Câu 3:cchứng minh rằng:
$C=\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+.....+\frac{1}{\sqrt{n}}\leq 2\sqrt{n}-1$

Với $n\in \mathbb{N}^*$ ta có:
$\frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}<\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=\frac{2(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})}{(\sqrt{n}+\sqrt{n-1})(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})}=2(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})$
Từ đó bạn áp dụng vào dãy số ta sẽ được $C$ $<$ $2(\sqrt{n}-1)+1=2\sqrt{n}-1$

Cho hai đường tròn đồng tâm $O$ có bán kính $R$ và $r$ ($R>r$). $A$ và $M$ là $2$ điểm thuộc đường tròn nhỏ, qua $M$ vẽ dây $BC$ của đường tròn lớn sao cho $BC\perp AM$.
a) Tính $MA^2+MB^2+MC^2$ theo $R$ và $r$.
b) Chứng minh: trọng tâm $G$ của $\Delta ABC$ cố định.

Em chép đúng đề mà,có lẽ là đề sai.Nếu sửa lại đề như bạn nói thì làm ntn vậy?

ĐKXĐ: $x\neq 0,x\neq a+b$.
Ta có: $\frac{1}{a+b-x}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{x}\Leftrightarrow \frac{abx}{abx(a+b-x)}=\frac{(a+b-x)(bx+ax-ab)}{abx(a+b-x)}$
$\Rightarrow abx=(a+b-x)(bx+ax-ab)\Leftrightarrow abx+a^2x-a^2b+b^2x+abx-ab^2-bx^2-ax^2=0$
$\Leftrightarrow a(x^2-bx-ax+ab)+b(x^2-bx-ax+ab)=0\Leftrightarrow (a+b)(x^2-bx-ax+ab)=0$
$\Leftrightarrow (a+b)[x(x-b)-a(x-b)]=0\Leftrightarrow (a+b)(x-a)(x-b)=0$
Nếu $a+b\neq 0$ thì tập nghiệm của phương trình là : $S=$ {$a;b$}
Nếu $a=b=0$ thì tập nghiệm của phương trình là : $S=$ {$x|x\neq 0$}

Không em à, nó là 1 điểm cố định rồi. Vì vị trí điểm $A,M,D$ đều cố định

Vậy nếu đề bài cho điểm ...,... thuộc đường tròn mà không nói cố định hay di động thi ta hiểu đó là cố định hả anh? Để kết luận G cố định thì cuối cùng có cần nói $A, M, D$ cố định nữa không anh, hay chỉ cần $O$ là đủ.

$\angle AMD = 90^\circ$ mà em

Anh ơi, ở đây ta nói $G$ cố định, tức là $G$ cố định nhưng di động trên một đường tròn phải không anh?

a) Giải phương trình: $4\sqrt{x+1}=x^2-5x+14$
b) Tìm các giá trị nguyên $x, y$ thoả mãn đẳng thức: $(y+2)x^2+1=y^2$

2 đường tròn ngoài nhau thì không có công thức tổng quát dựa trên bk 2 đường tròn đâu em

Anh ơi, em sửa lại đề rồi, anh xem giúp em với!

Ta có $x^{2}-5x+14=x^{2}-6x+9+x+5=(x-3)^{2}+x+5\geq x+5\geq x+1+4\geq 4\sqrt{x+1}$
Dấu "=" xãy ra khi x=3

Bạn ơi cho mình hỏi vì sao $x+1+4\geq 4\sqrt{x+1}$

Cho $2$ đường tròn $(O;R)$ và $(O';R')$ tiếp xúc ngoài nhau ($R>r$). $AB$ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn
($A\in (O;R),B\in (O';R')$). Tính độ dài $AB$

Độ dài tiếp tuyến chung sẽ phụ thuộc vào 2 bán kính, và khoảng cách giữa 2 tâm đường tròn nữa đó em

Tiếp tuyến chung trong và tiếp tuyến chung ngoài đều không được hả anh?

