+6}}$

$\Leftrightarrow (x-3)(\frac{8}{3\sqrt{x-2}+\sqrt{x+6}}-2)=0$

Th1: x=3 (t/m)

Th2: $3\sqrt{x-2}+\sqrt{x+6}=4$

Giải ra được $x=\frac{11-\sqrt{45}}{2}$

$xy+yz+zx=\frac{(x+y+z)^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}{2}=-1$

$x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz = (x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx)=14 \Rightarrow xyz=-2$

$xy+yz+zx=-1\Leftrightarrow x(x+y+z)-x^{2}-\frac{2}{x}+1=0\Leftrightarrow -x^{3}+2x^{2}+x-2=0 \Leftrightarrow x\epsilon {1;-1;2}$

$x=-1\Rightarrow \left\{\begin{matrix}y+z=3 & & \\ yz=2 & & \end{matrix}\right.$$\Rightarrow (y;z)=(1;2);(2;1)$

$x=1\Rightarrow \left\{\begin{matrix}y+z=1 & & \\yz=-2 & & \end{matrix}\right.$$\Rightarrow (y;z)=(2;-1);(-1;2)$

$x=2\Rightarrow \left\{\begin{matrix}y+z=0 & & \\ yz=-1 & & \end{matrix}\right.$$\Rightarrow (y;z)=(1;-1);(-1;1)$

Bạn ơi đề phải là MP chứ ko phải MO đâu bạn à

OMCN là tứ giác nội tiếp $\Rightarrow \widehat{OMP}=\widehat{OCB}$

OBNP là tứ giác nội tiếp$\Rightarrow \widehat{OBC}=\widehat{OPM}\Rightarrow \Delta OPM\sim \Delta OBC\Rightarrow \frac{OM}{OC}=\frac{MP}{a}(1)$

Tương tự $\frac{ON}{OC}=\frac{NQ}{b}=\frac{OM}{OC}(2)$

$\Delta OPQ\sim \Delta OBA\Rightarrow \frac{PQ}{c}=\frac{OQ}{AO}$

$\widehat{OAQ}=\widehat{OMQ}=\widehat{OCM}; \widehat{AQO}=\widehat{OMC}=90^{\circ}\Rightarrow \Delta AQO\sim \Delta OMC\Rightarrow \frac{OQ}{AO}=\frac{OM}{OC}=\frac{PQ}{c}(3)$

Từ (1),(2),(3) $\Rightarrow \frac{OM}{OC}=\frac{MP}{a}=\frac{NQ}{b}=\frac{PQ}{c}=\frac{MP+NQ+PQ}{a+b+c}$

Đặt AB=c,  AC=b, BC=a, AM=x, BN=y

$\widehat{AMI}=\widehat{AIB}=(90^{\circ}+\frac{\widehat{C}}{2}) $

$\Rightarrow \Delta AMI\sim \Delta AIB\Rightarrow \frac{AM}{AI}= \frac{AI}{AB}\Rightarrow AI^{2}= xc\Rightarrow AI^{2}.BC=xca$

Tương tự $IB^{2}.CA=ybc$

$\Delta AIM\sim \Delta IBN\Rightarrow \frac{x}{MI}= \frac{IN}{y}\Rightarrow xy=IM.IN=IM^{2}$

$IC^{2}= MC.NC-OM^{2}=(b-x)(a-y)-xy=ab-by-ax\Rightarrow IC^{2}.AB=c(ab-by-ax)$

$\Rightarrow AI^{2}.BC+BI^{2}.AC+CI^{2}.AB=xac+ybc+c(ab-by-ax)=abc=AB.BC.CA$

                                   ĐỀ THI KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN LỚP 9

                                                                         Thời gian : 150 phút

Bài 1. Cho biểu thức: $A= \frac{\sqrt{6+2\sqrt{5-\sqrt{13+\sqrt{48}}}}}{\sqrt{3}+1}$

       a. Rút gọn $A$.

       b. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $y^{2}-A=x(A+x)(A+x^{2})$

Bài 2.Giải hệ phương trình:$\left\{\begin{matrix}x(2\sqrt{y-1}-x)+y(2\sqrt{x-1}-y)=0 & & \\ x^{3}+y^{3}=16 & & \end{matrix}\right.$

Bài 3.

       a.Tìm số nguyên tố p sao cho $2(p+1), 2(p^{2}+1)$ đều là các số chính phương.

       b.Tìm các số tự nhiên $a,b $ $(0<a<9; 1<b<10)$  thỏa mãn  $\overline{aabb}=\overline{(a+1)(a+1)}.\overline{(b-1)(b-1)}$

Bài 4.Cho $\Delta ABC$ nhọn. Vẽ nửa đường tròn $(O)$ đường kính $BC$. Qua $A$ vẽ các tiếp tuyến $AP,AQ$ với $(O)$.($Q,B$ nằm cùng phía với $AO$). Gọi $H$ là trực tâm $\Delta ABC$. $M$ là giao của $PQ$ và $AO$ , $K$ là giao của $AH$ và $BC$ 

      a.Chứng minh $P,H,Q$ thẳng hàng 

      b.Chứng minh $AK,BQ,CP$ đồng quy.

