Giải hệ pt

Bài này nó thuộc dạng "hơi quen thuộc khi học thêm" nên mình trình bày cách giải. Ngủ dậy suy nghĩ ý tưởng giải sau nhé:

Lời giải.

Ta có:

$$\left\{\begin{matrix} 3x^{2}-2y^{2}=9x+8y+3 \\ x^{2}y^{2}+4x^{2}y-3xy^{2}+x^{2}+y^{2}=12xy+3x-4y+1 \end{matrix}\right.$$

Hỏi đế L Lawliet có cơ hội chém gió

Làm sao biết được thêm "các lượng" trên để sau khi liên hiệp  có "nhân tử"!

 

P.S: Nào này bận quá... và cả HK này chắc cũng bận lắm đây!

Cho cơ hội thì chém một lát vậy

Sau khi biết được phương trình có hai nghiệm $x=0$ và $x=1$ nên một cách tự nhiên ta nghĩ đến chuyện sử dụng liên hợp (cẩn thận việc nhẩm nghiệm không kĩ dẫn đến liên hợp và thiếu nghiệm như ở đây).

Vậy giờ phải liên hợp như thế nào?

Làm tỉ mỉ và chi tiết thì là như thế này:

- Vì có hai nghiệm nên biểu thức sau khi liên hợp ta cần (ít nhất) là bậc $2$.

- Ta cần tìm hai số $a$, $b$ trong biểu thức $ax+b-\sqrt{3x+1}$ sao cho sau khi liên hợp ta thu được một phương trình bậc $2$ có hai nghiệm $0$, $1$. Hai ẩn và hai phương trình nên tìm được $a$, $b$ dễ dàng.

- Tương tự ta cần tìm hai số $c$, $d$ trong biểu thức $cx+d-\sqrt[3]{19x+8}$ sao cho sau khi liên hợp ta thu được một phương trình bậc $3$ có hai nghiệm $0$, $1$.

Còn thực tế đây là cách làm của mình:

- Hai nghiệm $0$, $1$ nên nhân tử sẽ là $x\left ( x-1 \right )=x^{2}-x$.

- Vậy hệ số tự do sẽ mất nên khi liên hợp với $\sqrt{3x+1}$ ta sẽ làm mất hệ số tự do ở đây nên ta sẽ có $ax+1$. Tiếp theo ta thấy hệ số của $x^{2}$ ở đây là $1$ nên ta được $x+1$ dẫn đến biểu thức liên hợp ở trên.

- Suy luận tương tự ta được biểu thức liên hợp với $\sqrt[3]{19x+8}$ sẽ có dạng $cx+2$. Sau đó ta liên hợp lên rồi tìm $c$.

Trước khi ngưng chém xin dẫn link một lời giải và chém gió về việc liên hợp khi biết chính xác nghiệm vô tỉ ở đây.

Xin ngừng chém gió ở đây.

Bác vanchanh123 học đại học à lâu nay tưởng bác lớn tuổi lắm rồi

anh ơi ở bài 2 : pt đầu tiên e giải được x=y rồi tiếp pt thứ 2 thay vào làm sao ạ ?

Trả lời dùm bác vanchanh123: Thay vào rồi thì "mò" nghiệm mà giải tiếp thôi!

Kiểm tra bằng máy tính (hoặc wolfram) thì ta biết phương trình có nghiệm $x=0$ và $x=1$.

Thay $x=y$ vào phương trình thứ hai ta được:

$$\sqrt{3x+1}+2\sqrt[3]{19x+8}=2x^{2}+x+5$$

Điều kiện xác định: $x\geq -\dfrac{1}{3}$.

$$\sqrt{3x+1}+2\sqrt[3]{19x+8}=2x^{2}+x+5$$

$$\Leftrightarrow 2x^{2}-2x+\left [ \left ( x+1 \right )-\sqrt{3x+1} \right ]+2\left [ \left ( x+2 \right )-\sqrt[3]{19x+8} \right ]=0$$

Bài 1: Chứng minh rằng $n\mid\varphi(a^n-1)$ với mọi số nguyên dương a và n

Xem các cách chứng minh ở đây. Vietsub dùm theo yêu cầu:

"Bổ đề: Nếu $2^{n}-1\mid 2^{k}-1$ thì $n\mid k$.

Chứng minh: Đặt $k=qn+r$ với $0\leq r<n$. Ta có:

$$2^{k}-1=2^{qn+r}-1=2^{qn+r}-2^{r}+2^{r}-1=2^{r}\left ( 2^{qn}-1 \right )+2^{r}-1$$

Trong đó $2^{qn}-1=\left ( 2^{n}-1 \right )\left ( 2^{\left ( q-1 \right )n}+2^{\left ( q-2 \right )n}+...+2^{n}+1 \right )$, ta thấy $2^{qn}-1\mid 2^{n}-1$. Do đó $2^{n}-1$ cũng chia hết cho $2^{r}-1=2^{k}-1-2^{r}\left ( 2^{qn}-1 \right )$.

