$\frac{x^{2}-13x+22}{2x+(x-5)\sqrt{x-2}-4}:\sqrt{x-2}=\frac{1}{2}$ (1)

ĐK: $x> 2$

$(1)\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x-2}(x-11)}{2x+(x-5)\sqrt{x-2}-4}=\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x-2}(x-11)}{2(\sqrt{x-2})^{2}+(x-5)\sqrt{x-2}}=\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{x-11}{2\sqrt{x-2}+x-5}=\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow x-17=2\sqrt{x-2}$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 17\\ (x-17)^{2}=4(x-2) \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow x=27$

Đường tròn đường kính AB có M thuộc đường tròn. Tiếp tuyến của (O) ở A và M cắt nhau ở C. Đường tròn (I) đi qua M tiếp xúc AC ở C. CD là đường kình của (I). DH vuông góc với BC (H thuộc BC). DH cắt AB ở K. CO cắt (I) ở N

a, O, M, D thẳng hàng

b, tam giác COD cân

c, Tứ giác NHOK nội tiếp

d, $\Delta DHN\sim \Delta COB$

e, $\Delta NHO\sim \Delta DHC$

f, K là trung điểm OA

a) $CM$ vuông góc với $MD$, $CM$ vuông góc với $MO$ nên $O,M,D$ thẳng hàng.

b) Dễ thấy $CD//AB \Rightarrow \angle DCO=\angle COA=\angle DOC \Rightarrow \Delta COD$ cân tại $D$

c) Ta có tứ giác $CDHN$ nội tiếp nên $\angle HNO=\angle CDH=\angle HKO\Rightarrow KNHO$ là tứ giác nội tiếp

d) $\angle HND=\angle HCN=\angle CBO, \angle NDH=\angle OCB$

$\Rightarrow \Delta DHN\sim \Delta COB (g-g)\Rightarrow \frac{HN}{HD}=\frac{OB}{OC}$ (1)

e) Dễ dàng cm được $\Delta AOC \sim \Delta NCD \Rightarrow \frac{OA}{OC}=\frac{CN}{CD}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có $\frac{HN}{HD}=\frac{ON}{CD}(OA=OB, CN=ON)$

Do đó $\Delta NHO \sim \Delta DHC (cgc)$

f) Ta có $\angle NHO =\angle DHC=90^{\circ},\angle NKO +\angle NHO =180^{\circ}\Rightarrow \angle NKO=90^{\circ}$

Xét $\Delta AOC , NK//AC,NO=CN\Rightarrow KA=KO\Rightarrow đpcm$

p/s: bạn tự vẽ hình nhé

Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. CMR $\frac{ab}{c+1}+\frac{bc}{a+1}+\frac{ca}{b+1}\geq \frac{1}{4}$

Chắc bài này là dấu "$\leq$"

Ta có $a+b+c=1$ nên $\frac{ab}{c+1}=\frac{ab}{(a+c)+(b+c)}\leq \frac{ab}{4}(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c})$

Tương tự với $\frac{bc}{a+1}\leq \frac{bc}{4}(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c})$

$\frac{ca}{b+1}\leq \frac{ca}{4}(\frac{1}{c+b}+\frac{1}{b+a})$

$\Rightarrow \frac{ab}{c+1}+\frac{bc}{a+1}+\frac{ca}{b+1}\leq \frac{1}{4}(\frac{ab+bc}{a+c}+\frac{ab+ca}{b+c}+\frac{bc+ca}{a+b})=\frac{1}{4}$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

Cho trước số nguyên dương n lẻ. Tại mỗi ô vuông của bàn cờ kích thước n.n người ta viết 1 số +1 hoặc -1. Gọi $a_{k}$ là tích của tất cả những số ghi trên hàng thứ k ( tính từ trên xuống) và $b_{k}$ là tích của tất cả những số ghi trên cột thứ k ( tính từ trái sang).
CMR với mọi cách điền số như trên, đều có: $a_{1}+a_{2}+...a_{n}+b_{1}+b_{2}+...b_{n}\neq 0$

Theo giả thiết ta có $a_{k},b_{k}$ đều bằng 1 hoặc -1

Giả sử $\sum a_{k}+\sum b_{k}=0$

Suy ra trong các số $a_{k},b_{k}$, số các số bằng 1 bằng số các số bằng -1

Mà $a_{1}a_{2}...a_{n}b_{1}b_{2}...b_{n}$ bằng bình phương của tích tất cả các số trong bảng nên bằng 1

