Cho $x,y,z$ là ba số thực thuộc $(0;1]$ .Chứng minh rằng:
$\frac{1}{xy+1}+\frac{1}{yz+1}+\frac{1}{zx+1}\leqslant \frac{5}{x+y+z}$
There have been 162 items by IloveMaths (Search limited from 12-05-2020)
Posted by IloveMaths on 13-04-2014 - 21:40 in Bất đẳng thức và cực trị
Cho $x,y,z$ là ba số thực thuộc $(0;1]$ .Chứng minh rằng:
$\frac{1}{xy+1}+\frac{1}{yz+1}+\frac{1}{zx+1}\leqslant \frac{5}{x+y+z}$
Posted by IloveMaths on 12-10-2013 - 19:46 in Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.
Ngày thi: 10/10/2013Thời gian: 180 phútCâu 1. (4 điểm)Giải phương trình $$8x^3-12x^2+5x=\sqrt[3]{3x-2}$$
$8x^3-12x^2+5x=\sqrt[3]{3x-2}\Leftrightarrow (2x-1)^3+(2x-1)=\sqrt[3]{3x-2}+(3x-2)$
Đến đây là Ok rùi
Posted by IloveMaths on 29-09-2013 - 16:55 in Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.
Câu II
2) Cho 4 số thực dương a,b,c,d. Chứng minh rằng
$\frac{5a^{3}-ab^{2}}{a+b}$$+\frac{5b^{3}-bc^{2}}{c+b}$$+\frac{5c^{3}-ca^{2}}{c+a}$$\geq 2(a^{2}+b^{2}+c^{2})$
Chém thêm bài BĐT
$Q.E.D\Leftrightarrow 4.\sum \frac{a^3}{a+b}+\sum a^2-\sum ab\geq 2.\sum a^2\Leftrightarrow 4.\sum \frac{a^3}{a+b}\geq \sum a^2+\sum ab$
Theo Cauchy-Swarch :
$4.\sum \frac{a^3}{a+b}\geq 4.\frac{(\sum a^2)^2}{\sum a^2+\sum ab}$
Do đó ta cần chứng minh :
$4.\frac{(\sum a^2)^2}{\sum a^2+\sum ab}\geq \sum a^2+\sum ab\Leftrightarrow \sum a^2\geq \sum ab\Rightarrow Q.E.D$
Posted by IloveMaths on 29-09-2013 - 16:39 in Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.
Câu I
1) Chứng minh rằng số $7^{20}+2^{70}$ là hợp số
2) Tìm các số nguyên x,y,z lớn hơn 1 sao cho
$xy-1 \vdots z; yz-1\vdots x; zx-1 \vdots y$
chém ngay bài đầu
a)
Ta có : $7^{20}+2^{70}=49^{10}+128^{10}\equiv (-1)^{10}+(-2)^{10}\equiv 0mod5$
b)
$xy-1\vdots z ;zy-1\vdots x ;xy-1\vdots z$$\Rightarrow (xy-1)(yz-1)(zx-1)\vdots xyz\Rightarrow xy+yz+zx-1\vdots xyz\Rightarrow xy+yz+zx-1\geq xyz$
Dễ dàng chứng minh $xy+yz+zx-1<3xyz$
Do đó :
$1\leq \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-\frac{1}{xyz}<3$
Từ đó dễ dàng tìm được
Posted by IloveMaths on 29-09-2013 - 06:53 in Vẽ hình trên diễn đàn
Posted by IloveMaths on 27-09-2013 - 22:51 in Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
-Nếu $x< 0$ thì $2^x< 1= > 2^x< (\sqrt{3})^x+1$(vô lý).
-Nếu $x\geq 0$.
Chia cả 2 vế cho $2^x$ nên pt $< = > (\frac{\sqrt{3}}{2})^x+(\frac{1}{2})^x=1$
+Nếu x=2$= >$ thoả mãn.
+Nếu $x> 2= > (\frac{\sqrt{3}}{2})^x<(\frac{\sqrt{3}}{2})^2,(\frac{1}{2})^x< (\frac{1}{2})^2= > (\frac{\sqrt{3}}{2})^x+(\frac{1}{x})^2< (\frac{\sqrt{3}}{2})^2+(\frac{1}{2})^2=1$(vô lý do trái với giả thiết)
+Nếu $x< 2$ thì $(\frac{\sqrt{3}}{2})^x>(\frac{\sqrt{3}}{2})^2,(\frac{1}{2})^x> (\frac{1}{2})^2= > (\frac{\sqrt{3}}{2})^x+(\frac{1}{2})^x> (\frac{\sqrt{3}}{2})^2+(\frac{1}{2})^2=1$(vô lý)
Vậy x=2
sai rồi
cho $x=0,5$
Posted by IloveMaths on 26-09-2013 - 13:34 in Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
Giải phương trình
$2^x=(\sqrt{3})^x+1$
Posted by IloveMaths on 25-09-2013 - 20:02 in Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.
ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN CHUYÊN NGUYỄN DU - ĐẮK LẮK (2013-2014) - Vòng 1 - 180 phút
Bài 5:(4 điểm)
1.Cho dãy số thực $(u_n)$ xác định như sau: $\left\{\begin{matrix} u_0=4;u_1=15\\ u_{n+2}=7u_{n+1}-12u_n+2.5^n ,\forall n \in \mathbb{N} \end{matrix}\right.$
Tìm số dư khi chia $u_{2013}$ cho $11$.
chém tí
Xét phương trình đặc trưng : $\lambda ^2-7\lambda +12=0\Leftrightarrow \lambda =3\vee \lambda =4$
Do đó ta có nghiệm riêng của phương trình là $u_{n}^{*}=\frac{2.5^n}{25-7.5+12}=\frac{2.5^n}{2}=5^n\Rightarrow$ số hạng tổng quát của dãy là :
$u_{n}=\alpha. 3^n+\beta .4^n+5^n$
Từ $u_{0}=4;u_{1}=15$$\Rightarrow x_{n}=2.3^n+4^n+5^n$
Do đó $u_{2013}=2.3^{2013}+4^{2013}+5^{2013}\equiv 1 mod 11$
Posted by IloveMaths on 22-09-2013 - 08:22 in Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT (NGHỆ AN)
Ngày thứ nhất (11.10.2011)
Bài 3.(4,0 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H. Phân giác ngoài của góc BHC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại D, E. Gọi K là giao điểm của phân giác góc A của tam giác ABC và đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE (K khác A). Chứng minh rằng hai tam giác BHK và CHK có diện tích bằng nhau.
chém tí
Dê dàng chứng minh AK là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE
Gọi $DK\cap BH=M;EK\cap CH=N;AC\cap BH=S;AB\cap CH=F$
De dàng chứng minh được tứ giác HMKN là hình bình hành
Do đó ta cần chúng minh :
$S_{\Delta BMK}=S_{\Delta NCK}\Rightarrow BM.MK=KN.NC\Leftrightarrow \frac{BM}{KN}=\frac{NC}{MK}\Leftrightarrow \frac{BD}{DF}=\frac{CE}{SE}\Leftrightarrow \frac{BH}{HF}=\frac{HC}{SH}\Leftrightarrow BH.SH=HC.HF$
$\Rightarrow Q.E.D$
Posted by IloveMaths on 22-09-2013 - 06:39 in Dãy số - Giới hạn
Cho dãy số an thỏa mãn: $a_{o}=2; a_{1}=2013.$ và $a_{n+2}=2013a_{n+1}-a_{n}; \forall n\geq 0$ .
a) Tìm số hạng tổng quát của dãy số.
b) Chứng tỏ rằng luôn tồn tại số nguyên m thỏa mãn đẳng thức: $a_{n+2}a_{n}+4=2013^{2}+m^{2}$.
(Câu này là một số các câu hỏi đề thi tuyển chọn đội tuyển học sinh giỏi tỉnh của trường mình).
Xem tại đây : http://diendantoanho...-nam-2013-2014/
Posted by IloveMaths on 16-09-2013 - 22:37 in Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.
