Ta có :

$(x+y+z)^3 = (x+y)^3 + 3(x+y)z(x+y+z) + z^3$

$= x^3+y^3+z^3+3xy(x+y)+3(x+y)(xz+yz+z^2)= x^3+y^3+z^3 + 3(x+y)(y+z)(x+z)$

Suy ra :

$x^3+y^3+z^3 - 3xyz = (x+y+z)^3 - 3(x+y)(y+z)(x+z) - 3xyz$

mà $(x+y)(y+z)(x+z) - xyz = (x+y+z)(xy+yz+zx)$

nên $x^3+y^3+z^3-3xyz = (x+y+z)^3 - 3(x+y+z)(xy+yz+xz) = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2 - xy-yz-xz)$

Thử đặt $\sqrt{x+1} = a; \sqrt[3]{x+5} = b (a \geq 0)$

Ta được hệ :

$\left\{\begin{matrix} 2a + 8b = a^2.b^3\\ b^3-a^2 = 4 \end{matrix}\right.$

Nếu không được thì liên hợp thử.

Cho a,b,c là 3 số dương thỏa mãn : abc = 1.

Chứng minh rằng : 

$a^2 + b^2 + c^2 + 3 \geq 2(ab+bc+ca)$

Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 

$x^3 = 4y^3 + x^2y+y+13$

Giải hệ phương trình : 

$\left\{\begin{matrix} 30x^2 + 4 = 304y\\ 30y^2 + 4 = 304z\\ 30z^2 + 4 = 304x \end{matrix}\right.$

Tìm tất cả đa thức A thỏa mãn: 

$A(x) + A(\frac{1}{x}) = x + \frac{1}{x}, \forall x \neq 0$

Cho $x\in [0;1]$ . Chứng minh rằng : 

$\frac{\sqrt{2x+2}}{x+3} + 2x + \sqrt{x} + \sqrt{1-x} \leq \frac{7}{2}$

bạn cho mình hỏi cái bdt đó ở đâu vậy, chứng minh được không?

Cái đó là bất đẳng thức cơ bản mà bạn ... có thể chứng minh trực tiếp hoặc dùng AM - GM,...

Ta có : $x+y+z = a \Leftrightarrow (x+y+z)^2 = a^2$

Áp dụng bất đẳng thức : $xy+yz+xz \leq \frac{(x+y+z)^2}{3} = \frac{a^2}{3}$

Vậy GTLN của xy + yz + xz là $\frac{a^2}{3}$ khi x = y = z = $\frac{a}{3}$

1. Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có : 

$x+y\geq 2\sqrt{xy}$ ; $y+z\geq 2\sqrt{yz}$ ; $x+z\geq 2\sqrt{xz}$ 

Cộng vế với vế : $2(x+y+z)\geq 2\sqrt{xy}+ 2\sqrt{yz}+2\sqrt{xz}$ $\Leftrightarrow x+y+z\geq \sqrt{xy}+ \sqrt{yz}+\sqrt{xz}$

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z

=> ĐPCM.

2. Áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho 2 số dương : 

$\prod_{i=1}^{n}(1+a_i) \geq \prod_{i=1}^{n}2\sqrt{a_i} = 2^n.\prod_{i=1}^{n} \sqrt{a_i}$

mà $a_1.a_2...a_n = 1$ => VP = $2^n$

Ta được ĐPCM

Đẳng thức xảy ra khi a1 = a2 = ... = an = 1

Ta có : 

$VT^2 = \left ( \frac{ab}{c} + \frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\right )^2 \geq 3\left ( \frac{ab}{c}.\frac{bc}{a} + \frac{bc}{a}.\frac{ca}{b} + \frac{ca}{b}.\frac{ab}{c}\right )$

$= 3(a^2+b^2+c^2) = 9$

$\Rightarrow VT \geq 3$ (đpcm)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1.

mình vẫn chưa hiểu ý của bạn, pt đã cho có vế phải là $(1+x+x^2+x^3+x^4)$ và vế trái là$y$.PT nghiệm đúng khi hai vế này bằng nhau chứ đâu có ép buộc chúng bằng nhau và bằng $0$.

Nếu đề bài cho pt thế này mà phải đi tìm các cặp nghiệm nguyên$(x,y)$ thì đương nhiên sẽ có vô số nghiệm nguyên vì mỗi giá trị nguyên của $x$ sẽ có một giá trị nguyên của $y$ tương ứng.Hay là mình hiểu sai đề nhỉ?

Chắc do mình đọc nhanh quá ấy bạn, mình cứ tưởng y chỉ là cái hàm số của x thôi. Còn nếu tìm nghiệm nguyên của x và y thì vô số nghiệm rồi còn đâu.

