$(a^2+2b^2)(\frac{1}{a}+\frac{2}{b})^2\geq (1+2)^3=3c^2(\frac{3}{c})^2$ ( holer)
có a^2+b^2$\leq$ 3c^2 =>$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}\geq \frac{3}{c}$
 

P=$\sum \frac{x^2y^3}{y^2z^3}+\frac{4}{\sum \frac{x}{y}}$
đặt $\frac{x}{y}=a ; \frac{y}{z}=b ; \frac{z}{x}=c => abc=1$
P trở thành $a^2b^3+b^2c^3+c^2a^3+\frac{4}{a+b+c}$
Có $(ab+bc+ac)^2\geq 3abc(a+b+c)$ (bđt cơ bản)
<=>$(ab+bc+ac)^2\geq 3(a+b+c) =>\frac{4}{a+b+c}\geq \frac{12}{(ab+bc+ac)^2}$
Có $a^2b^3+b^2c^3+c^2a^3=a^2b^2b+b^2c^2c+c^2a^2a=\frac{a^2b^2}{ac}+\frac{b^2c^2}{ab}+\frac{c^2a^2}{bc}\geq \frac{(ab+bc+ac)^2}{ab+bc+ac}=ab+bc+ac$
=> P$\geq ab+bc+ac+\frac{12}{(ab+bc+ac)^2}$

P=$\frac{2+a}{\sqrt{1+b}}+\frac{2+b}{\sqrt{1+a}}$=$\frac{1}{3}(\frac{1+a}{\sqrt{1+b}}+\frac{1+b}{\sqrt{1+a}})+\frac{2}{3}\frac{1+a}{\sqrt{1+b}}+\frac{2(1+b)}{3\sqrt{1+a}}+\frac{1}{\sqrt{1+a}}+\frac{1}{\sqrt{1+b}}\geq \frac{1}{3}(\frac{(2+a+b)^2}{\sqrt{(1+a)(1+b)}(\sqrt{1+a}+\sqrt{1+b})})+4\sqrt{\frac{2}{3}}\geq \frac{3}{(\frac{a+b+2}{2})(\sqrt{1+a}+\sqrt{1+b})}+4\sqrt{\frac{2}{3}}$
có$\sqrt{\frac{3}{2}(1+a)}+\sqrt{\frac{3}{2}(1+b)}\leq \frac{\frac{5}{2}+a+\frac{5}{2}+b}{2}=3 =>\sqrt{1+a}+\sqrt{1+b}\leq 3\sqrt{\frac{2}{3}}$

 đặt A =a+b+c-abc
$A^{2}\leq (a^2+1)((bc-1)^2+(b+c)^2)=(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)\leq (\frac{a^2+b^2+c^2+3}{3})^3=8$
<=>$A\leq 2\sqrt{2}$
 

$\sum \frac{a^3}{b+c}=\sum \frac{a^4}{ab+bc}\geq \frac{(\sum a^2)^2}{2\sum ab}\geq \frac{\sum a^2}{2}$
=> $3\sum \frac{a^3}{b+c}\geq \sum \frac{a^3}{b+c}+\sum a^2=\sum \frac{a^2(a+b+c)}{b+c}$
=> ta cần cm $\sum \frac{a^2}{b+c}\geq \sum \frac{a}{b+c}. (\frac{a+b+c}{3})=\sum \frac{a^2}{3(b+c)}+\sum \frac{b+c}{3} <=> \frac{2a^2}{3(b+c)}\geq \frac{2(a+b+c)}{3}$  ( đúng theo cauchy-schwarz)

bđt <=>$(a^2-1)(2a^2-1)+\frac{1}{a^2+1}\geq 0$
nếu $a^2\geq$1 hoăc $a^2\leq 1/2$ thì bđt luôn đúng
nếu $1\geq a^2\geq \frac{1}{2}$ có $(a^2-1)(2a^2-1)=-(1-a^2)(2a^2-1)\geq -(\frac{a^2}{2})^2\geq -\frac{1}{4}$ có $\frac{1}{a^2+1}\geq \frac{1}{2}$ => bđt đúng

b2 đk chắc là $\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2} => 2(b+c)=bc$ $\Delta _{1}= b^2-4c$$\Delta _{2}= c^2-4c => \Delta_{1} +\Delta _{2}= b^2+c^2-4(b+c)= b^2+c^2-2bc=(b-c)^2\geq 0$  => phải có ít nhất 1 trong 2 giá trị $\Delta$ $\geq$ 0 => ít nhất 1 pt có nghiệm

nhân pt 2 với số ảo i cộng với pt 1 có$x+yi+\frac{3x-y-xi-3yi}{x^2+y^2}=3$
đặt z =x+yi =>$\frac{1}{z}=\frac{x-yi}{x^2+y^2}$
=> $z+\frac{3-i}{z}=0 <=>z^2-3z+3-i=0 <=>z=2+i$ hoặc z=1-i
th1 z=2+i => x+yi =2+i => x=2 y=1
th2 z=1-i => x+yi=1-i => x=1 y=-1
thử lại thỏa mãn

