Có hay không tồn tại vô số số nguyên tố p thỏa mãn:
i) $p\equiv 1\pmod 4$
ii) $v_2\left(\text{ord}_p (2)\right)=v_2\left(p-1\right) $
Có 206 mục bởi hoangtrunghieu22101997 (Tìm giới hạn từ 07-05-2020)
Đã gửi bởi hoangtrunghieu22101997 on 09-11-2014 - 16:05 trong Số học
Có hay không tồn tại vô số số nguyên tố p thỏa mãn:
i) $p\equiv 1\pmod 4$
ii) $v_2\left(\text{ord}_p (2)\right)=v_2\left(p-1\right) $
Đã gửi bởi hoangtrunghieu22101997 on 05-11-2014 - 11:59 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.
Câu 2:
$(x+1)P(x-1)-(x-1)P(x)=a$
Cho $x=1 \Rightarrow P(0)=\dfrac{a}{2}$
Cho $x=-1 \Rightarrow P(-1)=\dfrac{a}{2}$
Đặt $P(x)=\dfrac{a}{2}+x(x+1)R(x)$
Thế vào ban đầu thấy thỏa mãn
Đã gửi bởi hoangtrunghieu22101997 on 04-11-2014 - 17:18 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.
Câu 2: Cho $x=y=0 \Rightarrow f(0)=0$
Cho $x=0 \Rightarrow f(y^3)=y f(y^2) \Rightarrow f(x)=-f(-x)$
Thay vào phương trùnh ta có:
$yf(x^2)+xf(y^2)=(x+y).f(xy)$
Thế $y$ bởi $-y$ ta có:
$-yf(x^2)+xf(y^2)=-(x-y)f(xy)$
Cộng vế $xf(y^2)=yf(xy)$
Cho $y=1$
Câu 4:
IMO 2013
Đã gửi bởi hoangtrunghieu22101997 on 28-04-2014 - 14:54 trong Hình học
Gọi BE; CF là các đường cao
I;J lần lượt đối xứng với F; E qua 2 phân giác ABH và ACH
Ta có: $\hat{FIE}=\hat{FJE}=135-\dfrac{\hat{A}}{4}$
Nên tứ giácEFIJ nội tiếp và nội tiếp đường tròn tâm P
Mặt khác EFBC nội tiếp đường tròn tâm N
Nên $NP \perp EF$ (1)
Gọi O là tâm ĐT ngoại tiếp tam giác ABC
Có : $AO \perp EF ; MN// AO$
Nên $MN \perp EF$ (2)
Từ (1) (2) suy ra $M;N;P$ thẳng hàng
Đã gửi bởi hoangtrunghieu22101997 on 07-02-2014 - 21:47 trong Thi giải toán Marathon Chuyên toán 2014
Bài làm
Xét thành phố A bất kỳ
Gọi $S_1$ là tập hợp các thành phố mà có đường đi từ A đến
$S_2$ là tập hợp các thành phố mà có đường đi nơi đó đến A
$S_1$ là tập hợp các thành phố không có đường nối trực tiếp đến A
Do có 210 thành phố nên $|S_1|+|S_2|+|S_3|=209$
Nhận thấy các thành phố thuộc $S_1 $ không có đường đi trực tiếp với nhau.
