Câu 1. Chứng minh dễ dàng bằng quy nạp

Câu 2. Thì chuyển Công thức truy hồi qua giới hạn do dãy bị chặn nên có GHHH.

sao đã chuyển qua giới hạn đc, bạn phải cm dãy đó tăng hoặc giảm chứ Cm sự hội tụ

 Tìm x,y nguyên để $E=\frac{x^3+x}{xy-1}$ là số nguyên dương

$(x^{3}y+xy)\vdots (xy-1)=>((x^{2}+1)(xy-1)+x^{2}+1)\vdots (xy-1)=>x^{2}+1\vdots (xy-1)=>x(x+y)\vdots (xy-1)$

mà $(x,xy-1)=1$

=>$x+y\vdots (xy-1)$

$E>0=>x(xy-1)>0$

TH1: $x>0;xy>1=> x,y>0$

$x+y=k(xy-1)$

=>$k>0$; Xét 1 số TH gì gì đó để cm $x+y<2(xy-1)$ =>$k=1$

TH2: $x<0;xy-1<0$

TH này có vẻ dài dài, bạn xem lại tìm nghiệm nguyên dương hay nguyên

      Bài 3: Cho tam giác ABC nhọn có BC>CA. Gọi O,H lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trực tâm của tam giác ABC; F là chân đường cao hạ từ C của tam giác ABC. Đường thẳng vuông góc với OF tại F cắt đường thẳng chứa cạnh AC tại P. Chừng minh $\widehat{FHP}=\widehat{BAC}$

tam giác $ABC$

Kéo dài $FC$ cắt $(O)$ tại điểm thứ $2$ là $M$

Kéo dài $PF$ cắt $MB$ tại $K$

Xuất hiện bài toán con bươm bướm

suy ra $F$ là trung điểm $PK$

mà $F$ là trung điểm $MH$

=> $MB//HP$

=> $\angle HMB=\angle MHB=\angle PHF$

=> $\angle BAC=\angle PHF$

P/s:Mà anh có phải: Nguyenphuctang ko

Ông này không phải Nguyenphuctang đâu , bạn nghĩ gì????

P/s: với lại cái fermat lớn ở chữ ký của bạn phát biểu sai rồi , là không có nghiệm nguyên khac 0( bây giờ mới có dịp nhắc)

        Lời giải (Theo sách các câu chuyện toán học tập 2)

     Ta có: Với chú ý trên thì: $z^n - y ^n = (z-y)(z^{n-1}+z^{n-2}y+z^{n- 3}y^2+...+y^{n-1})>1nx^{n-1} > x^n$  (2)

Từ (2) ta có: $x^n+y^n < z^n$                (3)

Từ (3) ta thấy định lý lớn Fermat là đúng bởi vì (3) khác (1)

   Bạn có nhận xét gì về bài giải trên?

Bạn luyên thuyên vừa chứ có $z>x$ thì suy ra $z^{n-1}>x^{n-1}$ kiểu gì ????

P/s: Tôi nghĩ bạn nên bớt spam và đi vào những cái thực tiễn, muốn mở rộng phát triển cái gì thì tìm hiểu kĩ chút trước khi đăng

Cho hình vuông $ABCD$ có $O$ là tâm$.$ Trên tia đối tia $AC$ lấy điểm $M$$,$ gọi $H$ là hình chiếu của $M$ lên $BC$$.$ Gọi $E$ là giao điểm của $HO$ với $CD$ và $F$ là trung điểm của $AD$$.$ Chứng minh rằng ba điểm $E,F,M$ thẳng hàng$.$ 

Có hứng làm tí hình

Kéo dài $MF$ cắt $HO$ tại $E'$ , Hạ $OP\perp CD$

Có $\frac{E'O}{E'H}=\frac{FO}{MH}$

Có $\frac{PO}{HC}=\frac{EO}{HE}=\frac{FD}{HC}$

=> $\frac{E'O}{HE'}=\frac{EO}{HE}=>\frac{EO}{HO}=\frac{E'O}{HO}$

=> $OE=OE'=> E\equiv E'$

=> ....

 

Dãy 2, 3, 5, 6, 7, 10, ... Chứa các số hạng không là số chính phương cũng không là lập phương, viết theo thứ tự tăng dần. Hỏi số thứ 2005 của dãy là bao nhiêu?

