Kẻ $AE$ vuông góc với $BC$

Ta có $cotB=\frac{BE}{AE}$   $cotC=\frac{CE}{AE}$

$cotB=3cotC\rightarrow \frac{BE}{CE}=3\rightarrow CE=\frac{1}{4}BC$

Mà $CM=\frac{1}{2}BC\rightarrow$ $E$ là trung điểm $CD$

Xét tam giác $ACM$ có $AE$ vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến

$\rightarrow$ tam giác $ACM$ cân tại $A$

$\rightarrow AC=AM$

Ta có $p^2-p+1=a^3$ với $a \in \mathbb{N}, a < p$

$<=> p(p-1)=(a-1)(a^2+a+1)$ mà $a < p => a^2+a+1 \vdots p => a^2+a+1=kp$ 

Thay $a^2+a+1=kp$ vào $<=> p(p-1)=(a-1)(a^2+a+1)$, ta được:

$p-1=k(a-1)$ thay vào $a^2+a+1=kp$, ta được: 

$a^2+a+1=k(ka-k+1)$ Coi đây là phương trình bậc 2 ẩn $a$ , ta tìm $k$ và sau đó thay vào $p-1=k(a-1)$ để tìm $p,a$

Ta có: $x^{6}+3x^{2}-1=y^{2}<=>4x^{6}+2.2x^{2}.3-4=4y^{2} <=>(2x^{3}+3)^{2} -4y^{2}=13<=>(2x^{3}-2y+3)(2x^{3}+3+2y)=13...$

Hăng đẳng thức sai rồi bạn. 

Cho dãy số được xác định như sau:

$$ \left\{\begin{matrix} x_1=20 ; x_2=30 & \\ x_{n+1}=3x_{n}-x_{n-1} & \end{matrix}\right. $$

Tìm $n$ để $5x_{n+1}x_{n}+1$ là số chính phương 

60 có 15 là ước lẻ lớn nhất nhưng vẫn thỏa a+b-1 là ước của 60 với b=1 

Tìm tất cả các số nguyên dương lẻ lớn hơn 1 sao cho bất kì 2 ước $a,b$ của $n$ nguyên tố cùng nhau thì $a+b-1$ cũng là ước của $n$.

Cho $1 = d_1 < d_2 < ... < d_k = n$ là tất cả các ước nguyên dương của số nguyên dương $n$ xếp theo thứ tự tăng dần. Biết rằng $(d_7)^2 + (d_{15})^2 = (d_{16})^2$. Hãy tìm $d_{17}$.

Nguồn: thầy Trần Nam Dũng 

1. Cho $A$= {1;2;...;2018}. Gọi X là tập con của A và $t_x$ là tổng của phần tử lớn nhất và nhỏ nhất của X. Tính trung bình cộng của tất cả giá trị $t_x$

2. Tìm sup,inf của tập $A$={$\frac{1}{2^n}+\frac{(-1)^n}{n}|n \in N*$}

1.Tìm tất cả các đa thức P(x) có hệ số $a_i \in$ {1;-1} có n nghiệm thực phân biệt

2. Tìm $a,b,c \in Z$ sao cho đa thức $P(x)=(x^2+ax+b).Q(x)$ là đa thức có hệ số 1 hoặc -1 (Q(x) là đa thức có hệ số nguyên)

1) Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ thỏa mãn $3p^3-3p+1$ là số chính phương

2)Tìm tất cả số nguyên dương thỏa mãn $n^n+1$ là số nguyên tố và $n^n+1<10^{19}$

Giải phương trình $$\sqrt[3]{x-7} +\sqrt[3]{x-3} = 6\sqrt[6]{(x-3)(x-7)}$$

$$\sqrt[3]{(x-2)^2} +\sqrt[3]{(x+7)^2} -\sqrt[3]{(2-x)(x+7)}=3$$

Nguồn: Nguyễn Bá Chinh

Nguồn: quên tên

Nguồn:  thầy Phạm Quốc Sang

Nguồn:facebook

Nguồn: sưu tầm trên facebook

1.Trong một trường học cứ mỗi bạn nam quen 32 bạn nữ và cứ mỗi bạn nữ quen 29 bạn nam.Hỏi số học sinh nam trong trường nhiều hơn hay số học sinh nử trong trường nhiều hơn và nhiều hơn bao nhiêu?

2.Trong bảng hình chữ nhật $m \times n$ ô có bao nhiêu hình chữ nhật có cạnh song song với cạnh của bảng đó?

 $ \frac{1}{a+1} + \frac{1}{b+1} + \frac{1}{c+1} = \frac{3}{2}$

$\frac{1}{2x+\sqrt{x(x+3)}}$

c/m $2\sqrt{ab+1}>a+b<=>4(ab+1)>(a+b)^2<=>2ab+4>a^2+b^2$

$<=>(a-b)^2 \leq 4$ ( luôn đúng)

$\frac{1}{2x+\sqrt{x(x+3)}}$

$\frac{(x+y)^2}{x+y-4} \geq 16$

Cho tam giác ABC, BC>AB, E và F là điểm giữa của cung lớn AC và cung nhỏ AC. $G \in BC$ sao cho $EG \perp BC$.CMR (ABG) đi qua trung điểm BF

Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp $(O)$. Đường thẳng vuông góc với $AD$ tại $A$ cắt $BC$ tại $E$, đường thẳng $EO$ cắt $CD$ tại $F$.Chứng minh $AF$ vuông góc với $AB$