Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa $x^2+y^2+z^2 \geq 12$

Chứng minh:

$\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x} \geq 6$

Cho các số thực dương $a,b,c$

Chứng minh:

$\frac{1}{a^3+b^3+abc}+\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{c^3+a^3+abc} \leq \frac{1}{abc}$

Trong hình vuông cạnh bằng $1$, đặt $51$ điểm bất kỳ phân biệt. Chứng minh rằng có ít nhất $3$ trong số $51$ điểm đó nằm trong một hình tròn bán kính bằng $\frac{1}{7}$

Cho các số thực dương thỏa $a+b+c=3$

Chứng minh $\sum \sqrt{\frac{a^3}{b+3}} \geq \frac{3}{2}$

Trên mặt phẳng độ, một điểm $A(x;y)$ được gọi là điểm nguyên nếu $x,y \in Z$. Giả sử $A_1;A_2;A_3...A_n$ là một đa giác lồi $n$ đỉnh có tất cả các đỉnh là điểm nguyên. Biết rằng miền đa giác đó (bao gồm tất cả các điểm thuộc miền trong và thuộc biên) không chứa bất cứ một điểm nguyên nào ngoài chính các đỉnh của đa giác lồi. Chứng minh rằng $n \leq 4$

nếu n>5 thì một trong các trung tuyến thuộc miền đa giác thôi b

Chi tiết hơn được không ạ

Có 7 vùng phân biệt (vùng 1,2..,7). Lấy 100 điểm vào trong các vùng này sao cho không có hai vùng nào có số điểm bằng nhau. Chứng minh rằng luôn tồn tại 3 vùng mà có tổng số điểm không ít hơn 50

tọa độ 1 điểm có thể thuộc 1 trong 4 trg hợp (chẵn,lẻ)(chẵn chẵn)(lẻ lẻ)(lẻ chẵn)

nều có 5 điểm thì có 2 điểm cùng loại.trung điểm của đoạn nối 2 điểm này là điểm nguyên và thuộc miền đa giác

Tạo sao trung điểm của hai đoạn nối hai điểm cùng tính chẵn lẻ lại là một điểm nguyên vậy ạ

Không mất tính tổng quát, giả sử số điểm ở các vùng 1,2..7 có số điểm giảm dần (để không có hai vùng nào có số điểm bằng nhau)

Lúc này nếu vùng 4 có không ít hơn 15 điểm thì 3 vùng đầu cũng có không ít hơn 16+17+18=51 điểm (1)

Nếu vùng 4 có ít hơn hoặc bằng 14 điểm thì 4 vùng sau cũng có ít hơn hoặc bằng 14+13+12+11=50 điểm hay 3 vùng đầu có không ít hơn 100-50=50 điểm (2)

Từ (1) và (2) suy ra được luôn tồn tại 3 vùng chứa tổng cộng không ít hơn 50 điểm

Cho các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$

Tìm GTLN của 

$\sum \frac{bc}{\sqrt{a^2+3}}$

Cho các số thực dương thỏa $a+b+c \geq 3$

Chứng minh $\sum \frac{a^2}{a+\sqrt{bc}} \geq \frac{3}{2}$

Cho số thực x

Tìm GTNN của

$\sqrt{x^2-x+1}+\sqrt{x^2+x+1}$

Cho các số dương $a,b,c$

Tìm max $\sum \sqrt{\frac{2a}{a+b}}$

Trên mặt phẳng tọa độ, các điểm nguyên được tô bởi hai màu đỏ hoặc xanh. Chứng minh rằng luôn tìm được vuông có đỉnh là các điểm nguyên đó sao cho có ít nhất 3 đỉnh cùng màu

Cho các số thực không âm thỏa $x^3+y^3+z^3=3$

Tìm GTLN của $3(xy+yz+zx)-xyz$

Chứng minh rằng trong 2ⁿ⁺¹ - 1 số nguyên bất kỳ đều tồn tại 2n số có tổng là một số chẵn

Giúp em dựng hình sao tối ưu nhất để chứng minh công thức cộng lượng giác được không ạ, làm cái nào cũng nhưng cả 4 thì tốt hơn

$sin(a+b)=\sin a. \cos b + \cos a. \sin b$

$sin(a-b)=\sin a. \cos b - \cos a. \sin b$

$cos(a+b)=\cos a. \cos b - \sin a. \sin b$

$cos(a-b)=\cos a. \cos b + \sin a. \sin b$

Cho tam giác $ABC$ nhọn, $H,I,O$ lần lượt là trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp. Sử dụng tam giác đồng dạng chứng minh $H,I,O$ thẳng hàng

Mình không biết cách nào tối ưu nhưng bạn tham khảo cách này thử:

Dựng $\angle xOy=a+b$.

Trong $\angle xOy$, dựng tia Oz sao cho $\angle xOz=a$. khi đó $\angle yOz=b$.

Lấy điểm C bất kì thuộc tia Oz. Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với Oz cắt Ox, Oy lần lượt tại A, B.

Kẻ BD vuông góc với OA. Ta có $sinacosb+sinbcosa=\frac{AC}{OA}.\frac{OC}{OB}+\frac{BC}{OB}.\frac{OC}{OA}=\frac{OC.AB}{OA.OB}=\frac{2S_{OAB}}{OA.OB}=\frac{BD.OA}{OA.OB}=sin(a+b)$.

Còn 3 cái còn lại bạn có biết cách dựng ko ạ

Cho các số thực không âm thỏa $a^3+b^3+c^3-3abc=1$

Tìm GTNN của $a^2+b^2+c^2$

Từ giả thiết ta có $(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=1$

$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=\frac{1}{a+b+c}+ab+bc+ca$

$\Leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2)=\frac{2}{a+b+c}+2(ab+bc+ca)$

$\Leftrightarrow 3(a^2+b^2+c^2)=\frac{2}{a+b+c}+(a+b+c)^2$

Áp dụng AM GM ta có 

$\frac{1}{a+b+c}+\frac{1}{a+b+c}+(a+b+c)^2\geq 3$

Do đó$3(a^2+b^2+c^2)\geq 3$

$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\geq 1$

Min $ a^2+b^2+c^2=1$ tại 

 $a=b=0,c=1$ hoặc $a=c=0,b=1$ hoặc $c=b=0,a=1

cảm ơn bạn nhưng $a,b,c$ là số dương mà

có thể do đề bài bạn sai hoặc mình làm nhầm 

vậy chắc mình viết nhầm đề

Bên trong hình vuông có cạnh bằng 1 lấy 3 điểm phân biệt (có thể nằm trên cạnh hình vuông). Tìm vị trí của 3 điểm đó để tam giác tạo thành từ 3 điểm đó có diện tích lớn nhất, tính diện tích đó

Cho các số thực dương thỏa $xyz=1$

Tìm Max của

$\sum \frac{1}{xy+x+2}$

Cho một hình chữ nhật có các cạnh lớn dài 4, cạnh bé dài 3. Lấy 6 điểm vào trong hình chữ nhật đó (có thể nằm trên cạnh). Chứng minh luôn tồn tại 2 điểm sao cho khoảng cách giữa chúng bé hơn hoặc bằng $\sqrt{5}$