 

Bài này sử dụng nguyên lý bù trừ

Gọi $\left \lfloor x \right \rfloor$ là phần nguyên của $x$

Gọi số thứ $2005$ của dãy số là $a$

số lượng các số chính phương nhỏ hơn $a$ là $\left \lfloor \sqrt{a} \right \rfloor+1$

số lượng các số là lập phương của số tự nhiên nhỏ hơn $a$ là $\left \lfloor \sqrt[3]{a} \right \rfloor+1$

số lượng các số vừa chính phương vừa lập phương ( tức là lũy thừa bậc $6$ của số tự nhiên ) là$\left \lfloor \sqrt[6]{a} \right \rfloor+1$

Có  $a-(\left \lfloor \sqrt{a} \right \rfloor+1+\left \lfloor \sqrt[3]{a}+1 \right \rfloor)+\left \lfloor \sqrt[6]{a} \right \rfloor+1=2015$

Giải tìm $a$

P/s : Nếu biết được trước giá trj của $a$ , thay luôn giá trị $a$ vào cái phương trình tổ bố kia rồi phán luôn đúng là xong

Còn chưa biết thì dò bằng máy tính xong phán, chứ giải ...mệt

Bài 3:(ITOT 2016???)

Có $N$ bạn học sinh đứng xếp thành $1$ hàng thẳng. Chiều cao của các bạn ấy đôi một phân biệt. Thầy giáo muốn thực hiện việc chuyển chỗ theo quy tắc sau. Mỗi lần chuyển chỗ , trước hết các bạn học sinh được chia thành các nhóm với chiều cao tăng dần từ trái qua phải (mỗi nhóm có thể gồm $1$ bạn) sao cho số các nhóm là ít nhất. Sạu đó thầy giáo xếp lại sao cho thứ tự các bạn trong nhóm bị đảo ngược nghĩa là trong mỗi nhóm các học sinh sẽ đứng theo chiều cao giảm dần từ trái qua phải.(Sau mỗi bước chuyển chỗ thì việc chia nhóm được lặp lại theo quy tắc trên) Chứng minh thầy giáo sau $N-1$  bước đổi chỗ như vậy, các bạn học sinh sẽ đứng theo chiều cao giảm dần từ trái qua phải.

Bài 1: Ta xếp 2017 số$a_{1};a_{2};a_{3};...;a_{2017}$ lên vòng tròn theo chiều kim đồng hồ ( cho dễ nhìn)

Như vậy theo đề bài thì $\exists 1$ số trên đường tròn sao tổng k số về 2 phía của số đó >0

Vì giả thiết đúng với mọi k nên cho $k=2$

=> $\exists a_{i}$ mà $a_{i}+a_{i-1}>0;a_{i}+a_{i+1}>0$

=>$a_{i}=a_{i-1}=a_{i+1}=1$

Tức là nếu với 1 số lượng số bằng $-1$ mà $\exists$ 1 dãy không có 3 số 1 đứng liền nhau sẽ vô lý

Dễ thấy nếu có $673$ số bằng $-1$

Có dãy $-1;1;1;-1;1;1;...;-1;1;1;-1$ không thỏa mãn bài

Nếu có $672$ số $-1$ khi đó tồn tại $3$ số $1$ đứng cạnh nhau

chọn $a_{i}=1$ khi đó $\exists a_{i}$ thỏa mãn bài

P/s: Theo mk hiểu đề bài  thì là dãy số trên đúng với mọi cách chọn với số lượng các số -1 hay tìm sao cho $\exists$ 1 dãy với số lượng các số  -1 tm bài ???

Cho $3$ hình tròn đường kính $1$ và $1$ hình vuông cạnh $1$ cùng nằm trên một mặt phẳng. CMR: dù có đặt $3$ hình tròn ở vị trí nào thì cũng tồn tại một điểm thuộc hình vuông mà không thuộc bất kỳ hình tròn nào trong $3$ hình trên.