Trường THPT Chuyên Bắc Quảng Nam
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2013-2014
Thời gian: 180 phút
Ngày thi: 13-09-2013
-------------------
Bài 1: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số $y=-x^{3}+3x^{2}+mx-2$ đồng biến trong khoảng (0,2)
Bài 4:a) Cho $a,b,c >0$ Chứng minh:$\frac{a^{2}}{2a^{2}+bc}+\frac{b^{2}}{2b^{2}+ca}+\frac{c^{2}}{2c^{2}+ab}\leq 1$Bài 6: Cho tam giác ABC nhọn. Đường phân giác trong của góc A cắt BC tại L và cắt đường tròn ngoại tiếp $(ABC)$ tại N. Gọi K, M lần lượt là hình chiếu vuông góc của L lên các cạnh AB, AC. Chứng minh $S_{AKNM}=S_{ABC}$---Hết---
chém thêm mấy bài nữa
Bài 1:
Dễ thấy y đồng biến khi và chỉ khi -y nghịch biến
Do đó đặt $-y=f(x)=x^3-3x^2-mx+2$
Ta cần tim m để f(x) nghich biến trong khoảng (0,2).Do đó:
$f'(x)=3x^2-6x-m\leq 0\forall x\epsilon (0,2)$$\Leftrightarrow f(0)\leq 0;f(2)\leq 0\Leftrightarrow m\geq 0$
Vậy với $m\geq 0$ thì hàm số đồng biến với mọi x thuộc khoảng (0,2)
Bài 4:
$Q.E.D\Leftrightarrow \sum \frac{1}{2+\frac{bc}{a^2}}\leq 1$
Đặt $\frac{a}{b}=x;\frac{b}{c}=y;\frac{c}{a}=z\Rightarrow Q.E.D\Leftrightarrow \sum \frac{1}{2+\frac{z}{x}}=\sum \frac{x}{2x+z}\leq 1\Leftrightarrow \sum \frac{2x}{2x+z}\leq 2\Leftrightarrow \sum \frac{z}{2x+z}\geq 1\Leftrightarrow \sum \frac{z^2}{2xz+z^2}\geq 1$
Bài 6:
Không mất tính tổng quát , giải sử $AC\geq AB$
Kẻ NX,NY lần lượt vuôn góc vơi AB,AC
Do KL song song vơi XN và LM song song vơi NY nên $S_{\Delta AXL}=S_{\Delta AKN};S_{\Delta ANM}=S_{\Delta ALY}$$\Rightarrow S_{ AKNM}=S_{\Delta AXL}+S_{\Delta ALY}=LK.AX(LK=LM;AX=AY)$
Ta có:
$AB+AC=AX-XB+YC+AY=2AX(XB=YC;XA=AY)$
Do đó $LK.AX=LK(\frac{AB+AC}{2})=S_{\Delta ABC}\Rightarrow Q.E.D$
bài dãy chưa chém được
cuoi cùng đã xong, dễ thấy $m=a_{n-1}$
Chứng minh quy nạp là O.K
Posted by IloveMaths on 16-09-2013 - 16:32 in Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.
Trường THPT Chuyên Bắc Quảng Nam
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2013-2014
Thời gian: 180 phút
Ngày thi: 13-09-2013
-------------------
Bài 3: Tìm tất cả hàm $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa$f(x)+x.f(1-x)=x^{2}$
Chém bài dễ nhất
$f(x)+x.f(1-x)=x^2(*)$
Thay x bởi 1-x ta được
$f(1-x)+(1-x).f(x)$$=(1-x)^2$$\Rightarrow x.f(1-x)+x(1-x).f(x)=x.(1-x)^2(**)$
Trừ theo vế (**) cho (*) ta được :
$f(x).(x-x^2-1)=x(1-x)^2-x^2=x^3-3x^2+x\Rightarrow f(x)=\frac{x^3-3x^2+x}{x-x^2-1}$
Thử lại thấy thỏa mãn
Posted by IloveMaths on 08-09-2013 - 16:24 in Dãy số - Giới hạn
cho $(u_{n})$ biết $\left\{\begin{matrix} u_{1}=1\\ u_{n+1}=\frac{u_{n}}{2+u_{n}} \end{matrix}\right.$
cmr: $u_{n}<\frac{1}{n}$
Đặt $\frac{1}{u_{n}}=v_{n}\Rightarrow v_{n+1}=v_{n}+2$
Tiếp tục đặt $x_{n}=v_{n}-1\Rightarrow x_{n+1}=2x_{n}$
$\Rightarrow x_{n+1}=2.x_{n}=2^2.x_{n-1}=...=2^n.x_{1}=2^n.(v_{1}+1)=2^n.(\frac{1}{u_{1}}+1)=2^{n+1}\Rightarrow x_{n}=2^n\Rightarrow u_{n}=\frac{1}{2^n-1}$
Bây giờ ta so sánh :
$\frac{1}{2^n-1}<\frac{1}{n}\Leftrightarrow n<2^n-1$
Đến đây thì dễ dàng chứng minh rồi
Posted by IloveMaths on 06-09-2013 - 16:00 in Hình học
Hình vẽ
Giải như sau :
$\overrightarrow{AN}=\frac{BN}{BC}.\overrightarrow{AC}+\frac{CN}{BC}.\overrightarrow{AB}$
$\overrightarrow{AM}=\frac{EM}{EF}.\overrightarrow{AF}+\frac{MF}{EF}.\overrightarrow{AE}=\frac{EM.AF}{EF.AB}.\overrightarrow{AB}+\frac{FM.AE}{EF.AC}.\overrightarrow{AC}$
Ta chứng minh :
$\frac{BN}{BC}.\frac{FE.AC}{FM.AE}=\frac{CN}{BC}.\frac{EF.AB}{EM.FA}\Leftrightarrow \frac{AB}{AC}=\frac{BN.EM}{CN.MF}\Leftrightarrow \frac{AB}{AC}=\frac{IB}{IC}.\frac{ED}{DF}$
Đến đây thì dễ dàng chứng minh rồi
Vậy A,M,N thẳng hàng
Posted by IloveMaths on 06-09-2013 - 15:33 in Đại số
Chứng minh: Nếu $p,q,r$ là 3 số nguyên tố $\geqslant 5$ thì $p^2+q^2+r^2$ là hợp số.
