Cho tam giác $ABC$ nhọn, $H,I,O$ lần lượt là trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp. Sử dụng tam giác đồng dạng chứng minh $H,I,O$ thẳng hàng

Từ giả thiết ta có $(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=1$

$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=\frac{1}{a+b+c}+ab+bc+ca$

$\Leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2)=\frac{2}{a+b+c}+2(ab+bc+ca)$

$\Leftrightarrow 3(a^2+b^2+c^2)=\frac{2}{a+b+c}+(a+b+c)^2$

Áp dụng AM GM ta có 

$\frac{1}{a+b+c}+\frac{1}{a+b+c}+(a+b+c)^2\geq 3$

Do đó$3(a^2+b^2+c^2)\geq 3$

$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\geq 1$

Min $ a^2+b^2+c^2=1$ tại 

 $a=b=0,c=1$ hoặc $a=c=0,b=1$ hoặc $c=b=0,a=1

cảm ơn bạn nhưng $a,b,c$ là số dương mà

có thể do đề bài bạn sai hoặc mình làm nhầm 

vậy chắc mình viết nhầm đề

Cho các số thực không âm thỏa $a^3+b^3+c^3-3abc=1$

Tìm GTNN của $a^2+b^2+c^2$

Cho dãy số $\frac{1}{1};\frac{1}{2};\frac{1}{3};..;\frac{1}{n}$, tiến hành xóa các số trong dãy và sau khi xóa hai số $a,b$ bất kì thì lại thêm số $a+b+ab$ vào dãy, sau một số lần như vậy thì trong dãy còn lại $1$ số. Chứng minh số đó là $n$

Trong hình vuông cạnh bằng $1$, đặt $51$ điểm bất kỳ phân biệt. Chứng minh rằng có ít nhất $3$ trong số $51$ điểm đó nằm trong một hình tròn bán kính bằng $\frac{1}{7}$

Chứng minh rằng trong 2ⁿ⁺¹ - 1 số nguyên bất kỳ đều tồn tại 2n số có tổng là một số chẵn

Mình không biết cách nào tối ưu nhưng bạn tham khảo cách này thử:

Dựng $\angle xOy=a+b$.

Trong $\angle xOy$, dựng tia Oz sao cho $\angle xOz=a$. khi đó $\angle yOz=b$.

Lấy điểm C bất kì thuộc tia Oz. Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với Oz cắt Ox, Oy lần lượt tại A, B.

Kẻ BD vuông góc với OA. Ta có $sinacosb+sinbcosa=\frac{AC}{OA}.\frac{OC}{OB}+\frac{BC}{OB}.\frac{OC}{OA}=\frac{OC.AB}{OA.OB}=\frac{2S_{OAB}}{OA.OB}=\frac{BD.OA}{OA.OB}=sin(a+b)$.

Còn 3 cái còn lại bạn có biết cách dựng ko ạ

Giúp em dựng hình sao tối ưu nhất để chứng minh công thức cộng lượng giác được không ạ, làm cái nào cũng nhưng cả 4 thì tốt hơn

$sin(a+b)=\sin a. \cos b + \cos a. \sin b$

$sin(a-b)=\sin a. \cos b - \cos a. \sin b$

$cos(a+b)=\cos a. \cos b - \sin a. \sin b$

$cos(a-b)=\cos a. \cos b + \sin a. \sin b$

Chứng minh có vô số nguyên tố có dạng $p=ax+b$ ($x\in N; a,b$ nguyên tố cùng nhau)

Cho các số thực dương thỏa $a\geq b\geq c$

Tìm GTNN của $\sum \frac{a}{a+b}$

$\sum \frac{a}{a+b}-\frac{3}{2}=\frac{(a-b)(b-c)(a-c)}{2(a+b)(b+c)(c+a)}$

Bạn làm từ từ giúp mình đc ko, mik ko hiểu lắm

tọa độ 1 điểm có thể thuộc 1 trong 4 trg hợp (chẵn,lẻ)(chẵn chẵn)(lẻ lẻ)(lẻ chẵn)

nều có 5 điểm thì có 2 điểm cùng loại.trung điểm của đoạn nối 2 điểm này là điểm nguyên và thuộc miền đa giác

Tạo sao trung điểm của hai đoạn nối hai điểm cùng tính chẵn lẻ lại là một điểm nguyên vậy ạ

Trên mặt phẳng độ, một điểm $A(x;y)$ được gọi là điểm nguyên nếu $x,y \in Z$. Giả sử $A_1;A_2;A_3...A_n$ là một đa giác lồi $n$ đỉnh có tất cả các đỉnh là điểm nguyên. Biết rằng miền đa giác đó (bao gồm tất cả các điểm thuộc miền trong và thuộc biên) không chứa bất cứ một điểm nguyên nào ngoài chính các đỉnh của đa giác lồi. Chứng minh rằng $n \leq 4$

nếu n>5 thì một trong các trung tuyến thuộc miền đa giác thôi b

Chi tiết hơn được không ạ

Cho các số nguyên dương $x,y$ thỏa $45x+108y\leq 800 \leq 55x+132y$

Tìm $x,y$ để $x+y$ max, min

Cho một hình chữ nhật có các cạnh lớn dài 4, cạnh bé dài 3. Lấy 6 điểm vào trong hình chữ nhật đó (có thể nằm trên cạnh). Chứng minh luôn tồn tại 2 điểm sao cho khoảng cách giữa chúng bé hơn hoặc bằng $\sqrt{5}$

Cho các số thực không âm thỏa $x^3+y^3+z^3=3$

Tìm GTLN của $3(xy+yz+zx)-xyz$

Bên trong hình vuông có cạnh bằng 1 lấy 3 điểm phân biệt (có thể nằm trên cạnh hình vuông). Tìm vị trí của 3 điểm đó để tam giác tạo thành từ 3 điểm đó có diện tích lớn nhất, tính diện tích đó

Cho các số thực dương $x_1,x_2,...x_n$

Chứng minh bất đẳng thức sau

$ (1+x_1)(1+x_2)...(1+x_n)\geq (1+\sqrt[n]{x_1...x_n})^n$

Sử dụng quy nạp hoặc nếu dùng Holder(Chrystal) thì phải chứng minh BĐT ở dạng đó trước

Mọi người giúp mình với ạ

Cho các số dương $a,b,c$

Tìm max $\sum \sqrt{\frac{2a}{a+b}}$

Cho các số thực dương thỏa $xyz=1$

Tìm Max của

$\sum \frac{1}{xy+x+2}$

Tìm số chính phương lớn nhất sao cho khi xóa hai chữ số cuối cùng của số đó thì nó vẫn là 1 số chính phương (hai chữ số cuối cùng không đồng thời bằng 0)

Cho các số thực dương thỏa $a+b+c \geq 3$

Chứng minh $\sum \frac{a^2}{a+\sqrt{bc}} \geq \frac{3}{2}$

Cho các số thực dương thỏa $a+b+c=3$

Chứng minh $\sum \sqrt{\frac{a^3}{b+3}} \geq \frac{3}{2}$