Giả sử ngược lại nghĩa là tồn tại cách đặt $3$ đường tròn trên mà tất cả các điểm thuộc hình vuông đều thuộc những hình tròn đó

Xét $4$ đỉnh của hình vuông giả sử là $A,B,C,D$

Theo Đi dép lê có $2$ đỉnh $\in$ cùng $1$ trong $3$ đường tròn gọi đó là đường tròn (1)

mà khoảng cách giữa chúng là $1$ => $\exists 1$ đường tròn mà đường kính của nó chính là cạnh hình vuông giả sử đó là cạnh $AB$

Xét điểm $E\in AD;F\in BC;G\in CD$ sao cho $DE=0.9;FC=0.95;G$ là trung điểm của$CD$

với lưu ý tất cả các điểm này sẽ ko thuộc đường tròn (1)

Theo Đi dép lê với $2$ đường tròn còn lại sẽ có $2$ điểm $\in$ cùng $1$ đường tròn

Mà khoảng cách giữa chúng đều$> 1$ => Ko thể có $2$ điểm nào cùng $\in$ cùng 1 đường tròn đường kính $1$

1) Cho các số a,b,c thoả mãn điều kiện $a+2b+5c=0$. Chứng minh phương trình $a²+bx+c=0$ có nghiệm.
 

Bạn xem lại đây là đề chung hay chuyên vậy chứ mk nghĩ đề chuyên phải có tổ hợp chứ

Bài 13: Cho các đa thức $P(x)$ và $Q(x)$ thỏa mãn $P(x)=Q(x)+(x^2-x+1).Q(1-x)$ với mọi $ x \in \mathbb{R}$. Biết rằng các hệ số của $P(x)$ là các số nguyên không âm và $P(0)=$. Tính giá trị $Q(2017)$.

 

Bài 14:  Cho đa thức $P(x)=x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ (với $a,b,c,d$ là các số thực) thỏa mãn $P(1)=3,P(2)=6,P(3)=11$. Tính $S=10P(4)+P(-2)$.

 

Bài 15: Cho 2 đa thức P(x) và Q(x) thảo mãn P(x)=Q(x) + Q(1-x) với mọi số thực x. Biết rằng các hệ số của đa thức p(x) là các số tự nhiên và P(0)=0. Tính P(P(2017)).

Bài 13: $P(0)=.$ là sao bạn

Bài 14 : $Q(x)=P(x)-x^{2}-2$

$P(x)$ là đa thức monic và bậc là 4 =>$Q(x)$ là đa thức monic và bậc là 4

$Q(1)=Q(2)=Q(3)=0$

=>$Q(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x+a)(a\in \mathbb{R})$

=>$P(x)=...$

Thay vào tính nó tự triệt tiêu $a$ đi

Bài 15:$P(x)=Q(x)+Q(1-x)$

Thay $x$ bởi $1-x$=> $P(1-x)=Q(1-x)+Q(x)$

$P(0)=0=>P(1)=0$

=> tổng tất cả hệ số bằng 0

mà các hệ số là số tự nhiên => tất cả hệ số của $P(x)$ đều bằng nhau và bằng $0$

=>$P(x)=0\forall x$

Mình xin đóng góp cho Topic một số bài:

Bài 16: Giả sử $f(n+1)=(-1)^{n+1}.n-2f(n)$ ; n=1,2,3,....Và f(1) =f(2016) . Tính $$ f(1)+f(2)+....+f(2015)$$

Bài 17: Cho P(x) =0là 1 phương trình trong đó P(x) là 1 đa thức với hệ số nguyên và có ít nhất 1 nghiệm nguyên. Giả sử $P(2)=13;P(10)=5$ Tính nghiệm của PT

Bài 18: Cho đa thức bậc 2000 thỏa mãn $f(n)=\frac{1}{n}$ ; n=1,2,...,2001. Tính $f(2002)$

 

Bài 16: Thay $n$ với các giá trị từ$1$ đến $2015$ rồi cộng hết lại

Bài 17: Nghiệm đó là ước của hệ số tự do

Bài 18: đặt  $Q(x)=x.f(x)-1$

$Q(x)=0$ có 2001 nghiệm là $1,2,3,...,2001$ và có bậc là 2001

=>$Q(x)=(x-1)(x-2)...(x-2001)$

=> $Q(2002)=...$

=>....