Theo fermat:
$p^2+q^2+r^2=p^(3-1)+q^(3-1)+r^(3-1)\equiv 1+1+1 mod3\Rightarrow p^2+q^2+r^2\equiv 0 mod 3$
Mặt khác :
$p^2+q^2+r^2> 3\Rightarrow Q.E.D$
Posted by IloveMaths on 06-09-2013 - 13:22 in Bất đẳng thức và cực trị
Cho $x,y,z> 0; x\geq y\geq z$
Khẳng định hoặc phủ định BĐT sau:
$\frac{x^{2}-xy+y^{2}}{x^{2}}\geq \frac{x^{2}-xz+z^{2}}{y^{2}}\geq \frac{z^{2}-zy+y^{2}}{z^{2}}$
Giải như sau :
Cho x= 3 ; y= 2 ; z= 1
$\Rightarrow \frac{7}{9}\geqslant \frac{7}{4}\geqslant 3$ ( vô lí)
Vậy Bất đẳng thức sai
Posted by IloveMaths on 05-09-2013 - 16:49 in Hình học phẳng
Bài toán: Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm (I). $AI\cap BC=A'$
Gọi d là đường trung trực của AA' . $BI\cap d=M;CI\cap d=N$
Chứng minh tứ giác ANIM nội tiếp .
Posted by IloveMaths on 04-09-2013 - 16:19 in Hình học
Cho $\Delta ABC$ cân tại A, nội tiếp trong (O). D là trung điểm của AB và G là trọng tâm của $\Delta ACD$.
CMR: OG vuông góc với CD
Giải như sau :
$\overrightarrow{OG}.\overrightarrow{CD}=0\Leftrightarrow (\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DG}).\overrightarrow{CD}=0\Leftrightarrow (\overrightarrow{OD}.\overrightarrow{CD})+\frac{\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CD}}{3}=0\Leftrightarrow (\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AD}).\overrightarrow{CD}=0\Leftrightarrow \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{CD}\Leftrightarrow \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{DA}+\frac{\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CD}}{3}=0\Leftrightarrow 3.AO.AD.cos\frac{A}{2}=CB.CD.cos\frac{A}{2}\Leftrightarrow 3.AO.AD=CB.CD$
$\Leftrightarrow 3.AO.AD.sin\frac{A}{2}=CB.CD.sin\frac{A}{2}\Leftrightarrow 3.S_{\Delta ADO}=S_{\Delta BDC}(=\frac{1}{2.S_{\Delta ABC}})$
vậy OG vuông góc với CD
$\Rightarrow Q.E.D$
Posted by IloveMaths on 04-09-2013 - 14:51 in Hình học
Cho tam giác $ABC$. $A',B',C'$ lần lượt nằm trên các cạnh $BC,CA,AB$. Gọi $O_1=AA'\cap BB'$' $O_2=AA'\cap CC'$' $O_3=BB'\cap CC'$. Giả sử $O_1,O_2,O_3$ lần lượt nằm trên đường trung trực của $AB,AC,BC$. Tính $P=\frac{A'B.B'C.C'A}{A'C.B'A.C'B}$
Thấy thế nào ấy
Giải như sau :
Do $O_{1};O_{2};O_{3}$ lần lượt nằm trên đường trung trực của AB,AC,BC nên ta đặt :
$\angle BAO_{1}=\angle ABO_{1}=\alpha ;\angle ACO_{2}=\angle CAO_{2}=\beta ;\angle BCO_{3}=\angle CBO_{3}=\gamma$
Do đó :
$P=\frac{A'B.B'C.C'A}{A'C.B'A.C'B}=\frac{sin\alpha .sin\gamma .sin\beta }{sin\beta .sin\alpha .sin\gamma }=1\Rightarrow P=1$
Do $\frac{A'B}{A'C}=\frac{AB.AA'.sin\alpha }{AC.AA'.sin\beta }$