Mặt khác $2^{n}-1\mid 2^{r}-1$ với $0\leq r<n$ khi và chỉ khi $r=0$. Do đó ta được $k=qn$ và $n\mid k$.

Quay lại bài toán áp dụng định lý Euler ta có:

$$2^{\varphi \left ( 2^{n}-1 \right )}\equiv 1\pmod {2^{n}-1}$$

Hay nói cách khác $2^{n}-1\mid 2^{\varphi \left ( 2^{n}-1 \right )}-1$ (để ý rằng $\gcd (2,2^{n}-1)=1$).

Áp dụng bổ đề trên cho $k=\varphi \left ( 2^{n}-1 \right )$ ta có:

$$n\mid \varphi \left ( 2^{n}-1 \right )$$

"

Bài toán. Giải phương trình:

$$7x^{2}-13x+8=2x^{2}\sqrt[3]{x\left ( 1+3x-3x^{2} \right )}$$

Cho $x,y,z$ tm $x^2+y^2+z^2=3$. Tìm Max
$$A=\sqrt{3x^2+7y}+\sqrt{5y+5z}+\sqrt{7z+3x^2}$$

Hình như bạn ghi đề nhầm.

Lời giải.

$$A^{2}\leq 3\left [ 6x^{2}+12\left ( y+z \right ) \right ]\leq 18\left [ x^{2}+2\sqrt{2\left ( y^{2}+z^{2} \right )} \right ]=18\left [ x^{2}+2\sqrt{2\left ( 3-x^{2} \right )} \right ]=f\left ( x \right )$$

Từ đây xét hàm số $f\left ( x \right )$ với $x\in \left [ -\sqrt{3};\sqrt{3} \right ]$ là được.

Giải phương trình: $2(1-x)\sqrt{x^2+2x-1}=x^2-2x-1$

Lời giải.

Điều kiện xác định:...

Đặt $\sqrt{x^{2}+2x-1}=t\geq 0$. Phương trình trở thành:

$$2\left ( 1-x \right )t=t^{2}-4x$$

Gõ xong post chậm mất, thôi hiến thêm cách nữa

Giải phương trình: $2x+1+x\sqrt{x^2+2}+(x+1)\sqrt{x^2+2x+3}=0$

Lời giải.

$$2x+1+x\sqrt{x^{2}+2}+\left ( x+1 \right )\sqrt{x^{2}+2x+3}=0$$

giải phương trình: $\sqrt{3x^2-7x+3}-\sqrt{x^2-2}=\sqrt{3x^2-5x-1}-\sqrt{x^2-3x+4}$

Lời giải.

Điều kiện xác định:...

Phương trình đã cho tương đương:

$$\sqrt{3x^{2}-7x+3}-\sqrt{3x^{2}-5x-1}=\sqrt{x^{2}-2}-\sqrt{x^{2}-3x+4}$$
$$\Leftrightarrow \dfrac{-2x+4}{\sqrt{3x^{2}-7x+3}+\sqrt{3x^{2}-5x-1}}=\dfrac{3x-6}{\sqrt{x^{2}-2}+\sqrt{x^{2}-3x+4}}$$

ủa,đây là $x(x+1)(x+7)(x+8)$ mà!

Nhìn nhầm dấu, xin lỗi, nhưng mà làm tương tự thôi mà bạn?

Mọi người giúp em 2 bài này với ạ! 

1, Cho $a,b,c$ là  3 số dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2+abc=4$

Chứng minh rằng $a+b+c \leq  3$

Gỉa thiết đã cho có thể viết lại thành $$\left ( \frac{a}{2} \right )^{2}+\left ( \frac{b}{2} \right )^{2}+\left ( \frac{c}{2} \right )^{2}+2.\frac{a}{2}.\frac{b}{2}.\frac{c}{2}=1$$

Từ đó suy ra $0<\frac{a}{2},\frac{b}{2},\frac{c}{2}\leq 1$. Như vậy tồn tại $A,B,C$ thỏa $A+B+C=\pi$ và $\frac{a}{2}=cosA,\frac{b}{2}=cosB,\frac{c}{2}= cosC$.

Từ một BĐT cơ bản $$cosA+cosB+cosC\leq \frac{3}{2}$$ ta có ngay $a+b+c\leq 3$

Xem thêm bài toán ngược ở đây

Tìm $x\in Z$ để mỗi bt sau là scp :

 a)$x(x+12)$

Lời giải.

