Toàn có một sợi dây dài $\frac{1}{2}$m, Toàn muốn cắt ra $\frac{3}{8}$m từ sợi dây đó mà không có thước đo. Hỏi Toàn phải cắt thế nào?

Chắc không phải là thế đâu. Mình nghĩ ý bạn ấy là thế này:
$(x+2)+(x+2^2)+(x+2^3)+...+(x+2^9)=x^{10}+7$
hay là $x^{10+7}$ nhỉ?

Ta có $y= \frac{x^3+3x-5}{x^2+2}= x+ \frac{x-5}{x^2+2}$.
Để $x,y \in \mathbb{Z}$ thì $x^2+2 \mid x-5$, suy ra $x^2+2 \mid (x-5)(x+5)$, nên $x^2+2 \mid 27$ hay $x^2+2 \in \{ \pm 1; \pm 3; \pm 9; \pm 27 \}$.
Lại có $x^2+2 \ge 2 \; \forall x \in \mathbb{Z}$ nên chỉ có thể $x^2+2 \in \{ 3,9,27 \}$.
Ta tìm được $x= \pm 1, \pm 5$. Thử lại thì thấy chỉ có $x=-1,x=5$ thỏa mãn. Đến đây dễ tìm $y$.

Bạn ơi cho mình hỏi cái dấu gạch thẳng đó có nghĩa là gì vậy và vì sao $x^2+2 \mid (x-5)(x+5)$ $\Rightarrow$ $x^2+2 \mid 27$

Giải phương trình nghiệm nguyên: $x^3-x^2y+3x-2y-5=0$

Bạn xem thêm ở đây nhé.

Cảm ơn bạn, nhưng mình làm theo mà không được. VD ở chỗ này:
@@1: Nếu máy tính hiện ra X= một số nguyên cụ thể nào đó hoặc là số vô hạn có tuần hoàn (VD:1,3333333...)

thì bạn ấn AC, sau đó ấn RCL + X thì máy sẽ hiện lên chính xác nghiệm đó của bạn (số nguyên hoặc phân số tối giản).

Hiện nay em đang học bồi dưỡng về giải toán bằng máy tính cầm tay Casio, từ lâu em nghe nói có thể giải phương trình bậc 4 bằng máy tính Casio, nhưng đến giờ vẫn chưa biết cách giải. Các anh chị có ai biết thì hướng dẫn dùm em với. Em đang dùng máy Fx-570MS.

Chắc hẳn các bạn yêu bất đẳng thức đều biết đến bài toán nổi tiếng sau đây của Vasile Cirtoaje. $$(a^2+b^2+c^2)^2\ge3(a^3b+b^3c+c^3a),$$ với $a,b,c$ là các số thực bất kỳ.
Có thể nói đây là một bài toán rất khó và vì thế những lời giải của nó cũng rất không "bình thường" và khó có thể nghĩ ra, trên diễn đàn toán học Mathlinks.ro anh Cẩn đã khẳng định rằng bài toán này có thể giải bằng Cauchy-Schwarz nhưng chưa công bố lời giải đó, mấy hôm trước mình cũng đã tìm được lời giải cho bài toán này bằng Cauchy-Schwarz kết hợp với AM-GM, không biết các bạn có bạn nào có lời giải mới cho bài toán này không ?

Mình làm thế này không biết có đúng không, mong mọi người góp ý.

Đặt $b=a+x, c=a+y$ khi đó bất đẳng thức đã cho tương đương với:
$f(a,x,y)=(x^2-xy+y^2)a^2+(x^3-5x^2y+axy^2+y^3)a+x^4-3x^3y+2x^2y^2+y^4\geq 0$
Dễ thấy đây là một tam thức bậc hai của $a$ với hệ số cao nhất không dương.
Ta có:
$\Delta _{f}=(x^3-5x^2y+4xy^2+y^3)^2-4(x^2-xy+y^2)(x^4-3x^3y+2x^2y^2+y^4)=-3(x^3-x^2y-2xy^2+y^3)^2\leq 0$
nên hiển nhiên $f(a,x,y)\geq 0$ và bài toán được chứng minh

Không biết cái này phải không ạ!
Sử dụng BĐT quen thuộc $(x+y+z)^2 \ge 3(xy+yz+zx)$ với $x=a^2+bc-ab;y=b^2+ca-bc;z=c^2+ab-ca$,chúng ta thu được:
$$\[\sum (a^2+bc-ab)]^2 \ge 3\sum (a^2+bc-ab)(b^2+ca-bc)$$
Bằng cách khai triển trực tiếp,ta thu được:
$$\sum (a^2+bc-ab)=a^2+b^2+c^2$$
$$\sum (a^2+bc-ab)(b^2+ca-bc)=a^3b+b^3c+c^3a$$
Như vậy,ta có:
$$(a^2+b^2+c^2)^2 \ge 3(a^3b+b^3c+c^3a)$$

