hình như đề bài sai thì phải. vs a=b=1,c=2 thì bđt sai

Mình xin đóng góp cách giải nữa cho bài này

Nhận thấy $VP> 0\Rightarrow x> 0$

$VP=3(x-1)^2+1\geq 1,VT=\sqrt{x.x.(3-2x)}\leq \frac{x+x+3-2x}{3}=1\Rightarrow VT\leq VP$

Dấu đẳng thức xảy ra nên $x=1$

đánh giá nhầm chỗ này r nhé

cách của minh gần giống bạn

$x\sqrt{3-2x}\leq \frac{x^{2}+3-2x}{2}= \frac{\left ( x-1 \right )^{2}}{2}+1$

$\Rightarrow 3\left ( x-1 \right )^{2}+1\leq \frac{\left ( x-1 \right )^{2}}{2}+1\Rightarrow \frac{5}{2}\left ( x-1 \right )^{2}\leq 0$

=>x=1. thử lại đúng

Từ phương trình ta có x phải là số lẻ. Đặt $x=2k+1\Rightarrow 4k(k+1)(2k^{2}+2k+1)=y^{2}$

Suy ra $k(k+1)(2k^{2}+2k+1)$ phải là số chính phương. Mà $\left ( k^{2} +k,2k^{2}+2k+1\right )=1$ vô lí

Vậy phương trình vô ngiệm

tích của 2 số nguyên tố cùng nhau cũng có thể là 1 số chính phương. vd nhé (4,25)=1 nhưng 4.25=100 là số chính phương

có $3\left ( a-b \right )^{2}-\left ( a^{2}+10ab+b^{2} \right )= 2\left ( a-b \right )^{2}\geq 0\Rightarrow \frac{1}{a^{2}+10ab+b^{2}}\geq \frac{1}{\sqrt{3}\left ( a+b \right )}$

cần cm $\sum \frac{a}{a+b}\geq \frac{3}{2}$(*)

do bđt đòng bậc chuẩn hóa a+b+c=3. 

$\sum \frac{a}{3-a}=\sum \frac{a^{2}}{3a-a^{2}}\geq \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{3\left ( a+b+c \right )-\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )}= \frac{\left ( \sum a \right )^{2}}{9-\left ( \sum a \right )^{2}+2\sum ab}\geq \frac{3}{2}$

=>bđt (*) đúng => bđt cần cm đúng

bạn cứ gõ latex bình thường trong bài viết xong sao chép rồi cứ thế dán lên tiêu đề là đc

(ban đầu mình ko biết cx bị nhắc nhở hoài    )

Cho x,y,z>0 và x+y+z=3.

Chứng minh $M= \frac{x^2}{x+y^2}+\frac{y^2}{y+z^2}+\frac{z^2}{z+x^2}\geq \frac{3}{2}$

$\frac{x^{2}}{x+y^{2}}=x-\frac{xy^{2}}{x+y^{2}}\geq x-\frac{xy^{2}}{2\sqrt{x}y}= x-\frac{\sqrt{x}y}{2}\geq x-\frac{xy+y}{4}$

thiết lập các bđt tương tự có đpcm

chú ý $xy+yz+zx\leq 3$

có lẽ đề bài là $a,b,c\geq 0$

có thể tham khảo lời giải ở đây http://diendantoanho...10-ab-bc-ac-0/ 

theo mình nghĩ bài này nên dùng dồn biến

Bài 27: Giải các phương trình sau

            a) $\left ( \frac{x}{x-1} \right )^{2}+\left ( \frac{x}{x+1} \right )^{2}=\frac{10}{9}$

            b) $\frac{(x-1)^{2}x}{(x^{2}-x+1)^{2}}=\frac{2}{9}$

a, ĐKXĐ:$x\neq \pm 1$

+C1:  qui đồng khử mẫu đưa về pt trùng phương (ko hay lắm nhưng đơn giản)

+C2:

  $S=\frac{x}{x-1}+\frac{x}{x+1}= \frac{2x^{2}}{x^{2}-1},P= \frac{x}{x-1}.\frac{x}{x+1}= \frac{x^{2}}{x^{2}-1}$ $\Rightarrow S=2P$

pt đã cho $\Leftrightarrow S^{2}-2P= \frac{10}{9}\Leftrightarrow S^{2}-S=\frac{10}{9}$