Anh ơi, làm thế nào c/m được hai tam giác $AMK$ và $BO'K$ đồng dạng vậy anh

Hướng dẫn:
Dễ thấy, nếu tồn tại hàm số $f$ thỏa đề thì chỉ có một và chỉ một hàm $f$ thỏa đề. Ta chỉ cần chỉ ra sự tồn tại của hàm số $f$.
Đầu tiên, ta có nhận xét: Mọi số tự nhiên $x$ trong hệ thập phân, đều chỉ có duy nhất một cách biểu diễn dưới dạng nhị phân.
Hàm số $f$ xác định như sau: $f(n)$ là số chữ số $1$ trong cách viết hệ nhị phân của $n$. (1)
Hãy chứng minh (1) bằng quy nạp. Với chú ý: Nếu
\[
n = \overline {a_1 a_2 ...a_k } _{\left( 2 \right)} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2n = \overline {a_1 a_2 ...a_k 0} _{\left( 2 \right)} \\
2n + 1 = \overline {a_1 a_2 ...a_k 1} _{\left( 2 \right)} \\
\end{array} \right.
\]
Từ đó, do $1994 = \overline {11111001010} _{\left( 2 \right)}$ để $f(n)$ có GTLN với $1 \le n \le 1994$ thì \[
n = \overline {1111111111} _{\left( 2 \right)} = 1023
\]

Bạn ơi, bạn có thể chứng minh ($1$) bằng cách quy nạp dùm mình được không? Mình làm mãi mà vẫn không chứng minh được.

Hướng dẫn:
Dễ thấy, nếu tồn tại hàm số $f$ thỏa đề thì chỉ có một và chỉ một hàm $f$ thỏa đề. Ta chỉ cần chỉ ra sự tồn tại của hàm số $f$.
Đầu tiên, ta có nhận xét: Mọi số tự nhiên $x$ trong hệ thập phân, đều chỉ có duy nhất một cách biểu diễn dưới dạng nhị phân.
Hàm số $f$ xác định như sau: $f(n)$ là số chữ số $1$ trong cách viết hệ nhị phân của $n$. (1)
Hãy chứng minh (1) bằng quy nạp. Với chú ý: Nếu
\[
n = \overline {a_1 a_2 ...a_k } _{\left( 2 \right)} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2n = \overline {a_1 a_2 ...a_k 0} _{\left( 2 \right)} \\
2n + 1 = \overline {a_1 a_2 ...a_k 1} _{\left( 2 \right)} \\
\end{array} \right.
\]
Từ đó, do $1994 = \overline {11111001010} _{\left( 2 \right)}$ để $f(n)$ có GTLN với $1 \le n \le 1994$ thì \[
n = \overline {1111111111} _{\left( 2 \right)} = 1023
\]

Xin hỏi còn có cách nào khác nữa không? Mấy cái vấn đề bạn nếu trong này mình đều chưa học!!

Giải và biện luận phương trình

a) $\frac{x-a}{x+1}=\frac{x+3}{x-1}$

ĐKXĐ: $x\neq \pm 1$
Ta có phương trình trên tương đương với:
$(x-a)(x-1)=(x+3)(x+1)<=>x^2-x-ax+a=x^2+4x+3$
$<=>x(a+5)=-a-3$
Nếu $a = -5$ thì $0x=-8$ phương trình vô nghiệm
Nếu $a\neq -5$ thì $x=\frac{-a-3}{a+5}$
$x=\frac{-a-3}{a+5}$ là nghiệm của phương trình đã cho $<=> \frac{-a-3}{a+5}\neq 1$ và $\frac{-a-3}{a+5}\neq -1$ $<=> a\neq -4$
Đến đây, kết luận nữa là xong, các câu còn lại tương tự mà làm.

Tích của $2$ số lẻ liên tiếp, $2$ số chẵn liên tiếp có phải là số chính phương không? Chứng minh.

Giải như sau:
Gọi hai số lẻ (hai số chẵn) là $a,a+2$
Suy ra $a(a+2)=t^2 \Rightarrow a^2+2a=t^2 \Rightarrow a^2+2a+1=t^2+1 \Rightarrow (a+1)^2=t^2+1$ đến đây quá đơn giản

Đến đây thì nói luôn là ko tồn tại luôn hay là phải cm tiếp bạn

Cho $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ và $f(1)=1$;$f(2n)=f(n)$;$f(2n+1)=f(n)+1$. Tìm giá trị lớn nhất của $f(n)$ với $1\leq n\leq 1994$

$f(x)=1$ là sao hả bạn?

minh nhầm, mình sửa lại đề rồi đó bạn

ai giúp mình giải bài này với.chứng minh ($2^{2^{m}}$;$2^{2^{n}}$) với m$\neq$n

Bạn kiểm tra lại đề được không?