Có thể kiểm tra được hằng đẳng thức sau:
$4(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)[(a^2+b^2+c^2)^2-3(a^3b+b^3c+c^3a)]$
$[(a^3+b^3+c^3)-5(a^2b+b^2c+c^2a)+4(ab^2+bc^2+ca^2)]^2+3[(a^3+b^3+c^3)-(a^2b+b^2c+c^2a)-2(ab^2+bc^2+ca^2)+6abc]^2\geq 0$
Từ hằng đẳng thức này, ta có thể suy ra ngay kết quả cần chứng minh./.

nhân đây cho lên bài toán mở rộng, cách làm hoàn toàn tương tự nhé
chứng minh rằng $\sqrt{a}$ là số vô tỉ nếu a là số tự nhiên không chính phương

Giả sử $\sqrt{a}$ là số tự nhiên, suy ra $\sqrt{a}=b (b\in \mathbb{N})$
$\Leftrightarrow a=b^{2}$
$\Leftrightarrow a$ là số tự nhiên chính phương
$\Leftrightarrow$ Mẫu thuẫn giả thiết
Vậy nếu $a$ là số tự nhiên không chính phương thì $\sqrt{a}$ là số vô tỉ.

bạn làm sai rồi,theo bạn thì chỉ chứng minh được $\sqrt{a}$ không là số tự nhiên thế nếu nó bằng 4/5 thì sao?

giả sử $\sqrt{a}=\frac{m}{n}$ sao cho $(m;n)=1$ và $m;n \in N^{*}$
$\Rightarrow a=\frac{m^{2}}{n^{2}}\Rightarrow an^{2}=m^{2}$$\Rightarrow m^{2}\vdots n^{2}\Rightarrow m\vdots n\Rightarrow (m;n)=n$
$\Rightarrow n=1 \Rightarrow a=m^{2}$ vô lý

Giả sử $\sqrt{a}$ là số hữu tỉ thì nó viết được dưới dạng:
$\sqrt{a}=\frac{m}{n}$ với $m,n\in \mathbb{N}, n\neq 0, (m,n)=1$.
Do a không là số chính phương nên $\frac{m}{n}$ không là số tự nhiên, do đó $n>1$.
Ta có $m^2=an^2$. Vì a là số tự nhiên nên $m^2\vdots n^2$. Gọi $p$ là một ước nguyên tố nào đó của $n$, thế thì $m^2\vdots p$. Như vậy $p$ là ước nguyên tố của $m$ và $n$, trái với $(m,n)=1$.
Vậy $\sqrt{a}$ phải là số vô tỉ.

Chứng minh rằng trong các tam giác vuông có cạnh huyền không đổi, tam giác vuông cân có chu vi lớn nhất.

Tìm Min của $C = x² + 2y² + 3z² - 2xy + 2xz - 2x - 2y - 8z + 2000$

Cho $a,b,c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
$T=a^2b(a-b)+b^2c(b-c)+c^2a(c-a)\geq 0$

Câu 10:
Cho tam giác DEF vuông tại D, hai trung tuyến DM, EN. Biết DM = 2,5cm; EN = 4cm. Khi đó DF $\approx$ ....cm. (Nhập kết quả đã làm tròn đến số thập phân thứ hai)
Câu 6:
Trong một tam giác vuông, đường phân giác của góc vuông chia cạnh huyền thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với 1 : 3. Đường cao ứng với cạnh huyền chia cạnh đó theo tỉ số nào ? Đáp số: (Viết kết quả dưới dạng a : b)

Đây chẳng phải là hai câu trong bài 1 vòng 3 violympic lớp 9 sao.
Câu 6 bạn $triethuynhmath$ đã giải rồi. Còn câu 10 mình xin được chém luôn.
Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $DEF$.
Ta có: $DE^2=EG.EN=\frac{2}{3}EN.EN=\frac{2}{3}EN^2$
Do $EN=4cm$ nên $DE^2=\frac{32}{3}$
Ta lại có $\Delta DEF$ vuông tại $D$ có $DM$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $EF$ nên $2DM=EF=2,5.2=5cm$
Áp dụng định lí Py-ta-go vào $\Delta DEF$ vuông tại D ta có:
$DE^2+DF^2=EF^2=>DF^2=EF^2-DE^2=5^2-\frac{32}{3}=\frac{43}{3}$
$=>DF=\sqrt{\frac{43}{3}}\approx 3,79$

Tìm GTNN: $A = x² + 2y² - 2xy + 2x - 10y$

Cho ba số dương $x, y, z$ thoả mãn $x + y + z = 1$. Chứng mình rằng: $\frac{3}{xy+yz+zx}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}>14$

Tích của $2$ số lẻ liên tiếp, $2$ số chẵn liên tiếp có phải là số chính phương không? Chứng minh.