Suy ra trong các số $a_{k},b_{k}$, số các số bằng -1 phải chẵn

Do đó số các số $a_{k},b_{k}$  là tổng của hai số chẵn bằng nhau nên chia hết cho 4

Mà bảng có n hàng, n cột, nên số các số là 2n, n lẻ $\Rightarrow$ 2n không chia hết cho 4

Vậy ta có đpcm

Giải phương trình

$\sqrt{\frac{7}4{\sqrt{x}-1+x^{2}}}=(1-\sqrt{x})^{2}$

Cho $0<(x+y)^{2}+(y+z)^{2}+(z+x)^{2}\leq 2$

Tìm GTLN của

$4^{x}+4^{y}+4^{z}+ ln(x^{4}+y^{4}+z^{4})-\frac{3}{4}(x+y+z)^{4}$

Hỏi có bao nhiêu cách chia n điểm trên đường thẳng thành các tập gồm 1 hoặc 2 điểm kề nhau?

giải phương trình

$(x+1)\sqrt{x-3}+\sqrt[3]{x+4}-3x+5=0 (1) $

ĐK: $x\geq 3$

Ta có

$(1)\Leftrightarrow (\sqrt[3]{x+4}-2)+(\sqrt{x-3}-1)+(x\sqrt{x-3}-(3x-8))=0$

$\Leftrightarrow \frac{x-4}{(\sqrt[3]{x+4})^{2}+2\sqrt[3]{x+4}+4}+\frac{x-4}{\sqrt{x-3}+1}+\frac{(x-4)^{3}}{x\sqrt{x-3}+(3x-8)}=0$

Từ đây dễ dàng suy ra $x=4$ là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho

Cho $x,y,z >0$. Chứng minh rằng :

$\sqrt{x^{2}+xy+y^{2}}+\sqrt{y^{2}+yz+z^{2}}+\sqrt{z^{2}+zx+x^{2}}\geq \sqrt{3}(x+y+z)$

Xác định tham số $a$ để phương trình ẩn $x$ sau :

$x^{4}+2x^{2}+2ax+a^{2}+2a+1=0$ có nghiệm đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

1. Cho $\Delta ABC$, $M$ là điểm di động trên cạnh $BC$. $D$ và $E$ lần lượt là hình chiếu của $M$ trên $AB$, $AC$. Xác định vị trí của $M$ để $DE$ có độ dài ngắn nhất.

2. Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp trong đường tròn và có các đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $M$. Từ $M$ vẽ các đường vuông góc $MA'$,$MB'$,$MC'$,$MD'$ lần lượt đến các cạnh $AB$, $BC$, $CD$, $DA$.Chứng minh rằng $A'B'$ +$C'D'$=$A'D'$ +$B'C'$

Cho hình vuông lấy điểm I ở trong hình vuông sao cho $\Delta DIC$ cân tại I có $\angle IDC=15^{0}$. Chứng minh rằng $\Delta BAI$ đều

Vẽ $\Delta CIN$ đều , $N$ nằm trong $\Delta CIB$

Dễ thấy $\angle DIC =150^{\circ}$

Ta có $\Delta IDC = \Delta NBC$ (c-g-c)

$\Rightarrow \angle CNB =150^{\circ}$

$\Rightarrow \angle INB = 360^{\circ}-\angle INC-\angle BNC=150^{\circ}$

$\Rightarrow \Delta INB=\Delta CNB$(c-g-c)

Từ đó dễ dàng $\Rightarrow \angle IBC =30^{\circ}\Rightarrow \angle ABI =60^{\circ}$ (1)

Ta có $IB=BC=AB$ nên $\Delta AIB$ cân tại B(2)

Từ (1) và (2) suy ra đpcm.

p/s:  bạn tự vẽ hình nhé

Chứng minh rằng $n$ đường tròn trong mặt phẳng chia mặt phẳng ra không quá $n^{2}-n+2$ miền 

Cho $\Delta ABC$, $BD$ và $CE$ lần lượt là 2 đường phân giác trong của tam giác tại đỉnh $B$ và $C$. Trên đoạn thẳng $DE$ lấy một điểm M bất kì.Từ $M$ kẻ các đường vuông góc với $BC,CA,BA$ lần lượt tại $I,J,K$. Chứng minh rằng trong ba đoạn thẳng $MI,MJ,MK$ có một đoạn thẳng bằng tổng hai đoạn còn lại.

