Tìm số có 5 chữ số, biết số đó bằng 45 lần tích các chữ số của nó ?
 

Cho $\bigtriangleup ABC$

 

3, Giả sử $\widehat{A}=60^{\circ}$. Đặt AB=c, AC=b, BC=a. Chứng minh: $a\geq \frac{b+c}{2}$

 

Ta có :

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos 60^{\circ}=b^{2}+c^{2}-bc$
Vậy ta cần chứng minh :
$b^{2}+c^{2}-bc\geq (\frac{b+c}{2})^{2}\Leftrightarrow (b-c)^{2}\geq 0$
BĐT cuối luôn đúng, suy ra :
$a\geq \frac{b+c}{2}$

Ta có:$\sqrt{(x-2)^2+1}+\sqrt{(x-2)^2+4}+\sqrt{(x-2)^2+5}\geq \sqrt{1}+\sqrt{4}+\sqrt{5}=3+\sqrt{5}> 3\sqrt{5}$

Do đó pt Vô nghiệm

$3+\sqrt{5}> 3\sqrt{5}$ !!!!! :v

Giải phương trình:

$\sqrt{x^{2}-4x+5}+\sqrt{x^{2}-4x+8}+\sqrt{x^{2}-4x+9}=3\sqrt{5}$

Giúp mình với, mình cần gấp.

 

Câu 2(2đ): Cho phương trình $x^2-5x-1=0$. Biết phương trình có 2 nghiệm $x_{1};x_{2}$. Lập phương trình bậc hai ẩn y( với các hệ số nguyên) có 2 nghiệm lần lượt là $y_{1}=1+\frac{1}{x_{1}};y_{2}=1+\frac{1}{x_{2}}$

Câu 3(1 đ) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} \frac{3}{x-2}+\frac{2}{y+1}=\frac{17}{5} & \\ \frac{2x-2}{x-2}+\frac{y+2}{y-1}=\frac{26}{5} & \end{matrix}\right.$

 

Câu 2 :
$gt\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_1+x_2=5& \\ x_1x_2=-1& \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y_1+y_2=2+\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=2-5=-3 & \\ y_1y_2=1+\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}+\frac{1}{x_1x_2}=1-5-1=-5 & \end{matrix}\right.$
Vậy $PT$ ẩn $y$ cần tìm : $y^2+3x-5=0$
Câu 3 :
$HPT\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{3}{x-2}+\frac{2}{y+1}=\frac{17}{5} & \\ \frac{2}{x-2}+\frac{3}{y-1}=\frac{11}{5} & \end{matrix}\right.$
Tới đây đặt : $\frac{1}{x-2}=a;\frac{1}{y+1}=b$ là xong rồi !

Làm tắt quá, Jinbe giải thích rõ chỗ này cái!

$\angle PCA=\frac{\angle PO_1A}{2}=\frac{\angle QO_2A}{2}=\angle QDA$

P/s : Buồn ghê hôm qua post sau Jinbe có tí !! (

 

 

Bài 3. cho tam giác ABC cân tại A có $\measuredangle A=36^o$. Tính tỉ số $\frac{AB}{BC}$.

 

 

Bạn tham khảo ở đây nhé !!

 

 

 

Bài 5 : Gọi $\alpha ,\beta ,\gamma$ là ba nghiệm của đa thức $P(x)=x^3-x-1$. Tính giá trị biểu thức :

$$A=\dfrac{1-\alpha }{1+\alpha }+\dfrac{1-\beta }{1+\beta }+\dfrac{1-\gamma }{1+\gamma }$$

 

Xin lỗi caybutbixanh, đề đã sửa

 

Cho em chuyển các nghiệm $x;y;z$ cho dễ gõ ạ !!
Áp dụng định lí Viét cho đa thức $P(x)$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x+y+z=0 & \\ xy+yz+zx=-1 & \\ xyz=1 & \end{matrix}\right.$
$gt\Rightarrow P(x)=\frac{-3xyz-xy-yz-zx+x+y+z+3}{xyz+xy+yz+zx+x+y+z+1}=\frac{-3+1+3}{1-1+1}=1$
Vậy : $A=1$

P/s : Anh Huy làm bài được không, được bao nhiêu bài !?