Bài 5.Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $abc$. chứng minh rằng:

                      $a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq a\sqrt{b+c}+b\sqrt{a+c}+c\sqrt{a+b}$

Bài 6.Cho $\Delta ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Tia phân giác trong các góc $\widehat{A},\widehat{B},\widehat{C}$ cắt $(O)$ lần lượt tại $D,E,F$. Giả sử $M,N,P$ lần lượt là tâm đường tròn bàng tiếp trong các góc $\widehat{A},\widehat{B},\widehat{C}$

Chứng minh $S_{MNP}\geq 4S_{ABC}$.

Ta có $ab(a+b)\leq a^{3}+b^{3}; (a+b)^{2}\leq 2(a^{2}+b^{2})$

$\Rightarrow \frac{a^{2}+b^{2}}{ab(a+b)^{3}}\geq \frac{a^{2}+b^{2}}{2(a^{2}+b^{2})(a^{3}+b^{3})}=\frac{1}{2}.\frac{1}{a^{3}+b^{3}}$

$\Rightarrow \sum \frac{a^{2}+b^{2}}{ab(a+b)^{3}}\geq \frac{1}{2}.(\frac{1}{a^{3}+b^{3}}+\frac{1}{b^{3}+c^{3}}+\frac{1}{c^{3}+a^{3}})\geq \frac{1}{2}.\frac{9}{2(a^{3}+b^{3}+c^{3})}=\frac{9}{4}$

Bài 1 .Gọi giao tiếp tuyến song song $BC$ với $AB,AC$ là $M,N$

Gọi $S_{AMN}=S_{1}$, $h,h_{1}$ là đường cao $\Delta ABC,\Delta AMN$ kẻ từ A

$\Delta AMN\sim \Delta ABC\Rightarrow \frac{S_{1}}{S}=(\frac{h_{1}}{h})^{2}=(\frac{h-2R}{h})^{2}=(1-\frac{2R}{h})^{2}\Rightarrow \sqrt{\frac{S_{1}}{S}}=1-\frac{2R}{h}$

$2S_{ABC}=ah=2Rp$ ($p$ là nửa chu vi) $\Rightarrow 2R=\frac{ah}{p}\Rightarrow \sqrt{\frac{S_{1}}{S}}=1-\frac{a}{p}$

Tương tự,.... $\Rightarrow$ $\sqrt{\frac{S_{1}}{S}}+\sqrt{\frac{S_{2}}{S}}+\sqrt{\frac{S_{3}}{S}}=3-\frac{a+b+c}{p}=3-2=1$

$(\sqrt{\frac{S_{1}}{S}})^{2}+(\sqrt{\frac{S_{2}}{S}})^{2}+(\sqrt{\frac{S_{3}}{S}})^{2}\geq \frac{1}{3}.(\sqrt{\frac{S_{1}}{S}}+\sqrt{\frac{S_{2}}{S}}+\sqrt{\frac{S_{3}}{S}})^{2}=\frac{1}{3}$

$\Rightarrow Min\frac{S_{1}+S_{2}+S_{3}}{S}=\frac{1}{3}\Leftrightarrow a=b=c$

1.Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng $\sum \frac{a}{a^{2}+b+1}\leq 1$

2.Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng $\sum \frac{b^{2}c^{3}}{a^{2}+(b+c)^{3}}\geq \frac{9abc}{4(3abc+ab^{2}+bc^{2}+ca^{2})}$

Giải phương trình:

a.$x^{4}+\sqrt{x^{2}+1993}=1993$

b.$\frac{1}{\sqrt{3x}}+\frac{1}{\sqrt{9x-3}}=\frac{1}{\sqrt{5x-1}}+\frac{1}{\sqrt{7x-2}}$

a.$x^{4}+\sqrt{x^{2}+1993}=1993\Leftrightarrow x^{4}=1993-\sqrt{x^{2}+1993}$

$\Leftrightarrow x^{4}+x^{2}+\frac{1}{4}=x^{2}+1993-\sqrt{x^{2}+1993}+\frac{1}{4}\Leftrightarrow (x^{2}+\frac{1}{2})^{2}=(\sqrt{x^{2}+1993}-\frac{1}{2})^{2}$

$\Leftrightarrow x^{2}+\frac{1}{2}=\sqrt{x^{2}+1993}-\frac{1}{2}\Leftrightarrow x^{2}+1=\sqrt{x^{2}+1993}\Leftrightarrow x^{4}+x^{2}-1992=0$

$\Leftrightarrow x^{2}=\frac{-1+\sqrt{7969}}{2}\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{\frac{-1+\sqrt{7969}}{2}}$