đến đây dễ rồi

b, đặt $x^{2}-2x+1=a$

pt đã cho trở thành $\frac{ax}{\left ( a+x \right )^{2}}= \frac{2}{9}\Leftrightarrow 2a^{2}-5ax+2x^{2}=0\Leftrightarrow \left ( a-2x \right )\left ( 2a-x \right )=0$

 

Từ giả thiết =>$z\vdots 3\rightarrow z=3m(m\epsilon \mathbb{N}*) $

=>$3x^2-18y^2+18m^2+27y^2m^2-18x=27$

$<=>x^2-6y^2+6m^2+9y^2m^2-6x=9$

=>$x\vdots 3\rightarrow x=3n(n\epsilon \mathbb{N}*) $

=>$3n^2-2y^2+2m^2+3y^2m^2-6n=3 (*)$

*Nếu $n=1$ thay vào được $-2y^2+2m^2+3m^2y^2=12$

Do $3y^2m^2-2y^2>0 =>2n^2<12 =>n^2<6 =>n \epsilon \left \{ 1;2 \right \}$

*Nếu $n \geq 2$ thì $3n^2-6n=3n(n-2) \geq 0$

Và $3y^2m^2-2y^2>0$

Nên từ (*) =>$2m^2 < 3 =>m=1$ 

=>$3n^2-6n+y^2=1$

Do $n \geq 2$ nên =>$y^2 \leq 1 =>y=1...$

Vậy phương trình có nghiệm...

 

Hình như chỗ màu đỏ bạn bị nhầm

 

 chỗ đó là chunganh chia cả 2 vế của pt trên cho 3 

gs đa thức $x^{3}+ax^{2}+bx+c$ có 3 nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2},x_{3}$

theo định lí vi-et có $\sum x_{1}= -a,\sum x_{1}x_{2}=b,\prod x_{1}=-c$

$\Rightarrow \sum x_{1}x_{2}.x_{2}x_{3}= \prod x_{1}\sum x_{1}= (-c)(-a)=ac,\prod x_{1}x_{2}=\left ( \prod x_{1} \right )^{2}= \left ( -c \right )^{2}=c^{2}$

kết hợp với $\sum x_{1}x_{2}=b$ và theo định lí vi-et đảo có $x_{1}x_{2},x_{2}x_{3},x_{3}x_{1}$ là 3 nghiệm của đa thức thứ 2

=> kết luận

mình nghĩ đầu bài có vấn đề. lấy a=1,b=2  thì bđt sai

Mình cũng làm thế nhưng khi dán vào thì lại không hiện bình phương

bạn cứ thế copy-paste à

Đúng rồi.

thế chắc tại lúc đấy máy của bạn bị đơ  .lần sau bị như thế thì tốt nhất là ghi note giải thích lí ở dưới để mấy mod sửa giùm,cx đỡ bị cộng 1đ nhắc nhở

Bạn nên bỏ thêm hai dấu $$ vào đầu và đuôi dòng $\LaTeX$ thì công thức mới hiện rõ được

hơ

thế mà ban đầu mình làm thế nó lại ko đc 

Giả sử $a\geq c\geq b$ ta có: $(a-c)(a-b)(c-b)\geq 0<=> ac(a-c)+ab(b-a)+bc(c-b)\geq 0$

Do đó: $\frac{a-c}{b}+\frac{b-a}{c}+\frac{c-b}{a}\geq 0$ (1)

Từ giả thiết ta phải chứng minh $3+2(2(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})-(\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}))\geq 9$ (2)

Kết hợp với (1) ta được (2) $\geq 3+2(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})\geq 9$

sai! ko thể gs như vậy đc vì bđt hoán vị vòng quanh

1.Cho $a,b,c$ là 3 cạnh của 1 tam giác và $a+b+c=3$

Tìm GTNN của $A=3(a^2+b^2+c^2)+4abc$

 

có ở đây http://diendantoanho...-c2-right-4abc/

Cho x, y, z là các số nguyên dương. Chứng minh rằng $\frac{x}{2x+y+z}+\frac{y}{2y+z+x}+\frac{z}{2z+x+y}\leq \frac{3}{4}$

 

Chú ý: Cách gõ công thức Toán.

            Cách đặt tiêu đề bài viết đúng quy định.

