Với $a,b,c$ là các số thực không âm,chứng minh rằng : $\sqrt{a^2+2 b^2}+\sqrt{b^2+2 c^2}+\sqrt{c^2+2 a^2} \geqslant \sqrt{3}(a+b+c)$
Bài này có một cách khác đó là sử dụng BĐT quen thuộc: $3(a^2+b^2+c^2)\geq (a+b+c)^2$
Ta có: $a^2+2b^2=a^2+b^2+b^2\geq \frac{(a+b+b)^2}{3}\Rightarrow \sqrt{a^2+2b^2}\geq \frac{a+2b}{\sqrt{3}}$
TT: $\sqrt{b^2+2c^2}\geq \frac{b+2c}{\sqrt{3}};\sqrt{c^2+2a^2}\geq \frac{c+2a}{\sqrt{3}}.$
$\Rightarrow VT\geq \frac{3(a+b+c)}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}(a+b+c).$
Dấu $'='$ xảy ra khi $a=b=c.$