Bài 1: Cho a, b, c >0. CMR:
$\sqrt{\frac{b+c}{a}}+\sqrt{\frac{c+a}{b}}+\sqrt{\frac{a+b}{c}}\geq 2\left ( \sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}} \right )$

Sử dụng bất đẳng thức phụ $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}$ (với $x,y>0$)
Ta có: $(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2\leq 2(x+y) \Leftrightarrow \sqrt{x}+\sqrt{y}\leq \sqrt{2(x+y)}$ (với $x,y>0$)
Với $a,b,c$ là các số dương ta có:
$\sqrt{\frac{a+b}{c}}+\sqrt{\frac{b+c}{a}}+\sqrt{\frac{c+a}{b}}=\sqrt{\frac{a}{c}+\frac{b}{c}}+\sqrt{\frac{b}{a}+\frac{c}{a}}+\sqrt{\frac{b}{a}+\frac{c}{a}}+\sqrt{\frac{a}{b}+\frac{c}{b}}$
$\geq \frac{1}{\sqrt{2}}\left ( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{c}}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{c}} \right )+\frac{1}{\sqrt{2}}\left ( \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{a}} \right )+\frac{1}{\sqrt{2}}\left ( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}+\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{b}} \right )$
$=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{2}}\left ( \frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}} \right )+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{2}}\left ( \frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{c}} \right )+\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{2}}\left ( \frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}} \right )$
$\geq \frac{2\sqrt{2a}}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\frac{2\sqrt{2b}}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}+\frac{2\sqrt{2c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$
$\geq \frac{2\sqrt{2a}}{\sqrt{2(b+c)}}+\frac{2\sqrt{2b}}{\sqrt{2(a+c)}}+\frac{2\sqrt{2c}}{\sqrt{2(a+b)}}$
$=2\left ( \sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}} \right ) \Rightarrow$ $đpcm$

Từ dữ kiện 1 ta khai triển dc 3 cái nữa:
$\sqrt{x}+\sqrt{y} =\sqrt{z} \rightarrow x+y-z=-2\sqrt{xy}$
$\sqrt{x}-\sqrt{z} =-\sqrt{y} \rightarrow x+z-y =2\sqrt{xz}$
$\sqrt{y} -\sqrt{z} =-\sqrt{x} \rightarrow y+z-x =2\sqrt{yz}$
Thay vào ta có Q.E.D

Bạn có thể nói rõ cái này hơn không?

Một bài toán hay, nhưng nó thành xấu khi bạn post vô tổ chức như vậy, không có tí đk gì của $(x,y,z)$ cả ?
Giải như sau:
$$x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx-2x+2y=t^2$$
$$x^2+2x(y+z-1)+(y+z)^2+2y=t^2$$
$$\Delta_x'=(y+z-1)^2-(y+z)^2-2y=u^2$$
$$-4y-2z-1=u^2$$
$$\Rightarrow -4y-2z+1\geq 0$$
Và từ đó suy ra $-2(2y+z)+1$
Khi ấy $x_1,x_2=-(y+z-1)\pm\sqrt{-2(2y+z)+1}$ với $-2(2y+z)+1$ là số chính phương
Vậy mọi nghiệm là $\boxed{(x,y,z)=\left(-(y+z-1)\pm\sqrt{-2(2y+z)+1},y,z\right)}$ với $-2(2y+z)+1$ là số chính phương

P/S việc thiếu đk của bạn dẫn đến sự không áp dụng được một cách rất hay như sau
Biến đổi $A=(x+y+z)^2-2(x-y)=t^2$
Đến đây nếu có đk $x,y,z$ không âm, ta có thể dùng chặn kẹp giữa hai số chính phương liên tiếp, nhưng bạn không cho điều kiện đó thì xét cực kì vất vả, có khi còn không ra vì như ở trên mình chỉ ra vô số nghiệm nên cách này sẽ không ra được vì nó là cách thử và sai (xét miền, giới hạn nghiệm) thì chỉ tìm được hữu hạn nghiệm

Bạn ơi, nếu có thêm điều kiện như bạn nói thì giải tiếp như thế nào? Và chỗ này em chưa học nên không hiểu $$\Delta_x'=(y+z-1)^2-(y+z)^2-2y=u^2$$

Dễ có: $\frac{AMP}{ABC} = \frac{CPN}{ABC} = \frac{BMN}{ABC} = \frac{AM}{AB}. \frac{AP}{AC} = \frac{k}{(k+1)^2} $

Bạn ơi, bạn nói rõ hơn chỗ này được không? Mình không hiểu chỗ này cho lắm!

Bạn xem lại đề cho x=y=z=1/2 không thỏa

Mình nhầm, thanks bạn nha. Mình đã sửa lại đề rồi, bạn vào xem thử

Tìm $n\in \mathbb{N}$ để các số sau là số chính phương:
a) $9+2^n$ b) $3^n+9$ c) $n^4+2n^3+2n^2+n+7$