Chứng minh rằng các biểu thức sau độc lập vs $x$:
a) $3(sin^8x - cos^8x)+4(cos^6x - 2 sin^6x) + 6 sin^4x$
b) $cos^2x.cot^2x+3cos^2x-cot^2x+2sin^2x$
c) $\frac{sin^4x+3cos^4x-1}{sin^6x+cos^6x+3cos^4x-1}$
__________
@Joker: Hoàng Dương chú ý tiêu đề nhé

Bài 2:
a) $\sqrt{2x+\sqrt{4x^2-1}}+\sqrt{2x-\sqrt{4x^2-1}}=2\Leftrightarrow \sqrt{2x+1+2\sqrt{(2x-1)(2x+1)}+2x-1}+\sqrt{2x+1-2\sqrt{(2x-1)(2x+1)}+2x-1}=2\sqrt{2}\Leftrightarrow \left | \sqrt{2x+1}+\sqrt{2x-1} \right |+\left | \sqrt{2x+1}-\sqrt{2x-1} \right |=2\sqrt{2}\Leftrightarrow 2\sqrt{2x+1}=2\sqrt{2}\Leftrightarrow \sqrt{2x+1}=\sqrt{2}\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}(TM)$
Vậy phương trình có nghiệm $x=\frac{1}{2}$
b) Phân tích vế trái tương tự câu a), sau đó giải và biện luận theo yêu cầu đề bài.

P/s: Mấy câu hình ngại vẽ hình, mong bạn nào làm được rồi thì post đáp án cho mọi người tham khảo.

Bài 1:
a) Ta có
$A=20032003...2003=2003.10^{4.9998}+2003.10^{4.9997}+...+2003.10^{4.1}+2003=2003.10000^{4.9997}+2003.10000^{4.9996}+...+2003.10000+2003$
Mặt khác, ta lại có:
$10000\equiv 1(mod9999)$
Do đó, ta có:
$S\equiv 2003+2003+2003...+2003(mod 9999)$($9999$ số $2003$).
Vậy $S\equiv 0(mod 9999)$
b) Giải như cách của minhhieukaka.

Bạn xem giúp mình nó là Font gì không.Để mình cài!

Nó là font VNI gì gì đấy thì phải. File mình xem qua xong xóa luôn, lại ngại k muốn down lại.

Nhờ mấy bác giỏi Tin học sửa lại Font chữ của cái này giúp mình:

Mình thấy file k bị lỗi font gì mà. Có lẽ máy tính của bạn cài thiếu font, bạn kiểm tra lại nhé!

Giải phương trình :
$x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{9-z^2}+z\sqrt{10-x^2}=10$

$x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{9-z^2}+z\sqrt{10-x^2}\leq \frac{x^2+1-y^2}{2}+\frac{y^2+9-z^2}{2}+\frac{z^2+10-x^2}{2}=10$.
Do đó: $\left\{\begin{matrix} x^2=1-y^2\\ y^2=9-z^2\\ z^2=10-x^2 \end{matrix}\right.$
Vậy $x=1;y=0;z=3$(loại $x=-1; z=-3$)

Toàn những bài tầm thường mà bạn.
Bài 1: Đặt $x^3=a,y^3=b,z^3=c$ ta dễ có đpcm
Bài 2: $4(a^3+b^3)\geq (a+b)^3$, từ đó dễ có đpcm.

Bài 2 mình cần áp dụng bổ đề để chứng minh cơ. Cách của bạn mình cũng đã nghĩ tới rồi.

Bài toán: Áp dụng bất đẳng thức Min-cốp-xki để chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) Cho $x,y,z>0$ thoả mãn $x+y+z=1$
$$CMR: \sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\geq \sqrt{82}$$
b) Cho $x,y,z>0$ thoả mãn $x+y+z=\sqrt{3}$. Tìm GTNN của biểu thức:
$$P=\sqrt{223+x^2}+\sqrt{223+y^2}+\sqrt{223+z^2}$$

NLT: Bạn nêu rõ áp dụng Minicovsky thì quá đơn giản rồi =.= !
___

Bài toán: Áp dụng bất đẳng thức $a^3+b^3\geq ab(a+b)$ để chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) $\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}\leq 1$ với $a,b,c>0$ và $abc=1$
b) $\sqrt[3]{4(a^3+b^3)}+\sqrt[3]{4(b^3+c^3)}+\sqrt[3]{4(c^3+a^3)}\geq 2(a+b+c)$ với $a,b,c\geq 0$

P/s: Mọi người cố gắng giải bằng cách áp dụng bổ đề nhé!