Hai công nhân được phân công làm một số dụng cụ trong cùng 1 thời gian. Người thứ nhất mỗi giờ làm tăng được 2 dụng cụ nên hoàn thành trước hai giờ.Người thứ 2 làm tăng được 4 dụng cụ nên hoàn thành trước thời hạn 3 giờ và làm thêm được 6 dụng cụ nữa.Tính số dụng cụ mỗi người được giao

Bài 1:(2 điểm)

a) Giải phương trình :                           $\sqrt{x+1}=x-2$

b)Tìm chiều dài của một hình chữ nhật có chu vi là $a$(mét),diện tích là $a$(mét vuông) và đường chéo là $3\sqrt{5}$(mét)

Bài 2:(2 điểm)

Cho phương trình $(\sqrt{x}-1)(x^2-5x+m-1)=0$ (1)

a)Giải phương trình (1) khi $m=-1$

b)Tìm m để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2},x_{3}$ thỏa

            $x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{1}^2+x_{2}^2+x_{3}^2+x_{1}.x_{2}+x_{2}.x_{3}+x_{3}.x_{1}=31$

Bài 3:(2 điểm)

a)Với $0< b< a$,hãy rút gọn biểu thức :

$P=(\frac{1}{\sqrt{1+a}-\sqrt{a-b}}+\frac{\sqrt{a+2+b}-\sqrt{a-b}}{b+1}-\frac{1}{\sqrt{1+a}+\sqrt{a-b}}):(1+\sqrt{\frac{a+2+b}{a-b}})$

b)Giải hệ phương trình   $\left\{\begin{matrix} (x-y)^2=\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\\x-y=xy-2 \end{matrix}\right.$

Bài 4:(1 điểm)

Có hai vòi nước A,B cùng cung cấp cho một hồ cạn nước và vòi C(đặt sát đáy hồ)lấy nước từ hồ cung cấp cho hệ thống tưới cây.Đúng 6 giờ,hai vòi A và B được mở;đến 7 giờ vòi C được mở;đến 9 giờ thì đóng vòi B và vòi C;đến 10 giờ 45 phút thì hồ đầy nước.Người ta thấy rằng nếu đóng vòi B ngay từ đầu thì phải dùng đến đúng 13 giờ hồ mới đầy.Biết lưu lượng vòi B là trung bình cộng của lưu lượng A và vòi C,hỏi một mình vòi C tháo cạn hồ nước đầy trong bao lâu?

Bài 5:(3 điểm)

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AC(AC=2a) sao cho tam giác ABC đều.Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và AD

a)Tính BC và CN theo a

b)Gọi H là trực tâm tam giác CMN,MH cắt CN tại E,MN cắt AC tại K.Chứng minh năm điểm B,M,K,E,C cùng thuộc một đường tròn(T)

Đường tròn (T) cắt BD tại $F(F\neq B)$,tính DF theo a

c)KF cắt ME tại I.Chứng minh KM tiếp xúc vời đường tròn ngoại tiếp tam giác MIF.Tính góc IND

Cho tam giác ABC(AB<AC) và các tam giác cân BAD,CAE(BA=BD,CA=CE) sao cho D nằm khác phía với C đối với AB,E nằm khác phía đối với B đối với AC và $\widehat{ABD}=\widehat{ACE}$.Gọi M là trung điểm của BC.Chứng minh MD=ME

Cho $\Delta ABC$. Đường tròn (O) cắt cạnh $BC$ tại $X,Y$; cắt cạnh $AC$ tại $Z,T$; cắt cạnh $AB$ tại $U,V$ sao cho $X,Y,Z,T,U,V$ là các đỉnh của một lục giác lồi, $XT\cap YU=A',ZV\cap TX=B',UY\cap VZ=C'$. Chứng minh $AA',BB',CC'$ đồng quy tại một điểm.

Cho $m,n$ là các số nguyên lớn hơn 1. chứng minh $m^{n}$ là tổng của $m$ số lẻ liên tiếp

Cho $\Delta ABC$ và $\Delta A'B'C'$ có AB = A'B', BC=B'C'. Chứng minh rằng nếu AC < A'C' thì góc B nhỏ hơn góc B'

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O).Gọi T là điểm chính giữa cung BC không chứa A.Lấy E là điểm bất kì trên AB.Gọi I là giao điểm ET với BC.Đường vuông góc với EI tại I cắt AC tại F.Chứng minh EF=BE+CF