ĐK: $y \neq -2x$ và $y \neq 3x$

Ta phân tích phương trình (2) của hệ trên, được :

$\frac{4x+12y}{(2x+y)(3x-y)} = 7\Leftrightarrow \frac{-4}{2x+y}+\frac{8}{3x-y}=7$

Đặt $\frac{1}{2x+y} = a ; \frac{1}{3x-y}=b$ (a,b khác 0)

được $\left\{\begin{matrix}4a+b=2 & \\ -4a+8b=7 & \end{matrix}\right.$ => a = 0,25; b = 1

=> $\frac{1}{2x+y} = 0,25 \Leftrightarrow 2x+y=4$

và $\frac{1}{3x-y} = 1 \Leftrightarrow 3x-y=1$

Giải hệ 2 phương trình trên ta được x = 1 ; y = 2

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y) = (1;2)

Xét phương trình $y = x^4+x^3+x^2+x+1 = 0$ . Để phương trình này có nghiệm nguyên thì $x \in U(1)=\left \{ 1;-1\right \}$

mà khi thế x = 1 ; x = -1 vào y thì y không bằng 0

Vậy phương trình trên vô nghiệm nguyên .

a. Ta thấy : $m\neq \frac{-1}{m}$ nên hệ đã cho luôn có nghiệm duy nhất với mọi m

b. Vì $x+y=5\Leftrightarrow x=5-y$ . Thế x vào hệ trên ta được hệ mới : $$\left\{\begin{matrix} m(5-y) - y = 2 (1)& \\ 5-y+my=5 (2)& \end{matrix}\right.$$

Xét (1), ta được $y=\frac{5m-2}{m+1}$ (*). Xét (2), ta được $(m-1)y=0$ ta được m = 1 hoặc y = 0 

Khi $y = 0 \Rightarrow m = \frac{2}{5}$ theo (*)

Vậy với m = 1 hoặc m = 0,4 thì hệ phương trình trên có x+y=5

Không mất tính tổng quát ta giả sử : $a\geq b\geq c$

Vì $a^2+b^2+c^2=1$ nên $\left | a \right |,\left | b \right |,\left | c \right | \leq 1$

Từ đó ta có : 

$a^2 \geq a^3 ; b^2 \geq b^3;c^2\geq c^3$

mà $a^2+b^2+c^2=a^3+b^3+c^3 = 1$ 

nên: 

$a^2 = a^3 ; b^2 = b^3;c^2= c^3$

mà $a\geq b\geq c$ 

$\Rightarrow a = 1 ; b = c = 0$

Vậy $S = a^{2014}+b^{2014}+c^{2014} = 1+0+0=1$

Giải bằng delta thử xem bạn 

delta ? nếu ý bạn là giải bằng phương trình bậc hai thì cái đoạn xét từng trường hợp là mình giải phương trình bậc 2 rồi, chẳng qua là lười quá

Ta có :

$2y^2x+x+y+1=x^2+2y^2+xy \Leftrightarrow 2y^2(x-1) + x(1-x)+y(1-x)=-1$

$\Leftrightarrow (2y^2-x-y)(x-1)=-1=-1.1=1.(-1)$

Từ đây ta được nghiệm nguyên của phương trình trình trên là : $(x;y)=(0;1);(2;1)$

Câu 1: (5 điểm)

1. Rút gọn biểu thức : $F=\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{3}}} + \frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{3}}}$

2. Cho hàm số bậc nhất y = mx - 2m - 1. Gọi A,B lần lượt là giao điểm của đồ thị hàm số với các trục Ox, Oy. Tìm m để diện tích $\Delta AOB$ bằng $4cm^2$ (đơn vị đo trên các trục tọa độ là cm).

Câu 2: (5,5 điểm)

1. Cho $x\sqrt{1-y^2} + y\sqrt{1-x^2} = 1$ . Tính giá trị biểu thức $M = x^2 + y^2$

2. Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM, AM = AC. Chứng minh rằng : $tg\widehat{ABC} = \frac{1}{3}tg\widehat{ACB}$

Câu 3 : (5 điểm)

Cho tam giác ABC cân tại A. Hai điểm D, E theo thứ tự thay đổi trên 2 cạnh AB, BC. Gọi F,H lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ D,A xuống BC. Giả sử $EF = \frac{1}{2}BC$

a. Chứng minh CE = FH

b. Chứng minh đường thẳng qua E và vuông góc với DE luôn đi qua một điểm cố định

Câu 4 : (4,5 điểm)

1. Tìm các cặp số (x;y) thỏa mãn:

$\left\{\begin{matrix}(x+y)(x^2+y^2)=15 & \\ (x-y)(x^2-y^2)=3 & \end{matrix}\right.$