Tương tự với $S_2$
Nhưng số đường đi giữa thành phố thuộc $S_1$ với thành phố thuộc $S_2$ nhỏ hơn hoặc bằng $|S_1|.|S_2|$
Số các đường đi giữa các thành phố thuộc tập $S_3$ không quá $|S_3|(|S_1|+|S_2|)$
Như vậy tổng số đường đi lớn nhất là:
$|S_1|+|S_2|+|S_1|.|S_2|+|S_3|(|S_1|+|S_2|)$
$=|S_1|.|S_2|+(|S_3|+1)|S_1|+(|S_3|+1)S_2$
$\le \dfrac{(|S_1|+|S_2|+|S_3|+1)^2}{3}=14700$
Dấu bằng có xảy ra nếu như có 70 thành phố thuộc nhóm I ;70 thành phố thuộc nhóm II ;70 thành phố thuộc nhóm III
Sao cho thành phố nhóm I có đường đến nhóm II ; nhóm II có đường đến nhóm II và nhóm III có đường đến nhóm I
Đã gửi bởi hoangtrunghieu22101997 on 12-01-2014 - 09:20 trong Thi giải toán Marathon Chuyên toán 2014
Bài làm
Giả sử tồn tại (x;y) thỏa mãn $x^2=y^2+\sqrt{y+1}$ (ĐK: $y \ge -1$)
Thì $(x^2-y^2)^2=y+1$
*) Nếu $x^2=y^2 \Rightarrow x=y \text{hoặc} x=-y \Rightarrow x=y=-1 \text{hoặc} x=1 ; y=-1$ (loại)
*) Nếu $x^2 \ne y^2$ suy ra $x^2-y^2 \ne 0$ hay
$\left[\begin{matrix} |x| \ge |y|+1\\ |x|\le |y|-1\end{matrix}\right.$
+) Nếu $|x| \ge |y|+1 \Rightarrow x^2 \ge y^2+2y+1 \Rightarrow x^2-y^2 \ge 2|y|+1\\ \Rightarrow x^4-2x^2y^2+y^4 \ge 4y^2-4|y|+1 \ge 4y^2-4y+1 \\ \Rightarrow (x^2-y^2)^2 \ge (2y-1)^2.$
+) Nếu $|x| \le |y|-1 \Rightarrow x^2 \ge y^2-2y+1 \Rightarrow x^2-y^2 \ge -2|y|+1\\ \Rightarrow x^4-2x^2y^2+y^4 \ge 4y^2-4|y|+1 \ge 4y^2-4y+1 \\ \Rightarrow (x^2-y^2)^2 \ge (2y-1)^2.$
Tóm lại ta luôn có : $(x^2-y^2)^2 \ge (2y-1)^2$
Từ giả thiết suy ra $y+1 \ge (2y-1)^2 \Rightarrow 4y^2-5y \le 0 \Rightarrow 0 \le y \le 2$
Nếu $y=0 \Rightarrow x=1$
Nếu $y=1 $ loại
Nếu $y=2$ loại
Vậy $(x;y)=(1;0)$
Sai từ dòng này
$|x| \le |y|-1 \Rightarrow x^2 \ge y^2-2y+1$
$d=5$
$d_{mr}=0;d_{tl}=0;d_{t}=0$
$S=28$
Đã gửi bởi hoangtrunghieu22101997 on 26-10-2013 - 21:31 trong Bài thi đang diễn ra
1. Họ và tên thật: Hoàng Trung Hiếu
2. Đang học lớp 11 Toán 1, trường THPT Chuyên Thái Bình
3. Đề
Cho $\Delta ABC$ và đường thẳng $d$ cố định . Trên 2 đoạn thẳng $MB; MC$ lần lượt lấy 2 điểm $E;F$ cố định sao cho: $\dfrac{ME}{MB}=\dfrac{MF}{MC}=k$ cố định. Từ $E;F$ lần lượt kẻ: $EP;FQ$ vuông góc với $d$. Chứng minh rằng đường thẳng qua $M$ và vuông góc với $PQ$ luôn đi qua đường thẳng cố định
4. Đáp án
Hình Vẽ:
Do $\dfrac{ME}{MB}=\dfrac{MF}{MC}=k$
Vì $PE;XY;FQ$ cùng vuông góc với $d$
Nên
$\overrightarrow{PE}=(1-k).\overrightarrow{MX};\overrightarrow{FQ}=(1-k).\overrightarrow{MY}$
Chúng ta cần tìm điểm O cố định sao cho $MO \perp PQ$
Gọi $H$ là hình chiếu của A xuống $d$. Từ H kẻ $d_1 \perp BC$
Trên $d_1$ lấy điểm $O$
$MO \perp PQ \Leftrightarrow \overrightarrow{MO}.\overrightarrow{PQ}=0$
$\Leftrightarrow (\overrightarrow{MH}+\overrightarrow{HO}).(\overrightarrow{PE}+\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{FQ})=0$
$\Leftrightarrow \overrightarrow{MH}.\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{HO}.(\overrightarrow{PE}+\overrightarrow{FQ})=0$
$\Leftrightarrow k.\overline{MH}.\overline{BC}.\cos(d;BC)+(1-k).\overline{HO}.\overline{XY}.\cos(XY;OH)=0$
$\Leftrightarrow \overline{HO}=-\dfrac{k.\overline{MH}.\overline{BC}.\cos(d;BC)}{\overline{XY}.\cos(XY;OH)}$
Vì XY luôn vuông góc với nên XY luôn song song với chính nó. Do đó tam giác AXY luôn đồng dạng và cùng hướng với chính nó.
nên $\dfrac{HM}{BC}$ không đổi
Nên O cố định
Bài toán được chứng minh hoàn toàn $\blacksquare.$
Đã được chọn trong trận 2!