Vì $x\left ( x+12 \right )$ là số chính phương nên đặt $x\left ( x+12 \right )=y^{2}$ với $y\in \mathbb{Z}$. Ta có:

$$x\left ( x+12 \right )=y^{2}$$

Lời giải.

Vì $x\left ( x+2 \right )\left ( x^{2}+2x+3 \right )$ là số chính phương nên đặt $x\left ( x+2 \right )\left ( x^{2}+2x+3 \right )=y^{2}$ với $y\in \mathbb{Z}$. Ta có:

$$x\left ( x+2 \right )\left ( x^{2}+2x+3 \right )=y^{2}$$

Tìm $x\in Z$ để mỗi bt sau là scp :

 d)$x(x+1)(x+7)(x+8)$

Lời giải.

Theo mình chỉ có mấy đứa 9/10 thì mới hiểu bản chất, chứ tầm 8 điểm hỏi gì biết mới sợ, có cả kho trắc nghiệm để thuộc lòng.

Em thuộc bên không thích thi trắc nghiệm nhưng em thấy hình như anh hơi nghĩ sai về việc những người thi trắc nghiệm lý, hóa, sinh,... thì phải. Trắc nghiệm mà để thuộc lòng thì chắc chỉ có "thánh" còn cái việc đi thuộc công thức giải nhanh mà khoanh thì phải học bao nhiêu công thức mới đủ?

Thế mà nhìn trên bình luận, cũng có người đồng ý, lạc quan đến thế là cùng!  

Thi trắc nghiệm cũng có mặt lợi và hại, mỗi người mỗi ý kiến thôi, 9 người 10 ý có gì lạ?

Bài 523: $\left\{\begin{matrix} &x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{x^{2}-1}=1 \\ &3x^{2}-xy^{2}+4x=1 \end{matrix}\right.$

Hướng giải chưa xét kĩ điều kiện và hoàn chỉnh:

Đặt điều kiện xác định.

Bình phương hai vế của phương trình thứ nhất ta được:

$$\left ( x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{x^{2}-1} \right )^{2}=1$$

Phương trình này có 1 nghiệm $x=2$ mà chị.   

Cảm ơn NTA1907 nhiều, không hiểu sao hôm qua nhập thế nào mà ra phương trình bị vô nghiệm.

Đã chỉnh sửa lời giải cho bài 524.

1) $16x^{3}+(8x^{2}-1)\sqrt{4x^{2}+1}=\frac{15}{16x+9}$

2) $(1+\sqrt{\frac{7}{3}x^{3}+\frac{2}{3}x+1})^{3}=\frac{11x^{3}+70x^{2}}{3}$

Hình như phương trình thứ hai bị sai. Xem cách giải khác dùng phép thế Euler ở file bên dưới.

giải phương trình :

$2x^{2}+4x-8=(2x+3)\sqrt{x^{2}-3}$

Lời giải.

Điều kiện xác định: $x^{2}-3\geq 0$.

$$2x^{2}+4x-8=\left ( 2x+3 \right )\sqrt{x^{2}-3}$$

$$\Leftrightarrow \left ( \sqrt{x^{2}-3}-2 \right )\left ( 2\sqrt{x^{2}-3}-2x+1 \right )=0$$

Bài 524: $\left\{\begin{matrix} &2x^{2}-2y=xy-4x \\ &\sqrt{12x^{2}+3y+84}=2x+2\sqrt{x+2}+\sqrt{20-y} \end{matrix}\right.$

Lời giải.

Điều kiện xác định: $x\geq -2$, $y\leq 20$, $12x^{2}+3y+84\geq 0$.

Ta có:

$$2x^{2}-2y=xy-4x$$

3.$\left\{\begin{matrix} x^2+\frac{x}{x+1}=(y+2)\sqrt{(x+1)(y+1)} \\ 3x^2-8x-3=4(x+1)\sqrt{y+1} & \end{matrix}\right.$

Lời giải.

Điều kiện xác định: $x>-1$, $y\geq -1$.

$$x^{2}+\dfrac{x}{x+1}=\left ( y+2 \right )\sqrt{\left ( x+1 \right )\left ( y+1 \right )}$$

Bài toán. Giải phương trình:

$$\sqrt{2x-1}+\sqrt{x^2+3}=4$$

Đôi lời:

- Bài toán này đã có ở đây nhưng chưa có lời giải, xin phép được đăng lại để mọi người chú ý và thảo luận.

- Mục đích của việc đăng lại bài này là tiếp nối việc thảo luận bài toán ở đây (đang khá hào hứng nhưng sợ nói nhiều thành spam).

Xin hết.

Giải phương trình trên tập số thực:

$$8x(2x^2-1)(8x^4-8x^2+1)=1$$

Bạn xem ở đây nhé.

