Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC).Vẽ đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại E và F, CE cắt BF tại H 
a) Chứng minh AH vuông góc BC tại D, AEHF nội tiếp 
b) CHứng minh H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác EFD 
c) Gọi K là giao điểm của EF và AD, I là trung điểm của AH. CHứng minh KI.KD=KH.KA 
d) Gọi M là trung điểm BH. MK cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác IEF tại N. CHỨng minh ANHM nội tiếp 
P/s: giúp em câu c,d

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O,R) có AB >AC. Tia phân giác của góc A cắt BC tại I và (O) tại D. Hạ BE và CF vuông góc với AD tại E và F. Vẽ đường cao AH của tam giác ABC 
a) Chứng minh ABEH nội tiếp 
b) Chứng minh BD song song với HF 
c) Vẽ IM vuông góc AB tại M. CHứng mih F, M, H thẳng hàng 
d) BF cắt CE tại K. Chứng minh AK là phân giác ngoài tam giác ABC 
P/s: giúp em câu c, d

Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến AB và AC đến (O) (B và C là các tiếp điểm) và một cát tuyến ADE không đi qua tâm O (D nằm giữa A và E), gọi I là trung điểm của DE.

a) Chứng minh 5 điểm A;B;O;I;C cùng nằm trên một đường tròn suy ra IA là phân giác của góc BIC

b) BC cắt AE tại K. Chứng minh KA.KI=KD.KE

c) Qua C kẻ đường thẳng song với AB, đướng này cắt các đướng thẳng BE, BD lần lượt tại P và Q. Chứng minh C là trung điểm của PQ

d) Đường thẳng OI cắt đường tròn (O) tại S và H. Đường thẳng HK cắt (O) tại điểm thứ hai là T. Chứng minh 3 điểm A, T, S thẳng hàng

P/S; giúp em d thôi ạ. Em cảm ơn nhìu

Bài 1: Cho tam giác ABC nhọn,BC cố định,đường cao AD,BE,CF.EF cắt BC tại P.Đường thẳng qua D và song song với EF cắt AC ở R và cắt AB ở Q.CMR: đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR luôn đi qua trung điểm BC.

P/s: em mới học lớp 9 nên không được sử dụng định lí Ceva hay Menelaus

Cho đường tròn (O;R), qua điểm K ở bên ngoài đường tròn kẻ các tiếp tuyến KB, KD (B, D là các tiếp điểm) và các tuyến KAC (A nằm giữa K và C)

a) Chứng minh DOBK nội tiếp

b) Chứng minh KB.KD=KA.KC

c) Gọi I là giao điểm của OK và BD. Chứng minh $\widehat{IAO}=\widehat{ICO}$.

d) Kẻ dây CN song song với BD. Chứng minh 3 điểm A, I, N thẳng hàng 
P/s: Giúp em câu d thôi ạ, em cảm ơn nhiều

Cho (O), (O') tiếp xúc ngoài tại điểm D. Từ 1 điểm A bất kì thuộc (O). Vẽ tiếp tuyến (O) sao cho tiếp tuyến đó cắt (O') tại B và C. Chứng minh điểm A cách đề 2 đường thẳng BD và CD

Lấy cạnh BC của tam giác đếu ABC làm đường kính, vẽ nửa đường tròn ở miền ngoài của tam giác. Trên nửa đường tròn này lấy 2 điểm K,L chia nửa đường trò thành 3 cung bằng nhau: cung BK= cung KL=cung LC. Chứng minh các đường thẳng AK, AL chia đoạn thẳng BC thành 3 phần bằng nhau.

Cho hình vuông ABCD nội tiếp (O;R), dây AM qua trung điểm N của OB

a) Chúng minh $AN.AM=AB^2$

b) Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCD. Chúng tỏ AB=AI=AD

c) Tính diện tích AMD theo R

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, trung tuyến AM, lấy D trên AB sao cho $AD=\frac{AB+AC}{2}$, đường tròn qua M tiếp xúc với AB tại D, cắt AM tại N. Chứng minh MA=AH

Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC), đường tròn tâm O, đường kính BC cắt AB, AC theo thứ tự tại M, N. BN và CM cắt nhau tại H. AH cắt (O) tại 2 điểm E,F (E nằm giữa A,F).