Đã gửi bởi hoangtrunghieu22101997 on 14-10-2013 - 18:34 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.
Đã gửi bởi hoangtrunghieu22101997 on 12-10-2013 - 13:31 trong Phương trình hàm
Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}; g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thoả mãn:
$$f(x+g(y))=xf(y)-yf(x)+g(x), \forall x,y \in \mathbb{R}$$
Đã gửi bởi hoangtrunghieu22101997 on 04-09-2013 - 17:24 trong Phương trình hàm
Bài toán : Giải phương trình hàm sau:
$$ f\left({x+y+f(y)}\right) = f(x)+ny $$
Đã gửi bởi hoangtrunghieu22101997 on 04-09-2013 - 17:18 trong Phương trình hàm
Bài toán : Giải phương trình hàm : (Singapore IMO TST 2008, Problem)
$(x+y)(f(x)-f(y)) = (x-y)f(x+y)$
Đã gửi bởi hoangtrunghieu22101997 on 04-09-2013 - 17:13 trong Phương trình hàm
Bài toán : Giải phương trình hàm sau : (2013 Japan Final)
\[ f(m)+f(n)=f(mn)+f(m+n+mn) \]
Đã gửi bởi hoangtrunghieu22101997 on 04-09-2013 - 17:01 trong Phương trình hàm
Bài toán : Giải phương trình hàm: (USA TST 2012)
$$f(x+y^2) = f(x) + |yf(y)|$$
Đã gửi bởi hoangtrunghieu22101997 on 30-05-2013 - 16:07 trong Phương trình hàm
Ta có:Bài toán 32 : Tìm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa $\left | \sum_{k=1}^{n}[3^k(f(x+ky)-f(x-ky))] \right |\leq 1$.
Đã gửi bởi hoangtrunghieu22101997 on 18-05-2013 - 15:15 trong Tài liệu tham khảo khác
Đã gửi bởi hoangtrunghieu22101997 on 18-05-2013 - 08:39 trong Tài liệu - Đề thi
Đã gửi bởi hoangtrunghieu22101997 on 15-05-2013 - 14:50 trong Phương trình hàm
BT2: Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa :
$f(x^2+f(y))=xf(x)+y$.
Đã gửi bởi hoangtrunghieu22101997 on 13-05-2013 - 21:36 trong Hình học
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, lấy $D \in$ cạnh $AC$. Lấy $E$ đối xứng $A$ qua $BD$. Gọi $d$ là đường thẳng qua $D$ và vuông góc $BC$.Gọi $F$ là giao điểm của $CE$ và $d$. Chứng minh $AF,DE,BC$ đồng quy.
Đã gửi bởi hoangtrunghieu22101997 on 20-04-2013 - 21:52 trong Toán học & Tuổi trẻ
Link download: http://www.mediafire...8atfb4g0dhy55pn
Đã gửi bởi hoangtrunghieu22101997 on 19-04-2013 - 10:15 trong Bất đẳng thức và cực trị
Bài 1 :Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn $ab+bc+ca=1$.Tìm max của
$\frac{a}{1+a^2}+\frac{b}{1+b^2}+\frac{3c}{\sqrt{1+c^2}}$.
Đã gửi bởi hoangtrunghieu22101997 on 10-04-2013 - 17:20 trong Thi HSG Quốc gia và Quốc tế
Câu 1: Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ hệ số thực sao cho:
$(x+1)P(x-1)-(x-1)P(x)$
là đa thức hằng.