 

Trên các cạnh $AB,AC,BC$ của tam giác $ABC$ lấy điểm $C',B',A'$ sao cho $AA',BB',CC'$ cắt nhau tại $1$ điểm . Gọi $A'',B'',C''$ là các điểm đối xứng của $A,B,C$ qua điểm $A',B',C'$. Tính $S_{A''B''C''}$ theo $S_{ABC}$ và $S_{A'B'C'}$

 

Cung cấp hình theo yêu cầu cho Toàn !!
 

Cho tam giác $ABC$, $I$ là tâm đường tròn nội tiếp, $J$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ACI$. Chứng minh : $B;I;J$ thẳng hàng.

Cho em thử phát !!

Do đề của các Toán thủ nộp chưa phù hợp nên trận này BTC sẽ ra đề

Đề của BTC:
Cho tam giác $ABC$ nhọn. $D,E,F$ trên $BC, CA, AB$ sao cho $\triangle DEF$ nhọn và $AD, BE, CF$ đồng quy. $M, N, P$ trên $EF, FD, DE$ sao cho $\triangle MNP$ nhọn và $DM, EN, FP$ đồng quy.

Chứng minh rằng: $AM, BN, CP$ cũng đồng quy.

Thời gian làm bài tính từ: 20h15 ngày 14/2/2014

P/s: mong các toán thủ đừng mải đi chơi với gấu mà quên làm bài :adore:

Bài làm của letankhang :
Ta có :

$\frac{S_{AME}}{S_{AMF}}=\frac{\frac{1}{2}AM.AE.sin(\angle MAE)}{\frac{1}{2}AF.AM.sin(\angle MAF)}=\frac{AE.sin(\angle MAE)}{AF.sin(\angle MAF)}$
Mặt khác : $\frac{S_{AME}}{S_{AMF}}=\frac{\frac{1}{2}AM.ME.sin(\angle AME)}{\frac{1}{2}MF.AM.sin(\angle AMF)}=\frac{ME}{MF}$
Suy ra : $\frac{AE.sin(\angle MAE)}{AF.sin(\angle MAF)}=\frac{ME}{MF}\Rightarrow \frac{sin(\angle MAE)}{sin(\angle MAF)}=\frac{ME.AF}{MF.AE}$
Chứng minh tương tự : $\frac{sin(\angle NBA)}{sin(\angle NBC)}=\frac{NF.BD}{ND.BF};\frac{sin(\angle PCB)}{sin(\angle PCA)}=\frac{PD.CE}{PE.CD}$
Nhân lần 3 đẳng thức trên vế theo vế :
$\Rightarrow \frac{sin(\angle MAE)}{sin(\angle MAF)}.\frac{sin(\angle NBA)}{sin(\angle NBC)}.\frac{sin(\angle PCB)}{sin(\angle PCA)}=\frac{ME.AF}{MF.AE}.\frac{NF.BD}{ND.BF}.\frac{PD.CE}{PE.CD}$
Áp dụng định lí Céva trong tam giác $ABC$ và $DEF$
$\Rightarrow \frac{NF.DP.EM}{ND.PE.MF}=1;\frac{BD.CE.AF}{CD.EA.FB}=1$
Suy ra tích của chúng cũng bằng $1$

$\Rightarrow \frac{sin(\angle MAE)}{sin(\angle MAF)}.\frac{sin(\angle NBA)}{sin(\angle NBC)}.\frac{sin(\angle PCB)}{sin(\angle PCA)}=1$
Gọi giao điểm của $AM,BN,CP$ với $BC,AC,AB$ là $H,K,G$

Mà : $\frac{BH}{HC}=\frac{S_{AHB}}{S_{AHC}}=\frac{AB.sin(\angle BAH)}{AC.sin(\angle CAH)}$
Tương tự với các đẳng thức còn lại về nhân tất cả vế theo vế :

$\Rightarrow \frac{BH.CK.AG}{HC.KA.GB}=\frac{BH.CK.AG}{HC.KA.GB}.\frac{AB.BC.AC}{AC.AB.BC}=\frac{sin(\angle MAF).sin(\angle NBC).sin(\angle PCA)}{sin(\angle MAE).sin(\angle NBA).sin(\angle PCB)}=1$

Áp dụng định lí Céva đảo
Suy ra : $AH,BK,CG$ đồng qui
Kết luận : $AM,BN,CP$ đồng qui. $(Q.E.D)$
P/s : Hình trên em bỏ, lấy hình dưới ạ !!