2. Tìm các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn :

$x^6+3x^3+1=y^4$

Ừm mình chép thiếu câu này nữa 

Câu 6: Tìm nghiệm nguyên của phương trình $\frac{4}{x}+\frac{1}{y}=\frac{3}{2}$

ĐK: x,y khác 0

Ta có : $\frac{4}{x}+\frac{1}{y}=\frac{3}{2} \Leftrightarrow \frac{4y+x}{xy}=\frac{3}{2} \Leftrightarrow 8y + 2x -3xy = 0$

$\Leftrightarrow 24y + 6x-9xy=0\Leftrightarrow 24y-16-9xy+6x=-16$

$\Leftrightarrow 8(3y-2)-3x(3y-2)=-16 \Leftrightarrow (8-3x)(3y-2)=-16 = 1.(-16) = 2.(-8) = 4.(-4) = 8.(-2) = 16.(-1)$

Ta giải từ đây được 4 bộ nghiệm nguyên : $(x;y) = (8;1);(4;2);(3;6);(2;-2)$

p.s: không biết có sót nghiệm nào không ... lười trình bày quá.

P = 1

Câu 1:Tìm các hệ số $a,b$ để đa thức: $f(x)=3x^4+ax^3+9x^2+bx+16$ chia hết cho đa thức: $g(x)=x^2-5x+2$.

Câu 2: Tìm nghiệm của phương trình: $(x^2-9)^2=12x+1$

Câu 2: ĐKXĐ : $12x + 1> 0\Leftrightarrow x>\frac{-1}{12}$

Ta có :

$\Leftrightarrow x^4 - 18x^2 + 81 = 12x + 1$

$\Leftrightarrow x^4 +18x^2 + 81 -36x^2 - 12x - 1 = 0$

$\Leftrightarrow (x^2+9)^2-(6x+1)^2 = 0$

$\Leftrightarrow (x^2+6x+10)(x^2-6x+8) = 0$

Từ đó ta được x = 4 và x = 2 là nghiệm của phương trình trên.

1.Xác định đa thức $f(x)$ biết $f(0)=1,f(1)=0,f(2)=5,f(3)=2^2$

2.Đa thức $f(x)$ chia $x+1$ dư 4, chia $x^2+1$ dư $2x+3$.Tìm dư Khi chia $f(x)$ cho $(x+1)(x^2+1)$

 

3. tìm a và b để đa thức $x^4+x^3+3x^2+4x+4$ chia hết cho đa thức $x^2-x+b$

mọi người nhớ giải kĩ một tí nha 

 

Tìm GTLN,GTNN 

4.  A=$\frac{x^2+1}{x^2-x+1}$

 

$B=\frac{8x+3}{4x^2+1}$

 

$C=\frac{27-12X}{X^2+9}$

 

$E=\frac{2x^2+10x+3}{3x^2+2x+1}$

 

$F=\frac{X^2-x+1}{x^2+x+1}$

 

$H=\frac{x+1}{x^2+x+1}$

 

$G=\frac{3+4x^2+3x^4}{(1-x^2)^2}$

 

$K=\frac{2x^2+x+1}{x^2-x+1}$

 

 

5.Cho $1/a+1/b+1/c=0 $.tính $M= (b+c)/a  +  (c+a)/b  +  (a+b)/c$

 

 

[SIZE="4"]6. cho a,b,c>0 và $ab+bc+ca\geq 3$. chứng minh $\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{a+c}+\frac{c^3}{a+b}\geq\frac{3}{2}$ 

 

7.cho a,b,c là 3 số dương nhỏ hơn 1.CMR có ít nhất 1 trong 3 BĐT là sai $a,1-b>\frac{1}{4}     b, 1-c>\frac{1}{4}     c, 1-a>\frac{1}{4}$

 

8.Cho a,b,c>0 và abc=1.TÌm GTLN của M=$\frac{1}{a^2+2b^2+3}+\frac{1}{b^2+2c^2+3}+\frac{1}{c^2+2a^2+3}$

Câu 5 :

Ta có :

$M = \frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c} = b\left (\frac{1}{a}+ \frac{1}{c}\right ) + c\left (\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}\right ) + a\left (\frac{1}{b}+ \frac{1}{c}\right )$

mà $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} +\frac{1}{c} = 0$

$\Rightarrow M = -1 -1 -1 = -3$

Câu 6:

Áp dụng bất đẳng thức Schwarz, ta có :

$\frac{a^3}{b+c} + \frac{b^3}{c+a} +\frac{c^3}{a+b} = \frac{a^4}{a(b+c)} + \frac{b^4}{b(c+a)} +\frac{c^4}{c(a+b)} \geqslant \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{2(ab+bc+ca)}$

Ta xét :

$\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{2(ab+bc+ca)}\geq \frac{3}{2} = \frac{ab+bc+ca}{2} \Leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2)^2 \geq 2(ab+bc+ca)^2$

$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ca$ (đúng)

=> đpcm

Dâu bằng xảy ra khi a = b = c = 1