Từ giả thiết $\frac{1}{a+1}=\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\geq 2\sqrt{\frac{bc}{(b+1)(c+1)}}$

tương tự ta có $\frac{1}{b+1}\geq 2\sqrt{\frac{ac}{(a+1)(b+1)}}$

$\frac{1}{c+1}\geq 2\sqrt{\frac{ab}{(a+1)(b+1)}}$

nhân 3 bất đẳng thức với nhau ta có đpcm

dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1/2

Loạt bài sau đây là của mình chế =) ,mọi người đóng góp ý kiến thoải mái nhá !

a,b,c là các số thực dương. CMR:

1,$\sum a^{4}\geqslant\sum ab(a-b)^{2}+abc(a+b+c)$

2,$\sum a^{5}\geqslant \sum ab(a-b)^{2}(a+b)+abc(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

3,$\sum a^{3}b\geqslant \sum ab(a-b)(b-c)+abc(a+b+c)$

4.$ab^{3}+bc^{3}\geqslant a^{2}b(b-a)+bc(b-c)(a-b)+abc(b+c)$

Nhận thấy $C_{2n}^{n}$ là hệ số của $x^{n}$ trong khai triển $(x+1)^{2n}$

mặt khác $(x+1)^{2n}=(x+1)^{n}.(1+x)^{n}=(\sum_{i=0}^{n}C_{n}^{k}x^{n-k})(\sum_{i=0}^{n}C_{n}^{k}x^{k})$

suy ra được hệ số của $x^{n}$ trong khai triển trên là :

$(C_{n}^{0})^{2}+(C_{n}^{1})^{2}+...(C_{n}^{n})^{2}$

từ đố suy ra đc dpcm

a,b,c có dương không bạn 

Đặt

$\sqrt[3]{2+x}=a;\sqrt[3]{2-x}=b$

Theo giả thiết và nhận xét được ta có $a+b=1 ; a^{3}+b^{3}=4$

giải hệ trên là ok

 

 

 

Bài 7. Cho $KL,KN$ tiếp xúc $(O)$. $M$ thuộc tia đối tia $NK$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $KLM$ cắt $(O)$ tại $P$ khác $L$. $Q$ là hình chiếu của $N$ xuống $ML$. Chứng minh rằng $\angle MPQ=2\angle KML$.

 

 

em thưa thầy bài này hình như 2 góc MPQ và KML không Thỏa mã hệ thức , hình như nó bằng nhau luôn ạ

có lẽ sai rồi ,=)

Áp dụng bất đẳng thức HOLDER ta có 

$\prod (a^{2}+2)=\prod ((\sqrt[3]{a^{2}})^{3}+1^{3}+1^{3})\leq (\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}+1.1.1+1.1.1)^{3}$

đến đây có lẽ đánh giá tích abc theo a+b+c=6 được rồi chứ nhỉ !!

Nhưn anh thấy có 2 bài trong đề cương 11 mà

Em cũng không biết ,em thấy trong đề cương 10 cũng có nhưng nó đơn giản

Anh lam giup em bai 1 a.

Hình như các bài này nằm trong đề cương ôn tập của trường

Nguồn: một số bài toán tổ hợp -Phạm Minh Phương, mấy bài ở trường khác mà , cái này nó phức tạp hơn tí thôi

À mà ,anh học lớp 11, em học lớp 10 đề cương khác nhau , em lấy ở trong sách của Thầy Phạm Minh Phương

1, Cho k,n là các số nguyên dương và $k\leqslant n$ CMR:

$C_{n}^{0}C_{n}^{k}+C_{n}^{1}C_{n}^{k+1}...+C{n}^{n-k}C{n}^{n}=C_{2n}^{n+k}$

2.Cho m,n là số nguyên dương.CMR:

$C_{m}^{0}+C_{m+1}^1+...+C_{m+n}^{n}=C_{m+n+1}^{n}$

3.Cho n là số nguyên dương lẻ. Tính tổng

$S=(C_{n}^1)^{2}+2(C_{n}^2)^{2}+...+n(C_{n}^n)^{2}$

Bài này khá hay

Ta luôn có biểu thức sau

$(x+y+z)(xy+yz+xz)-xzy=(x+y)(y+z)(z+x)$

thay vào biểu thức đề bài sẽ trở thành như sau : $(x+y+z)(xy+yz+xz)-3xyz$

Do x+y+z chia hết cho 6 vì vậy phải tồn tài trong 3 số ít nhất một số chia hết cho 2

suy ra : 3xyz chia hết cho 6

mặt khác theo giả thiết x+y+z chia hết cho 6 nên ta có đpcm

 

 

 Tiếp theo ta có:

 $1999=\frac{U_{n+2}+U_{n}}{U_{n+1}}=\frac{U_{n+1}+U_{n-1}}{U_{n}}$

 $\Rightarrow U_{n+2}.U_{n}-U_{n+1}^{2}=hằng số=U_{0}.U_{2}-U_{1}^{2}=-1$

 

 

Từ đoạn trên xuống đoạ dưới mình chưa thực sự hiểu lắm ,bạn có thể giải thik thêm không ?