Anh có thể làm cách khác mà không dùng đồng dư không ạ?

Cách khác:
$999^4-999=(1000-1)^4-(1000-1)$
Biến đổi biểu thức đó ra, ta cũng dễ dàng tìm được 3 chữ số tận cùng là $002$.

P/s: Không biết đây có phải là cách khác k nữa, thấy nó cũng gần giống cách trên.

Giải phương trình:
$$x^2+\left(\dfrac{x}{x+2}\right)^2=12$$

$x^2+(\frac{x}{x+2})^2=12\Leftrightarrow x^2(x+2)^2+x^2-12(x+2)^2=0$
Đặt $x=a;x+2=b$
Ta có hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix} a^2b^2+a^2-12b^2=0\\ b-a=2 \end{matrix}\right.$
Đến đây ta có thể dùng phương pháp thế tìm ra nghiệm của hệ phương trình, suy ra nghiệm của phương trình.

P/s: Mọi người giải cụ thể hộ mình nhé, lười quá k muốn trình bày.

Tìm ba chữ số tận cùng của $999^{4}-999$.

$999\equiv -1(mod1000)\Rightarrow 999^4-999\equiv (-1)^4-(-1)(mod1000)\Rightarrow 999^4-999\equiv 2(mod 1000)$
Vậy $3$ chữ số cuối của $999^4-999$ là $002$

Sau đây là một vài gợi ý cho Bài 1 và Bài 2:

Bài 1:
a) $A=20032003...2003=2003.10^{4.9998}+2003.10^{4.9997}+...+2003.10^{4.1}+2003=2003.10000^{4.9997}+2003.10000^{4.9996}+...+2003.10000+2003$
b) Đặt $(a,b)=d$

Bài 2:
Biến đổi vế trái bằng cách sử dụng hằng đẳng thức.

Cho phương trình $ax+by=ab$ trong đó $a,b \in N*;(a,b) = 1$. Hỏi phương trình này có hay không nghiệm nguyên dương.

$ax+by=ab\Leftrightarrow ax=b(a-y)\Rightarrow x\vdots b$ (do $(a,b)=1$)
Tương tự ta có: $y\vdots a$.
Đặt $x=mb,y=na$ $(m,n\epsilon N*)$phuơng trình trở thành $mab+nab=ab\Leftrightarrow ab(m+n-1)=0\Rightarrow m+n-1=0$(Vô lý).
Vậy phương trình không có nghiệm nguyên dương. (đpcm)

Ta có :

$\frac{1}{A}=\frac{2-x}{2}+x=\frac{x+2}{2}=\frac{x}{2}+1\\
Do: 0<x<2 => 0<\frac{x}{2}<1
=> \frac{1}{A}\leq 1+1=2\\
=> MinA=\frac{1}{2}<=> x=1$

Đây là một nhầm lẫn hết sức nguy hiểm.
$\frac{1}{a+b}\neq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}$
Chính vì vậy, $\frac{1}{A}\neq \frac{1}{\frac{2}{2-x}}+\frac{1}{\frac{1}{x}}= \frac{2-x}{2}+x$
Bài làm của caybutbixanh sai từ bước đó.

Tại sao $\sqrt{k}(\frac{1}{\sqrt{k}}+\frac{1}{\sqrt{k+1}})(\frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}})=(1+\frac{\sqrt{k}}{\sqrt{k+1}})(\sqrt{k}-\frac{1}{\sqrt{k+1}})$
Chỗ đó em không hiểu lắm

Chỗ đó là nhân $\sqrt{k}$ với $\frac{1}{\sqrt{k}}+\frac{1}{\sqrt{k+1}}$.

ĐỀ SỐ 5

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THÀNH PHỐ HÀ NỘI

Năm học 2002 - 2003

Bài 1: (4 điểm)
a) Nếu viết liên tiếp $9999$ số $2003$ ta được số mới $A=20032003...2003$. Hãy tìm số dư trong phép chia $A$ cho $9999$.
b) Cho $a,b$ là các số tự nhiên khác $0$ và $a^2+b^2\vdots ab$. Hãy tính giá trị của biểu thức: $\frac{a^2+b^2}{ab}$.