$d = 8.5$

$S = 42.5$

CM như sau

Dự đoán điểm rơi $x=y=\alpha $ và $z=\beta $

Ta đi tìm $\alpha ,\beta $ để sử dụng gt $x+y+z=3$

Ta có 

$x^{2}+\alpha ^{2}\geq 2x\alpha $

$y^{2}+\alpha ^{2}\geq 2y\alpha $

$z^{3}+\beta ^{3}+\beta ^{3}\geq 3z\beta^{2} $

Cộng theo vế ta đc $P\geq 2x\alpha +2y\alpha +3z\beta^{2} -2\alpha ^{2}-2\beta ^{3}$

Để sử dụng gt ta phải có $\alpha =\frac{3}{2}\beta ^{2}$ và $2\alpha +\beta =3$

Giải hpt tìm được $\alpha =\frac{19-\sqrt{37}}{12};\beta =\frac{-1+\sqrt{37}}{6}$

Khi đó tìm đc gtnn của P rất xấu xấp xỉ 2.92 tại $x=y=\alpha $ và $z=\beta $ đã tìm ở trên

Tại sao $\alpha =\frac{3}{2}\beta ^{2}$ !!???

Bài 3 :
b) Ta có :
$\sqrt{x-3}+\sqrt{y-4}\leq \sqrt{2(x+y-7)}=\sqrt{2}$
$\Rightarrow \max =\sqrt{2}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+y=8 & \\ x-3=y-4 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{7}{2} & \\ y=\frac{9}{2} & \end{matrix}\right.$

Giải bất phương trình : $\sqrt{x^{2}+x-1}+\sqrt{-x^{2}+x+1}\geq x^{2}-x+2$

bạn này rất hay nhân liên hợp nhưng không bao h xử lí phần còn lại sau khi nhân. trong nhiều bài toán phần đó mới là  vấn đề cần bàn chứ không phải lượng liên hợp

Xử lí phần lượng liên hợp chủ yếu là dựa vào điều kiện hoặc đơn giản hơn là giải $PT$

$\frac{10(x+1)}{\sqrt{x^{3}+1}+3(x+1)}-3=0\Leftrightarrow x+1=3\sqrt{x^{3}+1}\Rightarrow 9(x^{3}+1)=(x+1)^{2}\Rightarrow ...$

giải các phương trình và hệ phương trình sau:

a)$10\sqrt{x^3+1}=3(x^2+2)$

 

ĐKXĐ : $x\geq -1$
Nhận thấy $x=-1$ không là nghiệm của $PT$
$\Rightarrow x> -1$
$PT\Leftrightarrow 10\sqrt{x^{3}+1}-30x-30=3(x^{2}-10x-8)\Leftrightarrow 10.\frac{x^{3}+1-9(x+1)^{2}}{\sqrt{x^{3}+1}+3(x+1)}-3(x^{2}-10x-8)=0\Leftrightarrow (x^{2}-10-8)(\frac{10(x+1)}{\sqrt{x^{3}+1}+3(x+1)}-3)=0\Rightarrow x^{2}-10-8=0\Rightarrow \begin{bmatrix} x=5+\sqrt{33} & \\ x=5-\sqrt{33} & \end{bmatrix}$

sao bạn ra Q thế này được.

$gt\Rightarrow Q=x^{4}y^{4}+x^{4}+y^{4}+1$
Đặt $xy=t$
$\Rightarrow x^{4}+y^{4}=(x^{2}+y^{2})^{2}-2x^{2}y^{2}=((x+y)^{2}-2xy)^{2}-2t^{2}=(10-2t)^{2}-2t^{2}=2t^{2}-40t+100$
$\Rightarrow Q=t^{4}+2t^{2}-40t+101$

Mình làm thế này không bít có đúng không

$Q=(x^4+\frac{25}{4}-\frac{21}{4})(\frac{25}{4}+y^4-\frac{21}{4})$

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki

$Q\geq (\frac{5}{2}x^2+\frac{5}{2}y^2-\frac{21}{4})^2\geq (\frac{5}{4}(x+y)^2-\frac{21}{4})^2=\frac{841}{16}$

Dấu = xảy ra khi $x=y=\sqrt{2,5}$

Sai rồi !! $\min Q=45$ mới đúng chứ bạn !!
 