a) Chứng minh: NB là phân giác góc ENF

b) Chúng minh tiếp tuyến tại M và tại N cả (O) cắt nhau tại 1 điểm trên AH

c) Cho AB=13cm, BC=14cm, AC=15cm. Tính DH

Cho (O;R) hai dây CD, EF cắt nhau tại A. Chứng minh: $AC.AD=AE.AF=R^2-OA^2$

Cho $\Delta ABC$ cân tại A ngoại tiếp (O;R). Tiếp điểm trên 3 cạnh AB, AC, BC lần lượt là D,E,F. BE cắt (O) tại M. DM cắt BF tại K. Chứng minh BK=KF

Mình nghĩ là cần có điều kiện a,b dương

 

P=a+b+$\frac{1}{a}+\frac{9}{b}$ = $\frac{1}{a}$ +  16a + $\frac{9}{b}$ +16b -15(a+b)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

$\frac{1}{a}$ +  16a  $\geq 2\sqrt{16a.\frac{1}{a}}$ =8

$\frac{9}{b}$ +  16b  $\geq 2\sqrt{16b.\frac{9}{b}}$ =24

Lại có a+b$\leq 1$ => 15(a+b) $\leq 15$ =>-15(a+b) $\geq$ -15

Do đó a+b+$\frac{1}{a}+\frac{9}{b}$ $\geq$ 8 +24 -15 =17

Dấu "=" xảy ra <=> a=$\frac{1}{4} $

                                b= $\frac{3}{4}$

Vậy...

Bạn có thể cho mình biết tại sao lại chọn cosi các cặp số $\frac{1}{a}$ và 16a, $\frac{9}{b}$ và 16b không 

Sở Giáo dục và Đào tạo quận Gò Vấp                                                      KÌ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 (VÒNG 1)

                                                                                                                                    MÔN THI: TOÁN

Ngày thi: thứ Bảy 07/11/2015

Thời gian làm bài : 150 phút (không kể phát đề)

Câu $1$ ($3,0$ điểm)

Cho a+b=1 và $ab\neq 0$. Chứng minh rằng $\frac{a}{b^3-1}+\frac{b}{a^3-1}= \frac{2(ab-2)}{a^2b^2+3}$

Câu $2$ ($6,0$ điểm)

Giải các phương trình sau:
a) $(x^2-9)(9x^2-1)=20x+1$

b) $\sqrt{\frac{2-2x}{x}}+5=9x$

Câu $3$ ($3,0$ điểm)

Bài 1: Cho a>0, b>0 , $a+b\leq 1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

$\frac{a^2b^2}{a^4b^2+a^2b^4+a^2+b^2}$

Bài 2: Cho a,b là 2 số dương thòa mãn $a^2+b^2=6$

Chứng minh: $\sqrt{3(a^2+6)}\geq (a+b)\sqrt{2}$

Bài 1: Giải phương trình sau:

$\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}+\sqrt[3]{x+3}=\sqrt[3]{-x-1}-\sqrt[3]{x+2}+\sqrt{3+2\sqrt{2}}$

Bài 2: Tìm các số nguyên x, y thỏa: $x^2+xy-2010x-2011y=2012$

Bài 3: Tìm tất cả bộ 3 số nguyên thỏa mãn: abc=3(a+b+c)

Bài 4: Cho a,b là 2 số nguyên. Chứng minh rằng $5(a+b)^2+ab$ chia hết cho 441 thì ab cũng chia hết cho 441.

Ai chỉ mình tìm nghiệm phương trình bậc 4 với   

VD: ${x}^{4}+4\,{x}^{3}+7\,{x}^{2}+10\,x+3=0$

${x}^{4}+19\,{x}^{3}+109\,{x}^{2}+181\,x+90=0$
${x}^{4}+{x}^{3}+2\,{x}^{2}\sqrt {2}+\sqrt {2}{x}^{3}+3\,x+{x}^{2}+\sqrt {2}=0$
${x}^{4}+2\,{x}^{3}+5\,{x}^{2}+\sqrt {2}{x}^{3}+2\,{x}^{2}\sqrt {2}+6\, \sqrt {2}x-2\,x-6=0$
$2\,{x}^{4}+3\,\sqrt {2}{x}^{3}+5\,{x}^{2}\sqrt {2}+2\,{x}^{2}+4\,x-6=0$

Sai lầm ở chỗ màu đỏ.Dấu '=' không xảy ra 

Đặt cái màu đỏ là A.Ta có:

$A\geq \frac{4}{(x^2+2xy+y^2)+xy}$ (B.C.S)