Giải như sau:
Gọi hai số lẻ (hai số chẵn) là $a,a+2$
Suy ra $a(a+2)=t^2 \Rightarrow a^2+2a=t^2 \Rightarrow a^2+2a+1=t^2+1 \Rightarrow (a+1)^2=t^2+1$ đến đây quá đơn giản

Đến đây thì nói luôn là ko tồn tại luôn hay là phải cm tiếp bạn

kẻ AH, BK VUÔNG GÓC với BD
pthagore tam giác ABH=>$AH^2+BH^2=AB^2$
pythgore tam giác CDK:$CD^2=DK^2+CK^2$
=> vt=$AH^2+BH^2+DK^2+CK^2$=$AH^2+DH^2+CK^2+BK^2$
<=>$DK^2+BH^2$=$DH^2+BK^2$
<=>$DH^2+BK^2+2DH*HK+2BK*HK+2HK^2$=$DH^2+BK^2$
<=>$2HK*BD=0$
DĨ NHIÊN BD không thể =O
vậy HK= O
vậy ABCD hình thoi =>s=$\frac{AC.BD}{2}$$\leq$$\frac{AC^2+BD^2}{4}$
có lẻ bạn sai dấu = thành $\leq$
và dấu "=" xảy ra <=>AC=BD khi ABCD hình vuông
(bài mình chỉ vẽ thêm 2 đường cao )

Không đâu bạn ak, Với một tứ giác bất kì mình vẫn chứng minh được đó là dấu $\leq$

Chứng minh tứ giác $ABCD$ có $AB² + CD² = AD² + BC²<=> S_ABCD = \frac{AC^{2} + BD^{2}}{4}$

Ngày 28/9, Viện Nghiên cứu và chuyển giao công nghệ giáo dục (Liên hiệp các Hội khoa học kỹ thuật Việt Nam) đã công bố kết quả kiểm định chương trình dạy toán PoMath. Đây là nghiên cứu của TS Chu Cẩm Thơ - khoa Toán Tin ĐH Sư phạm Hà Nội cùng cộng sự.

PGS.TS, NGƯT Vũ Dương Thụy - Viện trưởng Viện nghiên cứu và chuyển giao công nghệ GD cũng khẳng định thêm, chương trình dạy toán PoMath đạt được các yêu cầuvà ở các mức độ sau: Phương pháp kiểm tra năng lực chính xác và khoa học; Phương pháp dạy học hướng cá nhân phù hợp với yêu cầu phát triển tâm lí, nhận thức và tư duy của học sinh (HS); Chương trình, nội dung phù hợp với yêu cầu dạy học môn toán cho HS của Bộ GD-ĐT và một số chương trình quốc tế tiên tiến khác.

TS Chu Cẩm Thơ trao đổi thêm với Hội đồng khoa học- Viện nghiên cứu và chuyển giao công nghệ GD về chương trình dạy toán PoMath.
“PoMath” là viết tắt tiếng Anh của “Improving Mathematical thinking with Personal Oriented progmam for children” - “Chương trình phát triển tư duy thông qua dạy học môn Toán theo định hướng cá nhân dành cho trẻ em”. Đó là kết quả nghiên cứu và ấp ủ từ năm 2002 của TS Chu Cẩm Thơ và các cộng sự thuộc khoa Toán tin - Trường ĐHSPHN.
Từ kinh nghiệm giảng dạy của mình, TS Thơ hiểu rằng trẻ em không hề ghét toán, mà chính cách tiếp cận toán học mà chúng ta đang thực hiện mang đến nỗi sợ hãi lớn hơn về toán cho trẻ. Với khát vọng giúp trẻ thoải mái khi học Toán, biến toán trở thành công cụ hỗ trợ cho sự thành công của các em chứ không phải biến các em thành “nô lệ” toán học, TS Thơ đã dành tâm huyết theo đuổi nghiên cứu. Chương trình đã được đối chiếu và nghiên cứu cẩn thận với các chương trình dạy học tiên tiến của Mỹ, Nhật, Đức, Singapore nhằm đáp ứng được yêu cầu về chuẩn quốc gia và quốc tế.
Mục tiêu của PoMath làkhắc phục tình trạng học “nhồi nhét”, thiếu sự khoa học và không hiệu quả như hiện nay. Khắc phục hiện tượng học hời hợt, quá dễ dãi, không dáp ứng được yêu cầu học lên bậc cao hơn. Giúp trẻ bồi lấp bồi lấp kiến thức và sự thiếu hụt của một số kĩ năng như: Kỹ năng tính toán nhanh, kỹ năng xử lý tình huống một cách thông minh, khả năng liên tưởng và hình dung về hình học không gian, kỹ năng hệ thống hóa kiến thức, kỹ năng ước lượng con số và tình huống thực tế, kỹ năng quan sát, so sánh, kỹ năng phân tích, lập luận. Bên cạnh đó, giúp trẻ phát triển được một hoặc một số khả năng tư duy như tư duy về số và cấu tạo số, tư duy về cấu trúc, tư duy thuật toán (để nhận thức và giải quyết những vấn đề theo một trình tự), tư duy hàm (về sự tương ứng của các đối tượng trong toán học và cuộc sống), tư duy logic, tư duy sáng tạo.