$(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a})^2(\sum a^2b^2)\geq (\sum a^2)^3$ ( holer)
có $27(\sum a^4)(\sum a^2b^2)^2\leq (\sum a^2)^6 => 9(\sum a^2b^2)\leq (\sum a^2)^3$ => dpcm

$(\sum \sqrt{a-1})^2\leq (1+c-1)((\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1})^2+1)=c(a+b-1+2\sqrt{(a-1)(b-1)})=c(ab+1-(ab-a-b+1-2\sqrt{(a-1)(b-1)}+1))=c(ab+1-(\sqrt{(a-1)(b-1)}-1)^2)\leq c(ab+1)$

1) $xy=x^2+y^2 -4$. =>Q= $2(x^2+y^2)-2(x+y)+4xy-4= 2(x+y)^2-2(x+y)-4
 có $$x^2+y^2-xy \geq \frac{(x+y)^2}{4}$ => $4\geq \frac{(x+y)^2}{4}$ =>$4\geq x+y\geq -4$ đặt x+y= a =>Q=$2a^2-2a-4  với  4\geq a\geq -4$
xét bảng biến thiên => $36\geq$ Q $\geq -\frac{9}{2}$
 

pt 1 <=>$2(x-1)= (y-1)(y^2+2y+3)$
tương tự với 2 pt còn lại nhân 2 vế cảu 3 pt => $8(x-1)(y-1)(z-1)=(y-1)(z-1)(x-1)(x^2+2x+3)(y^2+2y+3)(z^2+2z+3)$
<=>th1 x-1=0 =>x=1 thay vào => y =1 và z=1
th2 y-1 = 0 tương tự => x=z=1
th3 z-1=0 =>x=y=1
th4 8=(x^2+2x+3)(y^2+2y+3)(z^2+2z+3)$
có $x^2+2x+3=(x+1)^2+2$$\geq$2 =>(x^2+2x+3)(y^2+2y+3)(z^2+2z+3)$ $\geq$ 8 dẫu = xảy ra  <=> x=y=z =-1
thử lại có x=y=z=-1 hoặc x=y=z =1

2) pt 1 <=> $\sqrt[4]{a-1}=\sqrt{b-1}+1\geq 1$ => a$\geq$ 2 = > $a^{2}\geq 4$ có  $b \geq 1$ => $a^{2}+2b\geq 6$

đk xđ:
pt <=>$\frac{2x-4}{\sqrt{3x^2-7x+3}+\sqrt{3x^2-5x-1}}+\frac{3x-6}{\sqrt{x^2-2}+\sqrt{x^2-3x+4}}=0$
<=> x-2 =0

1) không mất tính tonogre quát giả sửa b nằm giwuax a và c =>(b-c)(b-a)$\leq$0
$(\sum\sqrt{\frac{a}{a+2b+3c}} )^2\leq (\sum a(a+3b+2c))(\sum \frac{1}{(a+2b+3c)(a+3b+2c)})=(\sum a^2+5\sum ab)(\sum \frac{1}{(a+2b+3c)(a+3b+2c)})$
có $\frac{\sum a^2+5\sum ab}{(a+2b+3c)(a+3b+2c)}=1-\frac{9(b+c)^2+(b-c)^2}{2(a+2b+3c)(a+3b+2c)}$
nên$(\sum a^2+5ab)(\sum \frac{1}{(a+2b+3c)(a+3b+2c)})=3-\sum \frac{9(b+c)^2}{(a+2b+3c)(a+3b+2c)}-\sum \frac{(b-c)^2}{(a+2b+3c)(a+3b+2c)}$
có$9\sum \frac{(b+c)^2}{(a+2b+3c)(a+3b+2c)}\geq 9\frac{(2a+2b+2c)^2}{\sum (a+2b+3c)(a+3b+2c)}=\frac{36(a+b+c)^2}{13\sum a^2+23\sum ab}$
có$\sum \frac{(b-c)^2}{(a+2b+3c)(a+3b+2c)}\geq \frac{(2a-2c)^2}{(a+2b+3c)(a+3b+2c)}=\frac{4(a-c)^2}{13\sum a^2+\sum 23ab}$
có $(a-c)^2\geq 0\geq 3(b-c)(b-a)$ =>$36(a+b+c)^2+4(a-c)^2\geq 3(13\sum a^2+23\sum ab )$ =>$9\sum \frac{(b+c)^2}{(a+2b+3c)(a+3b+2c)}+\sum \frac{(b-c)^2}{(a+2b+3c)(a+3b+2c)}\geq 3$  =>$3-$9\sum \frac{(b+c)^2}{2(a+2b+3c)(a+3b+2c)}+\sum \frac{(b-c)^2}{2(a+2b+3c)(a+3b+2c)}\leq \frac{3}{2}$ => đpcm