Bài 8: Một tập số nguyên không âm ${x,y,z}$ với $z>y>x$ thỏa mãn ${z-y;y-x}={1699;1969}$ được gọi là tập đặc biệt . Chứng minh tập các số nguyên không âm có thể phân hoạch thành các tập đặc biệt

P/s: Số trên chỉ mang tính tượng trưng

Cm không tồn tại một dãy tăng thực sự các số nguyên $\geq 0$ $a_{1}; a_{2};...$ sao cho mọi số tự nhiên m,n đều có $a_{mn}=a_{m}+a_{n}$

 LATEX XUẤT HIỆN LỖI

Giả sử tồn tại dãy tăng đó tức là với bộ i<j thì a_i<a_j

Xét chỉ số nguyên dương $k$ đủ bé tùy ý

Khi đó $a_{1}+a_{k}=a_{k};a_{2}+a_{k-1}=a_{2(k-1)}$

dễ thấy $k$<$2(k-1)$ => $a_{k}<$a_{2(k-1)}$

=>$a_{1}+a_{k}$<$a_{2}+a_{k-1}$

=>$a_{k}-a_{k-1}$<$a_{2}-a_{1}$ => $a_{k}-a_{k-1}$ giảm thực sự so với $a_{2}-a_{1}$

như vậy nếu ta có $a_{2}-a_{1}=m$ ($m$ là số hữu hạn nào đó) => $m$ giảm thực sự

thì đến 1 lúc nào đó tồn tại  2 chỉ số mà $a_{n+1}-a_{n}\leq 0$ (tức là lúc đấy m đã giảm về 0 hoặc nhỏ hơn)

=> mâu thuẫn với giả sử

Xác định đa thức 3 biến $P(x,y,z)$ với các hệ số nguyên thỏa mãn tính chất sau :Số nguyên dương $n$ không là số chính phương khi và chỉ khi có một bộ ba số nguyên dương $(x,y,z)$ sao cho $P(x,y,z)=n$

Trong một đa giác lồi có diện tích S và chu vi P, có thể đặt được hình tròn có R=$\frac{S}{P}$ ko?

Gọi đa giác đó là $A_{1}A_{2}A_{3}...A_{n}$

Giả sử có thể làm được điều đó

tức là có thể đặt được 1 đường tròn $(O;R)$

gọi $a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n}$ lần lượt là k/c từ $O$ đến$A_{1}A_{2},A_{2}A_{3},....,A_{n}A_{1}$

=> $R\leq min(a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n})$ (vì nếu có 1 cái nhỏ hơn thì nó chòi ra ngoài)

$a=min(a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n})$

$=>\frac{S}{P}\leq a$

mà $2S\geq aP$ (nhớ là a là cái nhỏ nhất nên nó thừa  sức lớn hơn)=> vô lý

P/s: Đề cho $R=\frac{S}{P}$ hơi lỏng (để $R=\frac{2S}{P}$ thì tồn tại <=> nó là đa giác ngoại tiếp 1 đường tròn)

Có ai biết thông tin biểu điểm không, nếu có cho mk xin với nhé

Tại sao các số trên đều là hợp số 

Có các phản chứng, ví dụ $n=1$ thì $(n+1)!+3=5$ là số nguyên tố mà 

Đề bài yêu cầu chỉ ra tồn tại hay không tức là tôi đã chỉ ra 1 dãy tm bài, n=1 ko được cho n bằng 1 tỷ thử xem tm mà

bạn xem số thứ nhất chẵn , số thứ 2 chia hết cho 3 , số thứ 3 chia hết cho 4, ...., số thứ n chia hết cho n+1

Bài 142: Có thể tìm được hay không 1 dãy số tự  nhiên gồm 2018 số liên tiếp mà trong dãy đó không có số nào là số nguyên tố.

Mk trả lời cho bạn tổng quát n số luôn nè

Dãy $(n+1)!+2;(n+1)!+3;(n+1)!+4;...;(n+1)!+(n+1)$

là dãy gồm n số liên tiếp mà tất cả các số đều là hợp số

Chả hiểu câu hỏi là ý gì ???

Bài 98 Kí hiệu $\tau (n)$ là số lượng các ước số tự nhiên của $n$. CM với mọi $n$ nguyên dương ta luôn có$\tau (n)^{2}<4n$

Bài 99 Cho $a,b$ nguyên dương sao cho $\frac{a^{2}b+a+b}{ab^{2}+b+3}$ là số nguyên dương .CM $9\mid ab$

Chúc mừng topic đạt 100 bài

Bài 100 (Bài này khó nhô não)

Cho số nguyên tố$p$  sao cho $p\equiv 1(mod4)$ và số nguyên dương $a$ thỏa mãn $(a,p)=1$