áp dụng bđt $\frac{4}{a+b}\leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}$ với a,b dương có $\frac{x}{2x+y+z}\leq \frac{1}{4}.\left ( \frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z} \right )$

thiết lập các bđt tương tự ta có đpcm

Mình thật sự sốc toàn phần khi biết 127 cũng là nghiệm

Không hiểu là phải làm thế nào mới ra được 127 là nghiệm đây nữa     

trời đất kiểu này chắc chết quá à. làm sao mà ra đc những 127 đây hả trời @@

mình làm ra đc mỗi 2 thôi à

câu 1 (dễ trước  )

$PT\Leftrightarrow \left ( x-\sqrt{3} \right )\left ( x^{2}-\sqrt{3}+1\right )=0$

cái ngoặc 2 delta<0 nên vô nghiệm $\Rightarrow x=\sqrt{3}$

Tôi nghĩ ra cách này mọi người tham khảo nhé:

$P=\frac{1}{1+\frac{1}{x}}+\frac{1}{1+\frac{1}{y}}+\frac{1}{1+\frac{1}{z}}$

Ta xét $\frac{1}{1+\frac{1}{x}}+\frac{1}{1+\frac{1}{y}}\geq \frac{2}{1+\frac{1}{\sqrt{xy}}}$ 

Lại có: $\frac{1}{1+\frac{1}{z}}+\frac{1}{1+\frac{1}{\sqrt{xy}}}+\frac{1}{1+\frac{1}{\sqrt{xy}}}\geq \frac{3}{1+\frac{1}{\sqrt[3]{xyz}}}=\frac{3}{2}$

=> Điều phải chứng minh

Cách này sử dụng các bất đẳng thức quen thuộc sau:

$\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}\geq \frac{2}{1+ab}$

$\frac{1}{1+a^{3}}+\frac{1}{1+b^{3}}+\frac{1}{1+c^{3}}\geq \frac{3}{1+abc}$

cho mình hỏi bạn dùng bđt j ở chỗ màu đỏ vậy. mình ko nghĩ là nó đúng (có thể kiểm chứng với x=1,y=4 thì bđt sai)

Đúng rồi bạn, mình cũng đang mắc phần này, bởi vì sử dụng bất đẳng thức trên có cả điều kiện nữa, mình đưa lên để mọi người xem xét vậy thôi chứ đúng là sai thiệt

mình cx từng đọc bđt này (ko đk) ở đâu đó nhưng mình ko tìm đc cách cm nên đã thử kiểm chứng lại thì thấy nó sai

(từ đấy về sau đọc bđt nào cx phải kiểm tra lại hết   )

$-A=\sum \frac{1}{\sqrt{ab}-4}\geq \frac{(1+1+1)^{2}}{\sum \sqrt{ab}-12}\geq \frac{9}{a+b+c-12}\geq \frac{9}{\sqrt{3(\sum a^{2})}-12}=-1\Rightarrow A\leq 1$

 

 mẫu âm mà bạn áp dụng bđt schwarz  => sai rồi

Nếu làm vậy thì áp dụng ngay luôn $\sum \frac{1}{1+\frac{1}{x}}\geq \frac{3}{1+\frac{1}{\sqrt[3]{xyz}}}=\frac{3}{2}$

bđt này phải kèm đk chứ vs x=1\2,y=1\3,z=6 thì bđt sai

cho mình hỏi tí: vì sao a,b,c>0 thì A>0 vậy. lỡ a=b=c=5 thì A<0 chứ???

đk đã cho là $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3\Rightarrow 2ab\leq a^{2}+b^{2}\leq 3\Rightarrow \sqrt{ab}\leq \sqrt{1,5}< 4\Rightarrow \sqrt{ab}-4< 0$

mẫu âm thì làm sao dùng schwarz hả bạn

$PT\Leftrightarrow \left ( x^{2}+y^{2} \right )^{2}= xy+3$

có $\left ( x^{2} +y^{2}\right )^{2}-4x^{2}y^{2}= \left ( x^{2} -y^{2}\right )^{2}\geq 0\Rightarrow \left ( x^{2}+y^{2} \right )^{2}\geq 4x^{2}y^{2}$

$\Rightarrow 3+xy\geq 4x^{2}y^{2}\Rightarrow \left ( 4xy+3 \right )\left ( xy-1 \right )\leq 0\Rightarrow \frac{-3}{4}\leq xy\leq 1$

bạn tự tìm dấu "=" xảy ra nhé