Bài làm:
Đặt $(x+1)P(x-1)-(x-1)P(x)=k (*)$
*) Với $x=1 \Rightarrow P(0)=k$
*) Với $x=-1 \to P(-1)=k$
Nên $P(x)-k$ có 2 nghiệm $0;-1$
$\to P(x)=x(x+1)Q(x)+k$
Thay vào $(*)$ ta có:
$(x+1)[(x-1)xQ(x-1)+k]-(x-1)[x(x+1)Q(x)+k]=k$
$\Leftrightarrow x(x-1)(x+1)[Q(x+1)-Q(x)]=k$
Nên $Q(x+1) \equiv Q(x)$
$\to Q(x) =c$ là hằng số
Vậy $P(x)=cx(x+1)+k$ với c;k là hằng số. $\blacksquare$
Đã gửi bởi hoangtrunghieu22101997 on 04-04-2013 - 21:48 trong Bất đẳng thức - Cực trị
Cho $x;y;z$ không âm sao cho có nhiều nhất 1 số bằng 0. Chứng minh
$$\sum \dfrac{1}{x^3+y^3} \ge \dfrac{20}{(x+y+z)^3}$$
Đã gửi bởi hoangtrunghieu22101997 on 31-03-2013 - 15:10 trong Bất đẳng thức và cực trị
cho$a,b,c> 0$,$a,b,c> 0,abc= 1. CMR: \sum \frac{1}{a^{2}+2b^{2}+3}\leq \frac{1}{2}$
Đã gửi bởi hoangtrunghieu22101997 on 31-03-2013 - 10:49 trong Thi HSG Quốc gia và Quốc tế
Korea Final Round 2013
$\fbox{1}$ Cho $\Delta ABC(\hat{B}>\hat{C})$. $D \in AC$ thoả mãn $\widehat{ABD}=\widehat{C}$. Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta ABC$. Đường tròn ngoại tiếp $\Delta CDI$ giao với $AI$ tại $E(\ne I)$.Đường thẳng đi qua $E$ và song song với $AB$ cắt $BD$ tại $P$. Gọi $J$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABD$. Điểm $A'$ là điểm thoả mãn $AI=IA'$. Điểm $Q$ là giao điểm $JP$ và $A'C$. Chứng minh rằng :$QJ=QA'$.
$\fbox{2}$ Tìm $ f :\mathbb{R}\to\mathbb{R} $ thoả mãn các điều kịên sau:
a.$ f(x)\ge 0\ \ \forall \ \ \ x\in\mathbb{R} $
b. Với $a;b;c;d \in \mathbb{R}$thoả mãn $ ab+bc+cd = 0 $ và
$$f(a-b)+f(c-d) = f(a)+f(b+c)+f(d) $$
$\fbox{3}$ Cho số nguyên $n \le 3$.Xét tập hợp $ T =\{ (i,j) | 1\le i < j\le n , i | j\} $. Đối với cac số thực không âm $ x_1 , x_2 ,\cdots , x_n $ thoả mãn $ x_1+x_2+\cdots+x_n = 1 $. Tìm giá trị lớn nhất của:
\[ \sum_{(i,j)\in T}x_i x_j \]
$\fbox{4}$ Cho $\Delta ABC$. $B_1;C_1$ lần lượt là tâm đường tròn bàng tiếp $\hat{B}$ và $\hat{C}$. $B_1C_1$ cắt đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$ tại $D(\ne A)$. $E$ là điểm thoả mãn : $B_1E \perp CA; C_1E\perp BA$. $ w $ là đường tròn ngoại tiếp $\Delta ADE$. Tiếp tuyến của $ w $ tại $D$ cắt $AE$ tại $F$. G;H là các điểm thuộc $AE; w$ sao cho $DGH \perp AE$. Đường tròn ngọai tiếp $\Delta HGF$ cắt $ w $ tại $I(\ne H)$. J là chân đường vuông góc hạ từ $D $ xuống $AH$. Chứng minh $AI$ đi qua trung điểm $DJ$
$\fbox{5}$Cho a;b là 2 số nguyên dương ; $(a;b)=1$.Hai dãy $\{a_n\};\{b_n\}$ thoả mãn:
\[ (a+b\sqrt2 )^{2n}= a_n+b_n\sqrt2 \].
Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ thoả mãn tồn tại $n \le p$ thoả mãn $p | b_n$.
$\fbox{6}$
Đối với một hoán vị bất kì $ f :\{ 1, 2,\cdots , n\}\to\{1, 2,\cdots , n\} $ và xác định
\[ A =\{ i | i > f(i)\} \]
\[ B =\{ (i, j) | i<j\le f(j) < f(i)\ or\ f(j) < f(i) < i < j\} \]
\[ C =\{ (i, j) | i<j\le f(i) < f(j)\ or\ f(i) < f(j) < i < j\} \]
\[ D =\{ (i, j) | i< j\ and\ f(i) > f(j)\} \]
Chứng minh rằng: $ |A|+2|B|+|C| = |D| $.
Đã gửi bởi hoangtrunghieu22101997 on 24-03-2013 - 15:16 trong Toán học & Tuổi trẻ
Lên mạng search tự nhiên thấy
(Nguồn : MS)
http://online.print2...b5a1b4c/doc.php
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học