Bài 2: (4 điểm)
a) Giải phương trình $\sqrt{2x+\sqrt{4x^2-1}}+\sqrt{2x-\sqrt{4x^2-1}}=2$
b) Tìm các giá trị của $m$ đề phương trình sau có nghiệm:
$$\sqrt{2x+\sqrt{4x^2-1}}+\sqrt{2x-\sqrt{4x^2-1}}=4x^2-2x+2+m^2$$
Hãy tính nghiệm của phương trình trong trường hợp có nghiệm.

Bài 3: (4 điểm)
Cho $0 < x < 2$. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $A=\frac{2}{2-x}+\frac{1}{x}$.

Bài 4: (4 điểm)
Cho $10$ điểm phân biệt, không có ba điểm nào thẳng hàng và nằm trong một tam giác đều có cạnh là $2 cm$. Chứng minh rằng luôn tìm được $3$ điểm trong $10$ điểm đã cho, $3$ điểm này lập thành một tam giác thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: Là tam giác có diện tích không vượt quá $\frac{\sqrt{3}}{3}cm^2$ và có ít nhất một góc nhỏ hơn hoặc bằng $45^o$.

Bài 5: (4 điểm)
Cho đường tròn $(O ; R)$ và một dây $AB$ cố định, $AB=R\sqrt{3}$. Gọi $P$ là điểm chíng giữa cung nhỏ $AB$. Đường thằng $d$ quay quanh $P$ nhưng luôn cắt đoạn $AB$ tại điểm $N$ $(N\neq A,B)$ và cắt $(O)$ tại điểm thứ hai là $M$. Gọi $I$ là điểm nằm trên đoạn $BM$ sao cho $BI=\frac{1}{3}BM$.
a) Chứng minh rằng $AP$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác $AMN$.
b) Hãy dựng đường thẳng $d$ sao cho tổng khoảng cách từ điểm $I$ đến hai đường thẳng $AO$ và $AP$ là nhỏ nhất.

Lưu ý: Nếu có thắc mắc về đề, mong mọi người nhắn tin cho mình sớm nhất để sửa chữa. Mong mọi người tham gia nhiệt tình!

Được sự đồng ý của chủ topic là caybutbixanh, hôm nay, mình sẽ bắt đầu gửi một số đề thi hsg do mình sưu tầm được. Mong các bạn ủng hộ topic bằng cách tích cực tham gia.

ĐỀ SỐ 4

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THÀNH PHỐ HÀ NỘI

Năm học 2001-2002

Bài 5: (4 điểm)
Dựng một tam giác thỏa mãn hai điều kiện: Độ dài hai trung tuyến là $m,n$ và diện tích tam giác là lớn nhất.

Mình xin giải nốt câu cuối cùng của đề trước khi post đề mới.
Đây là bài toán dựng hình, vì vậy phải có đủ 4 phần: Phân tích, Cách dựng, Chứng minh và Biện luận.
Nhưng mình sẽ chỉ làm phần Phân tích và Cách dựng thôi, mong mn thông cảm.

Phân tích:
Giả sử $\Delta ABC$ đã dựng được thỏa mãn yêu cầu đề bài:
$AM=m,BN=n$ (trong đó $AM,BN$ là các trung tuyến của $\Delta ABC$) và $S_{\Delta ABC}$ đạt giá trị lớn nhất.
Gọi $G$ là trọng tâm $\Delta ABC$.
Ta thấy, nếu hạ $BH$ vuông góc xuống $AM$, thì $S_{\Delta ABC}=2S_{\Delta ABM}=2.\frac{1}{2}.AM.BH=AM.BH\leq AM.BG=m.\frac{2}{3}n=\frac{2}{3}.m.n=const$
Vậy $S_{\Delta ABC}$ đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi $BH\perp AM\Leftrightarrow BN\perp AM$ tại $G$.

Cách dựng:
- Dựng đoạn thẳng $AM$ có độ dài $m$.
- Dựng điểm $G$ trên đoạn $AM$ sao cho $AG=\frac{2}{3}m$.
- Dựng đường thẳng $d$ vuông góc với $AM$ tại $G$.
- Dựng các điểm $B,N$ trên $d$ về 2 phía so với $AM$, sao cho $BG=\frac{2}{3}n,GN=\frac{1}{3}n$.
- Dựng điểm $C$ là giao điểm của $AN$ và $BM$.
Vậy $\Delta ABC$ là tam giác cần dựng.