Bài toán này hình như đây là lần thứ $3$ mình gặp lại nó và hiện tại mình vẫn chưa có ý tưởng nào khác nên xin phép không bình luận gì nhiều chỉ xin phép nói vài hướng mình đã từng thử:

- Khi dùng wolfram để dò nghiệm (lúc đầu mình nghĩ bài này là một bài đơn giản chỉ việc tìm nghiệm rồi liên hợp thôi) thì hai nghiệm của bài này "rất xấu".

- Khi đó mình định dùng casio để ép tích nhưng mình cho chạy từ $-30$ đến $30$ vẫn không thấy được hệ số nào có thể dùng được cả nên mình đã loại bỏ cách này.

- Sau đó mình thử lập hệ và dĩ nhiên như mọi người đã thấy cách này chưa đi đến đâu (mình dùng "chưa" vì có thể hệ này còn giải quyết được.

- Một phương pháp trục căn khác mình nghĩ đến là bình phương hai vế rồi dùng phép thế Euler nhưng sau khi bình phương ta sẽ thu được bậc $4$ mà sau khi thế sẽ ra đến tận bậc $8$ - điều này không được như mong muốn nên mình chưa thử cách đó.

- Mình từng nghĩ đến việc dùng bất đẳng thức để đánh giá nhưng bất đẳng thức mình không tìm hiểu nhiều nên mong mọi người xem xét - ý tưởng này không hiểu sao nó xuất hiện khi mình nhìn vế phải có dạng $\geq $ còn $x$ trong căn ở vế trái có vẻ như triệt tiêu nhau. Tóm lại chưa thử được cách này.

Khi giải một bài toán mà như vầy đôi lúc mình hay tự hỏi rằng rốt cuộc đề có đúng không? Vì mình không hiểu được mục đích của người chế ra đề với nghiệm như vậy. Đó là câu hỏi mình đặt ra và sẽ tự tìm hiểu, dĩ nhiên đôi khi một bài toán sai dẫn đến một bài toán khác vẫn giải được nhưng đôi khi nó lại dẫn đến một điều vô nghĩa làm tốn thời gian. Và mình thử tìm, kiểm tra ở một số nơi thì tìm được hai bài này làm mình nghĩ đề bài không có vấn đề gì cả mà nó là một dạng nào đó:

Bài toán 1. Giải phương trình:

$$\sqrt{x+1}+\sqrt{2-x}+2=x^{2}+2x$$

Bài toán này do VietHoang99 post tại đây. Không biết tác giả có ở đây và đã giải quyết hay có ý tưởng nào cho bài này không?

Bài toán 2. Giải phương trình:

$$4\sqrt{x+2}+\sqrt{22-3x}=x^{2}+10$$

Bài này được post tại đây.

Hi vọng hai bài tương tự như trên giúp được gì đó và mình vẫn chưa tìm được ý tưởng nào hay cho bài này (sẽ tìm các phương pháp hoặc trong báo xem sao). Xin hết!

Giải hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} \frac{3x}{y}-2=\sqrt{3x-2y}+6 \\ 2\sqrt{3x+\sqrt{3x-2y}}=6(x+y)-4 \end{matrix}\right.$

Nhìn đề bài cứ "thế nào" ấy bạn kiểm tra lại lần nữa giúp mình với nhé.

Bài toán. Giải phương trình:

$$2x^{2}+4x+x\sqrt{\left ( x+2 \right )^{3}}+1=0$$

Bài 522. Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} xy+x+1=7y & \\ x^2y^2+xy+1=13y^2 & \end{matrix}\right.$

Lời giải.

Xét $y=0$ không phải nghiệm của hệ nên chia hai vế của phương trình thứ nhất cho $y\neq 0$, chia hai vế của phương trình thứ hai cho $y^{2}\neq 0$ ta được hệ:

$$\left\{\begin{matrix} x+\dfrac{x}{y}+\dfrac{1}{y}=7 \\ x^{2}+\dfrac{x}{y}+\dfrac{1}{y^{2}}=13 \end{matrix}\right.$$

tìm x, y thỏa mãn $2(x\sqrt{y-4}+y\sqrt{x-4})=xy$

Lời giải.

Điều kiện xác định: $x\geq 4$, $y\geq 4$.

Phương trình tương đương:

$$\dfrac{\sqrt{x-4}}{x}+\dfrac{\sqrt{y-4}}{y}=\dfrac{1}{2}$$

Theo bất đẳng thức AM-GM ta có:

$$\dfrac{\sqrt{x-4}}{x}=\dfrac{\sqrt{4\left ( x-4 \right )}}{x}\leq \dfrac{4+\left ( x-4 \right )}{2.2x}=\dfrac{1}{4}$$