Tính $\sum_{k=1}^{\frac{p-1}{2}}\left \{ \frac{ak^{2}}{p} \right \}$

Vì đã lâu nên mk xin đưa ra đáp án bài 98

Bài 98

Có nếu $a\mid n$ thì $b=\frac{n}{a}\mid n$

ta chia các ước số nguyên dương của $n$ thành các cặp là $a< \sqrt{n}$ (gọi là số A) và $b=\frac{n}{a}$ (gọi là số B)

=> số các số A=số các số B

TH1: $n$ không là SCP

=>=> $\tau (n)=$ 2 lần số các số A

Khi  đó tất cả số A đều $< \sqrt{n}$

Gọi d là số lớn nhất trong các số A => $d\leq \left [ \sqrt{n} \right ]< \sqrt{n}$

Mọi số A đều thuộc tập $\left \{ 1,2,3,...,\left [ \sqrt{n} \right ] \right \}$ nên số các số A $< \sqrt{n}$

=>$\tau (n)<2\sqrt{n}$

TH2: $n$ là SCP

=>$\sqrt{n}$ là ước của n => các số A $\leq \sqrt{n}-1$

=>số các số A$\leq \sqrt{n}-1$

=> $\tau (n)\leq 2(\sqrt{n}-1)+1< 2\sqrt{n}$  (cộng 1 ở đây là thêm cái thằng $\sqrt{n}$ )

 => xong

Cho số thực $\lambda \in (0;1)$ Chứng minh mọi nghiệm phức của đa thức

$$f(x)=\sum^{n}_{k=0} \begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix}\lambda^{k(n-k)}x^k$$

đều có module bằng 1

P/s: China TST

Bài này mới đọc thấy đăng ở trên Aops : Problem 5 test 4 day 2 ChinaTST 2018

P/s: Bọn tàu khựa thi lắm thật 4 test mỗi test 2 day luôn

Bài tổ hợp trong đề HSG 12 Cà Mau

Bằng quy nạp chứng minh đc số hạng lớn nhất của tập $X_{k}$ là$k^{2}$

Đặt $T_{n}=1+2+3+4+...+n^{2}$

Như vậy tổng các số ở tập $X_{k}$ là $S_{k}=T_{k}-T_{k-1}$

có $T_{k}=\frac{k^{2}(k^{2}+1)}{2}$

=> $T_{k-1}=\frac{(k-1)^{2}((k-1)^{2}+1)}{2}$

=> $S_{k}=\frac{k^{4}+k^{2}-(k-1)^{4}-(k-1)^{2}}{2}$

Sử dụng công thức trên để cm $S_{k}$ ko là SCP với $k$ lẻ và >2

Bài 107:Cho a,b,c,d là các số tự nhiên sao cho $b^{2}+1=ac,c^{2}+1=bd$. Chứng minh rằng a=3b-c, d=3c-b

Thấy bài này có vẻ hay , mà chưa thấy ai giải

từ giả thiết suy ra $a,b,c,d$ là số nguyên dương

giả sử $a+c$ chia $b$ dư $r$ => $a+c=bm+r$

=> $b^{2}+1=c(mb+r-c)$

=> $b^{2}+c^{2}-mbc+1=rc$

mà theo gt ta có $b\mid c^{2}+1;c\mid b^{2}+1$

=> $bc\mid b^{2}+c^{2}+1=>rc\mid bc=>r\mid b=>r=0$ (vì r<b)

=> $b^{2}+c^{2}+1-mbc=0$ có nghiệm nguyên dương $(b;c)$ với m nguyên dương

Theo nguyên lý cực hạn tồn tại bộ nghiệm $(b_{0};c_{0})$ mà $b_{0}+c_{0}$ là nhỏ nhất

ta thấy $(b_{0};c_{0})$ là 1 nghiệm của PT thì $(c_{0};b_{0})$ cũng là nghiệm của PT . KMTTQ giả sử $b_{0}\geq c_{0}$

=> $b_{0}$ là 1 nghiệm của PT bậc 2 

  $b^{2}-b.mc_{0}+c_{0}^{2}+1=0$  (1)

=> PT (1) còn 1 nghiệm khác là $b_{1}$ theo giả sử như trên thì $b_{1}+c_{0}\geq b_{0}+c_{0}=> b_{1}\geq b_{0}$