Posted by IloveMaths on 04-09-2013 - 14:06 in Hình học
Cho tam giác $ABC$ cân và một đường thẳng $d$ song song $BC$. $M$ là một điểm di động trên $d$. Đường thẳng $BM$ cắt cạnh $AC$ tại $P$, đường thẳng $CM$ cắt cạnh $AB$ tại $Q$. Chứng minh rằng $\frac{1}{\overline{BQ}}+\frac{1}{\overline{CP}}=const$
Tam giác ABC cân tại đâu vậy bạn
Posted by IloveMaths on 02-09-2013 - 21:01 in Bất đẳng thức và cực trị
Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn $a+b+c+abc = 4$. Tìm GTNN của biểu thức $P = a^4+b^4+c^4$
$a^4+b^4+c^4+1+1+1+1+1+1+1+1+1\geq 4a+4b+4c$
$a^4+b^4+c^4+1\geq 4abc$
$\Rightarrow 2(a^4+b^4+c^4)\geq 4(a+b+c+abc)-10=6\Rightarrow a^4+b^4+c^4\geq 3$
Posted by IloveMaths on 02-09-2013 - 07:02 in Phương trình hàm
Bạn giải chi tiết hơn được không! Hình như $m,n\in \mathbb{Z}$ không quy nạp được!!!!!!
Cho m=0 ; n=-1 suy ra f(0)= 1 và f(-1) = 2
Từ đó , cho m=n=1 suy ra f(-2)=5
Tiếp tục cho m= -1 ; n= 1 suy ra f(1)=2
Ta quy nạp : $\forall n\epsilon N$
f(n)=$n^2+1$
f(0)=1 ; f(1)= 2
giả sử $f(n)=n^2+1 ; f(n+1)=(n+1)^2+1$
Ta Chứng minh $f(n+2)$=$(n+2)^2+1$
Cho m= 1 , thay n bằng n+1
$f(n+2)+f(n)=f(n+1).f(1)+2\Rightarrow f(n+2)=(n+2)^2+1$
Vậy $\forall n\epsilon N$
f(n)=$n^2+1$
Tương tự quy nạp $f(-n)=(-n)^2+1$ và $f(-n)=(-n)^2+1\forall n\epsilon N^{*}$
( sử dụng $m=1$ và thay n bằng -n-1)
Vậy $f(n)=n^2+1\forall n\epsilon Z$
Thử lại thấy thỏa mãn
Posted by IloveMaths on 01-09-2013 - 20:27 in Phương trình hàm
Tìm tất cả các hàm số $f:Z\rightarrow Z$ thoả mãn điều kiện:
$f\left ( m+n \right ) + f\left ( mn-1 \right )=f(m)f(n)+2, \forall m,n\in \mathbb{Z}$
Mình nêu hướng giải thôi
Cho m=0;n=-1 sau đó biến đổi tính được ( nhớ điều kiên là f thuộc Z)
f(-1)=2 ; f(0)=1
Sau đó quy nạp $f(n)=n^2+1$
Posted by IloveMaths on 31-08-2013 - 22:35 in Giải tích
Tìm hàm số $f(x)$ lên tục trên R thỏa mãn $f(0)=2013$ và $f(2013x)=f(x)+x$
Giải như sau
Đặt $g(x)=f(x)-\frac{x}{2012}\Rightarrow g(2013x)=g(x)=g(\frac{x}{2013})=g(\frac{x}{2013^2})=...=g(\frac{x}{2013^n})$
Do f(x) liên tục nên g(x) cũng liên tục .
Từ đó ta có: $limg(\frac{x}{2013^n})=g(lim\frac{x}{2013^n})=g(0)=f(0)-0=2013$
Vậy $f(x)=2013+\frac{x}{2012}$
Thử lại thấy thỏa mãn.
Posted by IloveMaths on 31-08-2013 - 14:46 in Số học
Anh đang cần tìm một lời giải bằng định lí $Fermat$ nhỏ. Mà hình như điều kiện của định lí $LTE$ là $x,y$ phải đồng thời không chia hết cho $3$ mà nhỉ ?
Định lí LTE?? có tài liệu gì ko mọi người . tks
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học