Hiện tại PoMath đã được triển khai dạy thí điểm tại buổi thứ hai ở nhiều trường tiểu học ở Hà Nội cũng như trung tâm. Khóa học chuẩn có thời lượng là 48 giờ (2 buổi/tuần),chia thành 5 cấp độ (từ 0-5).

Được biết, TS Chu Cẩm Thơ sinh năm 1981, tốt nghiệp khoa Toán Trường ĐH Sư Phạm Hà Nội năm 2003, được giữ lại làm giảng viên từ đó đến nay. Bảo vệ xuất sắc luận án tiến sĩ năm 2010; Chủ nhiệm 3 đề tài và công bố 11 bài báo khoa học về các đề tài nghiên cứu các mô hình dạy học tiên tiến, các phương pháp phát triển tư duy người học. Ngoài giảng dạy và nghiên cứu khoa học, TS Thơ cũng tham gia và đạt nhiều giải thưởng về công tác xã hội.

Cho $\Delta ABC$ vuông tại A ($AB<AC$), đường cao AH. Trên tia HC lấy điểm D sao cho $HD=HA$, từ O vẽ đường thẳng song song với AH gặp AC tại E. Gọi M là trung điểm BE.
C/m: $AH.BM=AB.HM+AM.BH$

$O$ là gì vậy bạn?

Cho $x$, $y$ là các số hữu tỉ thoả mãn đẳng thức $x^2+y^2+\left ( \frac{xy+1}{x+y} \right )^2 = 2$. Chứng minh rằng $\sqrt{1+xy}$ là một số hữu tỉ.
 

Cho tứ giác ABCD có M, N là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng MN < 1/2(AD + BC)

Bài này dễ thôi :
ta có MA = MB (gt)
ND = NC (gt)
Nên MN là đườn trung bình của hình thang ( nhưng đây không phải hình thang )
Nếu MN là đường trung bình của hình thang thì MN = 1/2(AD+ BC) nhưng đây là tứ giác nên MN nhỏ hơn ( đây là điều cần chứng minh )

Cho tứ giác ABCD có M, N là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng MN < 1/2(AD + BC)

Bạn xem lại đề thử xem, ở đây là $MN\leq \frac{1}{2}(AD+BC)$ chứ không phải là $MN<\frac{1}{2}(AD+BC)$ đâu
Gọi $E$ là trung điểm của $BD$.
Ta có $ME$ là đường trung bình của tam giác $ABD$ nên $ME=\frac{1}{2}AD$ ($1$)
$NE$ là đường trung bình của tam giác $BCD$ nên $NE=\frac{1}{2}BC$ ($2$)
Từ (1) và (2) $=>NE+ME=\frac{1}{2}(AD+BC)$.
Mặt khác $ME+NE\geq MN$ (Bất đẳng thức trong tam giác) nên $MN\leq \frac{1}{2}(AD+BC)$
Dấu $"="$ xảy ra khi $E,K,F$ thẳng hàng hay $AB//CD$ tức $ABCD$ là hình thang.

Cộng độ dài lần lượt ha chiều chao tam giác thì các cạn thỉ lệ với 3,4,5

Bạn có thể viết lại đề rõ hơn được không???

Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
$(y-2)x^2+(y^2-6y+8)x=y^2-5y+62$
--------------------------
p/s: mọi người giải chi tiết dùm mình tí nha!