cho x,y là các số thực dương thỏa mãn $x+y=\sqrt{10}$

tìm min $Q=(x^4+1)(y^4+1)$

Đặt $xy=t$
$\Rightarrow Q=t^{4}+2t^{2}-40t+101=t^{4}-8t^{2}+16+10t^{2}-40t+40+45=(t^{2}-4)^{2}+10(t-2)^{2}+45\geq 45$
Vậy :
$\min Q=45\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} xy=2 & \\ x+y=\sqrt{10} & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} x=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2} & \\ y=\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2} & \end{matrix}\right. & \\ \left\{\begin{matrix} x=\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2} & \\ y=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2} & \end{matrix}\right. & \end{bmatrix}$
 

 

DIỄN ĐÀN TOÁN HỌC - VMF

------------------------

Hà Nội, ngày 16 tháng 06 năm 2013

ĐIỀU LỆ
Các cuộc thi giải toán Marathon năm 2014

 

c. Cách tính điểm:

Gọi
$t_{bd}$: là thời điểm bắt đầu trận đấu

$t_{lb1}$: là thời điểm có toán thủ đầu tiên làm bài đúng.

$t_{lb}$: là thời điểm post bài đúng của toán thủ làm bài

Các hiệu thời gian dưới đây tính theo đơn vị: g (giờ), làm tròn đến phần nguyên

* Gọi $D_{rd}$ là điểm của toán thủ ra đề:

$$D_{rd}= 4 \times \left (t_{lb1} - t_{bd} \right ) + 3\times n_{klb} + 2\times n_{mr} + d_{tl} + 15$$

Trong đó

$n_{klb}$ là số toán thủ không làm được bài

$n_{mr}$ là số mở rộng khác nhau của bài toán được nêu ra trong trận đấu (mỗi toán thủ có thể có nhiều mở rộng, nhưng $n_{mr}$ chỉ tính tổng số các mở rộng của tất cả các toán thủ, mở rộng giống nhau thì không tính)

$d_{tl}$ là điểm của phần thảo luận. Sau khi trận đấu kết thúc, các toán thủ nhận xét bài làm của nhau, mỗi một lần chỉ đúng lỗi sai của toán thủ khác, sẽ được 1 điểm thảo luận. Với mỗi lỗi sai, chỉ có nhận xét đúng đầu tiên được điểm. $d_{tl}$ là tổng số điểm thảo luận.

 

* Gọi $S$ là điểm của toán thủ làm bài.

$$S = \left [\frac{52 - \left (t_{lb} - t_{rd} \right )}{3} \right ]+3\times d+d_{mr}+d_{t}+d_{tl}$$

Trong đó:

$d$ là điểm bài làm theo thang điểm $10$. Trong trường hợp $d<3$ thì $S = d$

$d_{mr}$ là điểm cho phần mở rộng bài toán. Mỗi mở rộng hoặc tổng quát đúng của bài toán (kèm theo lời giải phần mở rộng đó) được $10$ điểm.

$d_t$ là điểm thưởng cho thí sinh giải được nhiều cách, cách giải có sáng tạo. Tổng điểm thưởng không vượt quá $10$ điểm.

- Ở mỗi trận, các toán thủ không làm bài sẽ được điểm phạt.

$$D_p=\left\{\begin{matrix}-1& \text{  khi  } S_{tl} \leq 5\\ -\left [\dfrac{S_{tl}}{10}  +0,5\right ]&\text{  khi  }S_{tl} > 5\end{matrix}\right.$$

Trong đó $S_{tl}$ là tổng điểm tích lũy tính

- Toán thủ làm bài mà làm sai hoàn toàn thì được $0$ điểm.

- Toán thủ tự sửa bài của mình sau khi trận đấu kết thúc sẽ bị $0$ điểm. Toán thủ tự ý sửa thảo luận của mình thì thảo luận đó không được tính điểm

 

Em nghĩ rằng khi đã có quy định chấm điểm dựa trên khoảng thời gian nộp bài, thì BQT phải đưa đề đúng thời gian đã công bố. Chứ post đề quá trễ sẽ khiến nhiều bạn hiểu lầm và offl diễn đàn đến tận hôm sau mới biết được đề, em thấy vậy thật bất công cho nhiều người quá

Em chỉ đóng góp ý kiến như vậy thôi ạ ! Mong BQT xem xét dùm !