$A\geq \frac{4}{1^2+\frac{(x+y)^2}{4}}=\frac{4}{1+\frac{(1)^2}{4}}=\frac{16}{5}$

Dấu "=" xảy ra khi:

$\left\{\begin{matrix} x+y=1\\ x=y \end{matrix}\right.$ $\rightarrow x=y=\frac{1}{2}$

Anh nói rõ hơn tại sao dấu "=" không xảy ra k, e chưa rõ lắm 

Cậu phải làm bài của cậu ra.Không biết cậu ghép cặp thế nào thì làm sao biết cậu sai được

Đây nhé anh, help mi

$P=\frac{1}{x^2+xy+y^2}+\frac{4x^2y^2+1}{xy}$

$P=(\frac{1}{x^2+xy+y^2}+\frac{1}{2xy})+(\frac{1}{2xy}+8xy)-4xy$

$P\geq\frac{31}{5}$

Dấu "=" xảy ra khi:

$\left\{\begin{matrix} x+y=1\\ x=y\\16x^2y^2=1 \end{matrix}\right.$

$\rightarrow x=y=\frac{1}{2}$

Đề bài:Cho x>0, y>0 và x+y=1. Tìm $P=\frac{1}{x^2+xy+y^2}+\frac{4x^2y^2+1}{xy}$

Bài giải:

$P=\frac{1}{x^2+xy+y^2}+\frac{4x^2y^2+1}{xy}$

$P=(\frac{1}{x^2+xy+y^2}+\frac{1}{3xy})+(\frac{2}{3xy}+\frac{32xy}{3})-\frac{20xy}{3}$

$P\geq\frac{19}{3}$

Vậy min $P=\frac{19}{3}$

Dấu "=" xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} x+y=1\\ x=y\\ 96x^2y^2=6 \end{matrix}\right.$

$\rightarrow x=y=\frac{1}{2}$

Em mún hỏi là tại sao lại tách 

$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{xy}=\frac{1}{3xy}+\frac{2}{3xy}\\ 4xy=\frac{32xy}{3}-\frac{20xy}{3} \end{matrix}\right.$

Em tách như sau:
$P=\frac{1}{x^2+xy+y^2}+\frac{4x^2y^2+1}{xy}$

$P=(\frac{1}{x^2+xy+y^2}+\frac{1}{2xy})+(\frac{1}{2xy}+8xy)-4xy$

$P\geq\frac{31}{5}$

Dấu "=" xảy ra khi:

$\left\{\begin{matrix} x+y=1\\ x=y\\ 32x^2y^2=2 \end{matrix}\right.$

$\rightarrow x=y=\frac{1}{2}$ nhưng kết quả lại khác.

Ai chỉ ra em sai chỗ nào và chỉ em cách tách những bài tương tự

  để lần sau k sai nữa, em cảm ơn nhìu ạ

Bài 1b là tìm min hay max vậy ? 

min nha bạn 

Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của 
a) $A=(x+1)+(x+3)(x^2-4x+5)$

b) $B= (x-1)^{4}+(x-3)^{4}+6(x-1)^{2}(x-3)^2$

Bài 2: Biết a,b,c>0  và a+b+c=1.Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a) $M=\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{a^2-ac+c^2}$

b) $N=\sqrt{a^2-5ab+b^2}+\sqrt{b^2-5bc+c^2}+\sqrt{a^2-5ac+c^2}$

Bài 3: Biết a,b,c>0, a+b+c=12. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

$P=\sqrt{a^2+ab+b^2}+\sqrt{b^2+bc+c^2}+\sqrt{a^2+ac+c^2}$

Bài 1: Cho x,y>0, $x+y\leq 2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{3}{xy}+2xy$

Bài 2: Cho x>0, y>0, x+y=1. Chứng minh $8(x^4+y^4)+\frac{1}{xy}> 4$

Cho đường tròn nội tiếp $\Delta ABC$ tiếp xúc với các cạnh AB, BC, AC tại các điểm D;E;F. Đường thẳng qua B song song với DC cắt AF tại G. Chứng minh trung điểm DG nằm trên AE

Cho hình thoi ABCD, có AC=AB. Một đường thẳng bất kì qua B cắt tia đối của tia AD tại E và tia đối của tia CD tại F. AF và CE cắt nhau tại O.

a) Chứng minh AE.CF không đổi 

b) $\Delta AEC\sim \Delta CAF$

c) $\widehat{EOF}$ không đổi