Ta có:
$$\frac{1}{(k+1)\sqrt{k}}=\frac{\sqrt{k}}{k(k+1)}=\sqrt{k}(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})=\sqrt{k}(\frac{1}{\sqrt{k}}+\frac{1}{\sqrt{k+1}})(\frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}})=(1+\frac{\sqrt{k}}{\sqrt{k+1}})({\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}})< 2({\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}})$$
Áp dụng vào bài toán ta có:
$$A<2(\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}})+2(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}})+...+2(\frac{1}{\sqrt{n-1}}-\frac{1}{\sqrt{n}})=2(\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{n}})<2$$
Ta có ĐPCM

Theo mình khi kiểm tra điều kiện để nhập lại cho đúng, các bạn nên dung vòng lặp repeat until thì hay hơn.

Theo mình, dùng vòng lặp While .. do ... để kiểm tra điều kiện là hay nhất.
Nếu sử dụng repeat ... until ... thì chương trình sẽ chạy vòng lặp đó ít nhất 1 lần rồi mới kiểm tra điều kiện lặp.

thiếu rồi kìa còn điều kiện của n nữa cơ.Nên bổ sung thêm :chữ màu đỏ

while (n<2) or ( n>200) do
begin
writeln(' nhap lại n= '); readln (n);
end;

Bài của bạn Dramons Celliet về thuật toán là đúng rồi. Chỉ còn thiếu sót nhỏ đó là bạn quên không in kết quả ra màn hình:
Chỉ cần sủa câu lệnh
writeln ('ket_qua_la:');

thành
writeln ('ket_qua_la:',S);

P/s: Cả chỗ này nữa nhé:
for i:= 2 to n do S:= S+2*i;
Đã sửa lại rồi đó. Chương trình viết nhầm, thảo nào bạn k hiểu.

Bài 1:
Gọi $G$ là trọng tâm $\Delta PRT$. Ta có:
$$\overrightarrow{GP}+\overrightarrow{GR}+\overrightarrow{GT}=\overrightarrow{0}\Rightarrow 2\overrightarrow{GP}+2\overrightarrow{GR}+2\overrightarrow{GT}=\overrightarrow{0}\Rightarrow \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}+\overrightarrow{GE}+\overrightarrow{GF}=\overrightarrow{0}\Rightarrow (\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC})+(\overrightarrow{GD}+\overrightarrow{GE})+(\overrightarrow{GF}+\overrightarrow{GA})=\overrightarrow{0}\Rightarrow 2\overrightarrow{GQ}+2\overrightarrow{GS}+2\overrightarrow{GU}=\overrightarrow{0}\Rightarrow \overrightarrow{GQ}+\overrightarrow{GS}+\overrightarrow{GU}=\overrightarrow{0}$$
Từ đây ta có ĐPCM

Bài 2: Cho $\Delta ABC$ nhọn nội tiếp $(O)$ tìm điểm $M$ thuộc $(O)$ sao cho $\left | \underset{MA+}{\rightarrow} \underset{MB-}{\rightarrow} \underset{MC}{\rightarrow} \right |$ lớn nhất, nhỏ nhất.

Lấy điểm $I$ sao cho $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\Rightarrow 3\overrightarrow{IG}=2\overrightarrow{IC}$ (với $G$ là trọng tâm $\Delta ABC$).
Đặt $A=\left | \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC} \right |=\left | (\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MI}-\overrightarrow{MI})+(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC}) \right |=\left | \overrightarrow{MI} \right |=MI$
Ta có: $OI+IM\geq OM=R\Rightarrow IM\geq R-OI\Rightarrow IM_{min}=R-OI$ khi và chỉ khi $O, I, M$ thẳng hàng ($I$ nằm giữa $O, M$).
Mặt khác, ta lại có: $IM\leq IO+OM=IO+R\Rightarrow IM_{max}=IO + R$ khi và chỉ khi $O, I, M$ thẳng hàng ($O$ nằm giữa $I, M$).

Bài 1: Cho $\Delta ABC$, hai điểm $M, N$ thay đổi sao cho:
$\underset{MN = }{\rightarrow} \underset{4MA+}{\rightarrow} \underset{MB-}{\rightarrow} \underset{2MC}{\rightarrow}$
CMR: đường thẳng MN luôn đi qua 1 điểm cố định.

Lấy điểm $I$ sao cho: $4\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}-2\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$ (điểm này là một điểm cố định).
Theo đề bài ta có:
$$\overrightarrow{MN}=4\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC}=(4\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MI}-2\overrightarrow{MI})+(4\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}-2\overrightarrow{IC})\Rightarrow \overrightarrow{MN}=3\overrightarrow{MI}$$
Vậy $M, I, N$ thẳng hàng hay $MN$ đi qua $I$ là một điểm cố định.(ĐPCM)