1)Cho ba số thực a,b,c sao cho a+b+c=0

CMR: $\frac{a^{7}+b^{7}+c^{7}}{7}$=$\frac{a^{5}+b^{5}+c^{5}}{5}.\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2}$

2) Giả sử m là 1 tham số để pt (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=m có 4 nghiệm phân biệt a, b, c, d. Tính $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}$ theo m

Một lớp học có 35 học sinh. Trong đó có 16 bạn thích môn toán, 9 bạn thích môn hóa, 8 bạn thích môn lý, 4 bạn thích cả ba môn. CMR: có ít nhất 10 học sinh không thích môn nào

Cho ánh xạ f: $X\rightarrow Y$ ($A,B\subset X$, $C,D\subset Y$). CMR:

a) f(X\A)$\supset$ f(X) \ f(A)

b) f^-1(f(A))=A $\forall$ $A\subset X$ khi và chỉ khi f là đơn ánh

c) f(f^-1(B)) = B $\forall B\subset Y$ khi và chỉ khi f là toàn ánh

Trong mặt phẳng có 5 điểm, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Mỗi cặp điểm trong 5 điểm đó được nối nhau bằng một đoạn thẳng và được tô bằng màu xanh hoặc màu đỏ sao cho bất kỳ 3 cạnh nào tạo thành tam giác thì không cùng màu. CMR: qua một điểm bất kỳ có đúng 2 cạnh màu xanh và 2 cạnh màu đỏ

Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn điều kiện xy+yz+zx=0.

Đặt a=$\sqrt{x^{2}+y^{2}+xy}$

      b=$\sqrt{y^{2}+z^{2}+yz}$

      c=$\sqrt{x^{2}+z^{2}+xz}$

CMR: a,b,c không phải là độ dài ba cạnh của một tam giác 

Xác định hàm số f(x) thỏa:

3f($\frac{x-1}{3x+2}$) -5f($\frac{1-x}{x-2}$)=$\frac{8}{x-1}$   ($\forall x\neq 2, x\neq 1, x\neq -2/3$)

Tìm đa thức f(x) thỏa:

f(x²-y²)= f(x+y).f(x-y)

Cho a₁, a_{2, ......,} a₂₀₁₇ là các số nguyên và b₁, b₂,.......,b₂₀₁₇ là các số nguyên đó lấy theo thứ tự khác  (b_1, b₂,....., b₂₀₁₇ gọi là một hoán vị của a₁, a₂,......., a₂₀₁₇). Chứng minh rằng tích (a₁-b₁)(a₂-b₂)........(a₂₀₁₇-b₂₀₁₇) là một số chẵn.

Cho đường tròn (O;R). Lấy điểm M nằm ngoài (O;R) sao cho qua M kẻ được 2 tiếp tuyến MA, MB của (O;R) và góc AMB nhọn (với A,B là các tiếp điểm). Kẻ AH vuông góc với MB tại H. Đường thẳng AH cắt đường tròn (O;R) tại N (N khác A). Đường tròn đường kính NA cắt các đường thẳng AB, MA theo thứ tự tại I và K (khác A).

a) Chứng minh tứ giác NHBI nội tiếp

b) Chứng minh tam giác NHI đồng dạng với tam giác NIK

c) Gọi C là giao điểm của NB và HI; gọi D là giao điểm của NA và KI. Đường thẳng CD cắt MA tại E. Chứng minh rằng CI=EA

Cho ba số dương khác nhau a,b,c có tổng bằng 12. Chứng minh rằng trong 3 phương trình sau có một phương trình có nghiệm và một phương trình vô nghiệm

x² +ax+b=0

x²+bx+c=0

x²+cx+a=0

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH ( H thuộc BC).Vẽ đường tròn (C) có tâm C, bán kính CA. Đường thẳng AH cắt đường tròn (C) tại điểm thứ hai là D.

a) Chứng minh: BD là tiếp tuyến của đường tròn (C)

b) Trên cung nhỏ AD của đường tròn (C) lấy điểm E sao cho HE song song với AB. Đường thẳng BE cắt đường tròn (C) tại điểm thứ hai là F. Gọi K là trung điểm của EF. Chứng minh rằng: 

i) $BA^{2}$=BE.BF và $\widehat{BHE}=\widehat{BFC}$

ii) Ba đường thẳng AF, ED, HK song song với nhau từng đôi một.

Giải hệ phương trình sau: 

$\left\{\begin{matrix} a^{4}+b^{4}=1& \\ a^{3}+b^{3}=a^{2}+b^{2}& \end{matrix}\right.$

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AD. Vẽ tứ giác ABCD nội tiếp nửa đường tròn, I là giao điểm của AC và BD. K là hình chiếu của I trên AD, F là giao điểm của CK và BD. Chứng minh: BI.DF=BD.IF

cho phương trình $x^{2}+(m-1)x-6=0$ (1) ( m là tham số). Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có 2 nghiệm $x_{1},x_{2}$ sao cho biểu thức A=$(x{_{1}}^{2}-9)(x{_{2}}^{2}-4)$ đạt GTLN

cho phương trình $x^{2}+(m-1)x-6=0$ (1) ( m là tham số). Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có 2 nghiệm $x_{1},x_{2}$ sao cho biểu thức A=$(x_{1}-9)(x_{2}-4)$ đạt GTLN

$\left\{\begin{matrix} 5x^{2}+2y^{2}+2xy-2x-4y=24\\ 3x+(2x+y-1)(x-y+1)=11 \end{matrix}\right.$

Cho đường tròn (O;R). Từ 1 điểm M nằm ngoài đường tròn vẽ hai tiếp tuyến MA, MB (S,B là tiếp điểm). Lấy điểm C trên cung nhoe AB ( C khác A,B). Gọi D,E,F lần lượt là hình chiếu của C trên AB,AM,BM.

a) Chứng minh tứ giác AECD nội tiếp

b)Chứng minh $\widehat{CDE}=\widehat{CBA}$

c) Gọi I là giap điểm của AC và DE; K là giao điểm của BC và DF. Chứng minh rằng IK song song với AB

d) Xác định vị trí điểm C trên cung nhỏ AB để $\left ( AC^{2}+CB^{2} \right )$ nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó khi OM=2R

Tìm số tự nhiên n để $5^{2n^{2}-6n+2}-12$ là số nguyên tố

Chứng minh rằng: Trong các tam giác có cùng chu vi và diện tích thì tam giác cân có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất

Cho a+b+c=2 và a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. CMR:

             $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc< 2$

Giả sử $ax^{2}+bx+c=0$ (a$\neq$0) có 2 nghiệm x_1, x₂ thỏa mãn ax₁ + bx₂ + c=0 .

Tính P= $a^{2}c+ac^{2}+b^{3}-3abc$ 

Cho x,y>0 thỏa x+y>6
Tìm Min M=$3x+2y+\frac{6}{x}+\frac{8}{y}$

1) CMR: $\left ( 3^{2n+1}+2^{n+2} \right )\vdots 7$         ( n thuộc N)

2) CMR: $\left ( 1991^{1993}+1993^{1991} \right )\vdots 12$

cho tam giác ABC, kẻ AH vuông góc với BC. Gọi C' là điểm đối xứng của H qua AB, B' là điểm đối xứng của H qua AC. Gọi giao điểm của B'C' với AC và AB theo thứ tự tại I, K. Chứng minh BI, CK là các đường cao của tam giác ABC

a) $\sqrt{x^{2}+10x+21}=3\sqrt{x+3}+2\sqrt{x+7}-6$

b) $3(2+\sqrt{x-2})=2x+\sqrt{x+6}$