$\frac{x^2+y^2+y^2}{3(x^2+y^2+z^2)-(x+y+z)^2}\neq \frac{1}{3}= \frac{x^2+y^2+z^2}{3(x^2+y^2+z^2)}$   #vutienhoang

chả phải là đề cho x+y+z=0  đấy thây

$\frac{x^2+y^2+z^2}{(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}=\frac{x^2+y^2+z^2}{2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2xz}$=$\frac{x^2+y^2+z^2}{3x^2+3y^2+3z^2-(x+y+z)^2}=\frac{x^2+y^2+z^2}{3(x^2+y^2+z^2)-(x+y+z)^2}$ nha bạn .Có nhầm lẫn câu rồi

không biết là nhầm chỗ nào mk vẫn chưa rõ

câu 3. a)$\frac{x^2+y^2+z^2}{(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}=\frac{x^2+y^2+z^2}{2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2xz}$=$\frac{x^2+y^2+z^2}{3x^2+3y^2+3z^2-(x+y+z)^2}=\frac{1}{3}$
b)$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b)^3+c^3-3ab(a+b)-3abc=(a+b+c)((a+b)^2-(a+b)c+c^2)-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)$
=>$\frac{a^3+b^3+c^3-3abc}{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac}=a+b+c$

có  1-2$cos\alpha +cos\beta +cos\gamma =1-sin^{2}\ \frac{\alpha }{2}+2cos\frac{\beta +\gamma }{2}cos\frac{\beta -\gamma }{2}$
=$1-2sin\frac{\alpha }{2}cos\frac{\beta +\gamma }{2}+2sin\frac{\alpha }{2}cos\frac{\beta -\gamma }{2}=1-2sin\frac{\alpha }{2}(cos\frac{\beta +\gamma }{2}-cos\frac{\beta -\gamma }{2})$ =1 + 4$sin\frac{\alpha }{2}sin\frac{\beta }{2}sin\frac{\gamma }{2}$

đk $x^{2}-\sqrt{3}\geq 0$
pt,<=>$(x^2-\sqrt{3})(x+\sqrt{x^2-\sqrt{3}})+(x^2+\sqrt{3})(\sqrt{x^2+\sqrt{3}}-x)= \sqrt{3}x$
<=>$\sqrt{x^2-\sqrt{3}}^3+\sqrt{x^2+\sqrt{3}}^3=3\sqrt{3}x$
<=>$(x^2-\sqrt{3})^3+2\sqrt{x^4-3}^3+(x^2+\sqrt{3})^3= 27x^2$
<=>$2\sqrt{x^4-3}^3= 9x^2-2x^6$
=>$4(x^4-3)^3=(9x^2-2x^6)^2$
<=>$27x^4-108=0$

$(\sum \frac{a}{\sqrt{b^2+8}})^2(\sum a(b^2+8))\geq (a+b+c)^3$  (bđt holer)
từ đk => a+b+c= 3abc nên$\sum a(b^{2}+8) = \sum ab^{2} +8\sum a= \sum ab^{2} +24abc$ .
$(a+b+c)^{3}= \sum a^{3}+3\sum ab^2 +3\sum a^2b +6abc \geq \sum ab^2 +24abc$   nên$\sum \frac{a}{\sqrt{b^{2}+8}}$$\geq$ 1

2.  đk: x$\geq$$\frac{-1}{3}$ pt <=> $4x^{2}-11x+3 + (2-2x) - \sqrt{3x+1} = 0$ =>$(4x^{2}-11x+3)(1+\frac{1}{2-2x+\sqrt{3x+1}} )= 0$ =>$4x^{2}-11x+3= 0$ hoặc $1+\frac{1}{2-2x+\sqrt{3x+1}}= 0$ . th1 dùng mt tính nghiệm.  th2 => $\sqrt{3x+1}=2x-3$ bình phương lên giả. sau khi giả nhớ thử lại

câu 1 : đk : $0\leq x\leq 1$.  đặt a =$\sqrt{x}$.  và b= $\frac{2}{3}-\sqrt{x}$  => $0\leq a\leq 1$ và $\frac{-1}{3}\leq b\leq \frac{2}{3}$ => a+b= $\frac{2}{3}$ 
=> pt có dạng $\sqrt{1-a^{4}}= b^{2}$ <=> $a^{4}+b^{4}= 1$    nên có hệ $\left\{\begin{matrix} a+b=1 & & \\ a^{4}+b^{4}=1& & \end{matrix}\right.$  đây là hệ đẳng cấp chắc bạn giải dc

y^3 > x^3.  y^3 = x^3 + x^2 + x + 1 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8 - 5x^2 - 11x - 7 = (x+2)^3 - 5(x+11/10)^2 - 579/100 < (x+2)^3.
=> y= x+1. => x^3 + x^2=0 => x=0 hoặc x=-1