AD Vi-ét ta có

$b_{1}+b_{0}=mc_{0};b_{1}b_{0}=c_{0}^{2}+1$

Từ đây suy ra $b_{0},b_{1}$ đều là số nguyên dương

$c_{0}^{2}=b_{1}b_{0}-1\leq b_{0}^{2}(b_{0}\geq c_{0})$

Nếu $b_{1}=b_{0}=>b_{0}^{2}=c_{0}^{2}+1=>m=...$

Nếu $b_{1}>b_{0}=>b_{1}b_{0}-1>(b_{0}-1)^{2}$=>$c_{0}^{2}$ là scp và bị kẹp giữa 2 SCP liên tiếp => $b_{0}=c_{0}$

=>$m=3$

m=3,r=0=>$a+c=3b$

 tương tự với cái còn lại

P/s: Đánh LaTex bài này xong mà muốn gãy tay,

Mà bài 98.99.100 mk đăng ko ai giải ah

Thấy bài này năm đó thành phố mình ít người giải được nên post lên

Bài 95: Cho 1000 số nguyên dương a₁,a₂,...,a₁₀₀₀ sao cho $1<\leq a_{k}\leq k$ với mọi k=1,2,..,1000 và a₁+a₂+...+a₁₀₀₀ là số chẵn. Hỏi trong các số +-a₁ +- a₂ +-...+-a₁₀₀₀ có số nào =0 không? Giải thích (PTNK 2000)

Chả hiểu câu hỏi là ý gì ???

Bài 98 Kí hiệu $\tau (n)$ là số lượng các ước số tự nhiên của $n$. CM với mọi $n$ nguyên dương ta luôn có$\tau (n)^{2}<4n$

Bài 99 Cho $a,b$ nguyên dương sao cho $\frac{a^{2}b+a+b}{ab^{2}+b+3}$ là số nguyên dương .CM $9\mid ab$

Chúc mừng topic đạt 100 bài

Bài 100 (Bài này khó nhô não)

Cho số nguyên tố$p$  sao cho $p\equiv 1(mod4)$ và số nguyên dương $a$ thỏa mãn $(a,p)=1$

Tính $\sum_{k=1}^{\frac{p-1}{2}}\left \{ \frac{ak^{2}}{p} \right \}$

Bài 91: Tìm tất cả các cặp số (p, n) với p là số nguyên tố và n là số nguyên dương thỏa mãn:

$p^3-2p^2+p+1=3^n$

easy to prove $n$ chẵn

=>$n=2k$

=> $p(p-1)^{2}=(3^{k}-1)(3^{k}+1)$

TH1  $3^{k}-1$ chia hết cho p

=> $3^{k}-1=px ;3^{k}+1=px+2$ ($x$ nguyên dương)

thay vào có

$(p-1)^{2}=x(px+2)$

<=> $p^{2}-p(x^{2}+2)+(1-2x)=0$

coi đây là phương trình bậc $2$ với ẩn $p$

có $\Delta =(x^{2}+2)^{2}+4(2x-1)$ là số chính phương

=> $x^{4}+4x^{2}+8x$ là số chính phương

Xét 1 số TH của $x$ để kẹp biểu thức trên giữa bình phương của 2 đa thức (tự túc )

TH2: Tương tự như TH1

TOPIC tiếp tục với các bài toán số học hấp dẫn nào:

88) Có hay không các số nguyên $x,y,z$ thỏa mãn: $\left | x-2005y \right |+\left | y-2007z \right |+\left | z-2009x \right |=2011^{x}+2013^{y}+2015^{z}$

Nếu $x,y,z$ nguyên không âm thì vế trái chẵn, vế phải lẻ (vô lý)

Nếu trong 3 số $x,y,z$ có 1 số <0

Nếu $x\geq ,y\geq 0,z<0$

=> $2011^{x}+2013^{y}< VT <2011^{x}+2013^{y}+1$

=> VT ko là số nguyên , VP là số nguyên => vô lý

Tượng tự với TH 2 số <0 và 3 số <0 thì kẹp chúng giữa 2 số nguyên liên tiếp thì ko phải số nguyên

TOPIC tiếp tục với các bài toán số học hấp dẫn nào:

89) Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn: $x^{3}+x^{2}y+xy^{2}+y^{3}=4(x^{2}+y^{2}+xy+3)$

$(x^{2}+y^{2})(x+y)=4(x^{2}+y^{2})+4xy+12<7(x^{2}+y^{2})  voi  x^{2}+y^{2}>12$

=> x+y<7 ....