1.Cho tam giác ABC, trung tuýn AM, đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác ABC được AM cắt tại 2 điểm là E và F, Qua E,F kẻ 2 đường thẳng song song với BC lần lượt lại cắt đường tròn nói trên tại 2 điểm M và N ,AM,AN cắt BC tại P và Q ,CMR BP=CQ

2. Cho tam giác ABC, đường tròn tiếp xúc với AB,AC được trung tuyến AM cắt tại 2 điểm E và F ,... (phần sau tương tự bài 1)

P/s: 2 bài trên được mình mở rộng từ 1 bài hình có form như trên 

Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$

CMR 

$\sum \frac{1}{2a^{2}+bc}\geqslant \frac{(a+b+c)^{2}}{ab+bc+ac}$

bài này khá ảo , hình như xảy ra dấu bằng tại 2 lần

(from 1 học sinh nam trường THPT Chu Văn An- ko rõ tên)

Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=3$. Chứng minh rằng : $$2\left ( a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2 \right )+3\leq 3\left ( a^2+b^2+c^2 \right )$$

Dễ thấy VP $\geq 9$

Ta luôn có bđt sạu (tự CM vì nó dễ CM)

$abc\geq (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)$

thay a+b=3-c ; b+c=3-a ; c+a=3-b

ta được $abc\geq (3-2a)(3-2b)(3-2c)$

nhân hết vế phải ra và thu gọn ta được 

$3abc\geqslant 4(ab+bc+ac)-9 \Leftrightarrow 12abc\geqslant 16(ab+bc+ac)-9$          (1)

lại có VT=$2(ab+bc+ac)^{2}-4abc(a+b+c)+3=2(ab+bc+ac)^{2}-12abc+3$                      (2)

từ (1) và (2) suy ra 

VT$\leqslant 2(ab+bc+ac)^{2}-16(ab+bc+ac)+39=2(ab+bc+ac-4)^{2}+7\leqslant 2(3-4)^{2}+7=9\leqslant VP$

($ab+bc+ca\leqslant \frac{(a+b+c)^{2}}{3}=3$) 

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1 

xin cái like nha

BĐT này sai với $2a=2b=2c=1$

------------------------

P/s: sửa lại tiêu đề!!!!!!!!

sửa lại đề rồi, viết nhầm =) thông cảm

Cho 3 số thực dương a,b,c 

CMR :

$(\frac{ab+c}{c+1})(\frac{bc+a}{a+1})(\frac{ac+b}{b+1})\geq abc$

P/s: bài này khá bựa , mình nghĩ được cách là biến đổi tương đương ,nhưng thấy nó không được đẹp và hay, bạn nào nghĩ được cách dùng bất đẳng thức phụ thì cứ thoải mái add

Theo Cauchy-Schwarz và AM-GM:

$\sum{\dfrac{a}{ab+1}}=\sum{\dfrac{a^2}{abc+a}}\ge \dfrac{(\sum{a})^2}{3abc+\sum {a}}\ge \dfrac{(\sum{a})^2}{3.\dfrac{(\sum{a})^3}{27}+\sum{a}}=\dfrac{3}{2}$

$\to Q.E.D$

ở dưới mẫu ab.a=abc , sai rồi bạn ơi =)

Điều kiện xác định : $-3\leq x\leq \frac{3}{2}$

Đặt $\sqrt{x+3}=a$

      $\sqrt{3-2x}=b$   ($a,b\geq 0$)

nhận thấy $a^{2}+b^{2}=6-x$

phương trình đã cho tương đương $4a+2b=a^{2}+b^{2}+5\Leftrightarrow (a-2)^{2}+(b-1)^{2}=0$

đến đây có lẽ là ổn rồi !!!

xin cái like

1) Cho $a;b;c;d>0$. Cmr:

$$A=\sum \dfrac{a}{b+2c+3d}\ge \dfrac{2}{3}$$

 

 

thế này nhá :

ta có :

$\sum \frac{a}{ab+2ac+3ad}\geq \frac{(a+b+c+d)^{2}}{4(ab+ac+ad+bc+bd+cd)}\geq \frac{2}{3}$

đến đây biến đổi tương đương ra đpcm 

dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=d

xin cái like

Áp dụng bất đẳng thức BCS ta có

$(a^{2}+b+c)(1+b+c)\geqslant (a+b+c)^{2} \Leftrightarrow \frac{1}{a^{2}+b+c}\leq \frac{1+b+c}{(a+b+c)^{2}}$

tương tự thiết lập các bất đẳng thức tương tự , sau đó lấy vế cộng vế kết hợp với điều kiện a+b+c=3 ta có đpcm 

(Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1)

xin cái like ạ

cách hay đấy lahantaithe

Cho ba số a,b,c là các số thực dương

CMR

$(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})^{2}\geq \frac{3}{2}(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b})$

bài này mình đổi biến nhưng thấy nó dài, ai nghĩ được cách j hay hay nhào zô , càng xúc tích càng hay