$f(x)+f(1-x)=1$

$\Rightarrow S=49.1 +f(\frac{50}{100})=49.1 +f(\frac{1}{2})=49+\frac{1}{2}=49\tfrac{1}{2}$

Cho $f(x)=\frac{x^2}{1-2x+2x^2}$ Tính tổng: 

$S=f(\frac{1}{100})+f(\frac{2}{100})+f(\frac{3}{100})+...+f(\frac{99}{100}).$

GỢI Ý: Ghép cặp $f(a)+f(1-a)$

Cho các số nguyên dương $a,b,c$ thỏa mãn $\frac{ab}{c}+\frac{b^2c^3}{a}+\frac{c^3a^4}{b}$ là một số nguyên. Chứng minh rằng ab chia hết cho c.

Cho đa thức $P(x)=2x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ thỏa mãn $P(1)=3,P(2)=6,P(3)=11$. Tính giá trị của $P(0)+P(4)?$

          Cho các số thức $a,b,c,d$ thỏa mãn $a+b+c+d=6$ và $a^2+b^2+c^2+d^2=12$. Chứng minh rằng $0\leq a,b,c,d\leq 3$ và tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

                  $F=4(a^3+b^3+c^3+d^3)-(a^4+b^4+c^4+d^4)$

Chứng minh a=b=c

Bài này mình nghĩ là như này sẽ đơn giản hơn:

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq 3$

$\frac{9\sqrt[3]{abc}}{a+b+c}\geq \frac{9\sqrt[3]{abc}}{3\sqrt[3]{abc}}= 3$

=> Đpcm

Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng:

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{\sqrt[3]{abc}}{a+b+c}\geqslant \frac{10}{3}$

Cho đa thức $P(x)=x^3-3x+1$ có ba nghiệm $x_{1},x_{2},x_{3}$ và đa thức $Q(x)=x^2-5x+6$. Tính giá trị của $Q(x_{1})Q(x_{2})Q(x_{3})$.

Biết rằng khi chia đa thức $P(x)$ cho các đa thức $x+1,x^2+1$ ta được các đa thức dư tương ứng là $-3$ và $x+1$. Tìm đa thức dư trong phép chia $P(x)$ cho $(x+1)(x^2+1)$.

Cho $P(x)$ là một đa thức hệ số nguyên thỏa mãn $P(0),P(1),P(2),P(3),P(4)$ đều không chia hết cho 5, chứng minh rằng $P(x)$ không có nghiệm nguyên.

Cho $x,y$ là hai số thực dương thỏa mãn $xy+4\leq 2y$. Tìm giá trị lớn nhất $A=\frac{xy}{x^2+2y^2}$

Cho 2 số $a,b$ nguyên dương thỏa mãn : $\sqrt{ab}=\frac{a+b}{a-b}$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=ab+\frac{a-b}{\sqrt{ab}}$.

Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn $3^y=x^2-5x+7$

Tìm các số nguyên tố x, y thỏa mãn $2^y=1+x+x^2+x^3$

\[\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - {y^2} - 2x + 4y = 3\\
{x^2} + {y^2} = 5
\end{array} \right.\]

Hệ phương trình này em giải chỉ cần dùng phương trình ban đầu là đã có thể tìm ra x, y và cách này nó hơi thiên về giải phương trình 2 nghiệm nguyên bên số học nên không biết đúng không nữa.     

Giải: $x^2-y^2-2x+4y=3$

$\Leftrightarrow (x-y)(x+y)-(x-y)-x+3y-3=0$     (1)

$\Leftrightarrow (x-y)(x+y-1)+(x+y-1)-2x+2y-2=0$

$\Leftrightarrow (x-y+1)(x+y-1)-2(x+y-1)=0$

$\Leftrightarrow (x-y-1)(x+y-1)=0$

Từ đó ta có 2 TH: x=1+y và x=1-y. 

Thay cả 2 trường hợp vào (1) ta đều có x= 2 và y= 1 (Đều thỏa mãn đề bài)

Các anh có thể chia sẻ cho em cách giải theo hệ được không ạ     

Giải phương trình $(2x-1)^2-9=4\sqrt{x^2-x}$.

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+2b+3c \geq 10$, Chứng minh rằng: $a+b+c+\frac{3}{4a}+\frac{9}{8b}+\frac{1}{c} \geq \frac{13}{2}$

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+2b+3c \geq 10$, Chứng minh rằng: $a+b+c+\frac{3}{4a}+\frac{9}{8b}+\frac{1}{c} \geq \frac{13}{2}$

Cho các số tự nhiên $a,b$ thỏa mãn $a-b$ là số nguyên tố và $ab+c(a+b)=3c^2$. Chứng minh rằng $8c+1$ là số chính phương.

Bạn có thể sử dụng phương pháp Quy Nạp như bạn ThienDuc1101 trên hoặc có thể sử dụng phương pháp chứng minh trực tiếp như này :

Ta có: $n^3$ + 11n

= $n^3$ – n + 12n

= n($n^2$ – 1) + 12n

= n(n – 1)(n + 1) + 12n.

Vì n(n – 1)(n + 1) là tích ba số tự nhiên liên tiếp nên có ít nhất 1 thừa số chia hết cho 2 và 1 thừa số chia hết cho 3

⇒ n(n – 1)(n + 1) ⋮ 6.

Lại có: 12n ⋮ 6

⇒  n(n – 1)(n + 1) + 12n = n3 + 11n ⋮ 6.

Cho $n$ là số nguyên dương, còn $p$ là số nguyên tố thỏa mãn $p-1$ chia hết cho $n$ và $n^3-1$ chia hết cho $p$. Chứng minh rằng $p+n$ là số chính phương. 

Cho $x,y,z$ là các số không âm. CMR:

$4(xy+yz+xz)\leq \sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x})$

Ton tai $x,y$ nguyen duong thoa man $a=dx, b=dy$ va $(x;y)=1$

Can chung minh $d\leq x+y$

$\frac{dx+1}{dy}+\frac{dy+1}{dx}$ nguyen 

$\Rightarrow \frac{d\left ( x^{2}+y^{2} \right )+x+y}{dxy}$ nguyen 
$\Rightarrow x+y\vdots d \Rightarrow d\leq x+y$

Anh có thể giải thích cho em tại sao lại có $\Rightarrow x+y\vdots d$  và tại sao lại cần C/m $\Rightarrow d\leq x+y$ ạ ?   

Nếu

Cho các số thực $x, y, z$ thỏa mãn $(x+y)(x+z)=4$. Chứng minh rằng $\frac{1}{(y-z)^2} +\frac{1}{(x+y)^2}+\frac{1}{(x+z)^2} \ge 1$

 Nếu đăng bài về bất đẳng thức em nên đăng vào box Bất đẳng thức sẽ có nhiều anh/chị giỏi hơn hỗ trợ em