Rất xin lỗi các toán thủ đã vì post đề chậm trễ, sau đây là đề thi trận 2 MSS:

Đề của toán thủ : Best Friend

 

$$\left\{\begin{matrix} 8x^{2}+12y^{2}-20xy=0 & & \\ 4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y & & \end{matrix}\right.$$

Thời gian làm bài tính từ: 23h ngày 24/1/2014

Ta có :
$\left\{\begin{matrix} 8x^{2}+12y^{2}-20xy=0 & (1)\\ 4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y &(2) \end{matrix}\right.$
$(1)\Rightarrow 4(2x-3y)(x-y)=0\Rightarrow \begin{bmatrix} 2x=3y & \\ x=y & \end{bmatrix}$
Xét : $2x=3y$
$(2)\Rightarrow 4x^{2}-6x+1-y^{2}+3y=0\Rightarrow 9y^{2}-9y-y^{2}+3y+1=0\Rightarrow 8y^2-6y+1=0\Rightarrow \begin{bmatrix} y=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{3}{4} & \\ y=\frac{1}{4}\Rightarrow x=\frac{3}{8} & \end{bmatrix}$
Thử lại các nghiệm trên đều thỏa.
Xét : $x=y$
$(2)\Rightarrow 4x^{2}-6x+1-y^{2}+3y=0\Rightarrow 3y^{2}-3y+1=0\Rightarrow 3(y-\frac{1}{2})^{2}+\frac{1}{4}=0\Rightarrow PTVN$
Phương trình trên vô nghiệm suy ra hệ vô nghiệm với trường hợp $x=y$
Vậy :
$(x;y)\in \left \{ (\frac{3}{4};\frac{1}{2});(\frac{3}{8};\frac{1}{4}) \right \}$

_________________
$d = 10$

$S = 43$



 

Bài này xem lại đề nhé

Cho $a=1,b=9,c=\sqrt{82}$, bất đẳng thức sai 

Em xin lỗi !! Đề đã fix nha anh !!

Bài 1 : Cho $a;b;c$ là các số nguyên dương phân biệt thỏa : $ab+bc+ac\geq 3k^2+1$. Chứng minh : $\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{3}-abc\geq 3k$
Bài 2 : Cho $a;b;c$ là độ dài 3 cạnh của tam giác. Chứng minh : $\sqrt[3]{\frac{a^{3}+b^3+c^3+3abc}{2}}\geq \max(a;b;c)$

Giải phương trình 

                              b)$13\sqrt{x^2-x^4}+9\sqrt{x^2+x^4}=16$

                            

$PT\Leftrightarrow 13\sqrt{x^{2}-x^{4}}-\frac{26}{5}+9\sqrt{x^{4}+x^{2}}-\frac{54}{5}=0\Leftrightarrow -13.\frac{x^{4}-x^{2}+\frac{4}{25}}{\sqrt{x^{2}-x^{4}}+\frac{2}{5}}+9.\frac{x^{4}+x^{2}-\frac{36}{25}}{\sqrt{x^{4}+x^{2}}+\frac{6}{5}}=0\Leftrightarrow (x^{2}-\frac{4}{5})[\frac{-13(x^{2}-\frac{1}{5})}{\sqrt{x^{2}-x^{4}}+\frac{2}{5}}+\frac{9(x^{2}+\frac{9}{5})}{\sqrt{x^{4}+x^{2}}+\frac{6}{5}}]=0\Leftrightarrow x^{2}-\frac{4}{5}=0\Leftrightarrow x=\pm \frac{2}{\sqrt{5}}$

Giải phương trình  a)$16x^4+5=6\sqrt[3]{4x^3+x}$

                            

$PT\Leftrightarrow 16x^{4}-1-6\sqrt[3]{4x^{3}+x}+6=0\Leftrightarrow 16(x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{2})(x^{2}+\frac{1}{4})-6.\frac{4x^{3}+x-1}{\sqrt[3]{4x^{3}+x}^{2}+\sqrt[3]{4x^{3}+x}+1}=0\Rightarrow (2x-1)[8(x+\frac{1}{2})(x^{2}+\frac{1}{4})-\frac{6(2x^{2}+x+1)}{\sqrt[3]{4x^{3}+x}^{2}+\sqrt[3]{4x^{3}+x}+1}]=0\Leftrightarrow 2x-1=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}$

Cho $a;b$ là các số tự nhiên thỏa : $503|(a^{2}+ab+b^{2})$. Chứng minh rằng : $\left\{\begin{matrix} 503|a & \\ 503|b & \end{matrix}\right.$