$\dpi{150} a\geq b\geq c\rightarrow \left\{\begin{matrix} a^{2}\geq b^{2}\geq c^{2} & & \\ \frac{1}{b+2c}\geq \frac{1}{c+2a}\geq \frac{1}{a+2b}& & \end{matrix}\right.\\chebyshev\sum \frac{a^{2}}{b+2c}\geq \frac{1}{3}(\sum a^{2})(\sum \frac{1}{b+2c})\geq \frac{\sum a^{2}}{\sum a}\geq \sqrt{\frac{\sum a^{2}}{3}}=1$

chưa chắc gì $c+2a \le a+2b$

Chứng minh bất đẳng thức sau với mọi số thực không âm a,b,c:

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}+\frac{abc}{2(a{3}+b^{3}+c^{3})}\geq \frac{5}{3}$

ta có $\sum \frac{a}{b+c} \ge \frac{3}{2}$

do đó chỉ cần chứng minh $\frac{abc}{\sum a^3} \le \frac{1}{3}$, áp dụng $AM-GM$ ta có ngay đpcm

 

hình như sai rồi   

Nếu đề bài đúng $n \leq 1$

 

Ta có: $\sqrt[n]{n} \leq \dfrac{n+1+1+...+1}{n}=\dfrac{2n-1}{n}$

 

Ta sẽ cm: $\dfrac{2n-1}{n} \leq 1 \iff 2n-1 \leq n \iff n \leq 1$ (L.Đ với mọi $n \leq 1$)

 

Vậy $\sqrt[n]{n} \leq 1$ với mọi $n \leq 1$

 

Dấu "=" có khi: $n=1$

không có dk $n \le 1$

Câu 2:  Do $n>0$ nên mũ n hai vế được $n \leq 1$.

Mà điều kiện có vẻ thiếu ????

thiếu gì bạn?

Đề bài sẽ đúng nếu $n \leq 1$

câu 2 hình như có vấn đề giả sử n=1000 suy ra số đó là 1,00006931669 <1 vô lý 

gõ thiếu đề 

$1.$ cho $a,b,c >0 $ thỏa $\sum ab=3$

chứng minh $\sum \frac{3+a}{b^2+c^2} \ge 6$

$2.$ cho $n > 0$

chứng minh $[\sqrt[n]{n}] \le 1$

p/s:đã có trên đời chưa nhỉ 

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $\sum a^2=3$. Chứng minh rằng:

$\sum \frac{1}{2+a^3b}\ge 1$

Tổng quát: Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $\sum a^2=3$. Chứng minh rằng: $\sum \frac{1}{2+a^mb^n}\ge 1,\forall m,n\in N^*$

bđt $\leftrightarrow \sum \frac{a^3b}{2+a^3b} \le 1$

ta có $\sum \frac{a^3b}{2+a^3b} \le \sum \frac{a^2\sqrt[3]{b^2}}{3} \le \frac{\sum a^2b^2+2\sum a^2}{9} \le 1$

dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c=1$ 

Tìm các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn: $ x^{4}+2x^{2}=y^{3} $

$pt$ viết lại $(x^2+1)^2=y^3+1=(y+1)(y^2-y+1)$ suy ra $y \ge -1$

$\ast$ lần lượt xét $y=-1,y==0,y=1$ nhận nghiệm $(x;y)(0;0)$

$\ast$ xét $y \ge 2$

đặt $d=GCD(y+1;y^2-y+1)$

nhận thấy $y^2-y+1=(y+1)^2-3(y+1)+3 \rightarrow d|3$

$\cdot d=1$ thì suy ra $y+1,y^2-y+1$ nguyên tố cùng nhau có tích là scp nên mỗi số này cũng là scp nhưng $(y-1)^2<y^2-y+1<y^2$ nên vô nghiệm

$\cdot d=3$ suy ra $x^2 \equiv -1\ (mod\ 3)$ không xảy ra với số nguyên

vậy $(x;y)(0;0)$

Chứng minh rằng: $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\leq 1$ với $a,b,c>1$ thỏa mãn: $\frac{1}{a^2-1}+\frac{1}{b^2-1}+\frac{1}{c^2-1}=1$

$gt \rightarrow \sum \frac{a^2-4}{a^2-1}=0$

$bđt \leftrightarrow  \sum \frac{a-2}{a+1} \ge 0 \leftrightarrow \sum \frac{(a^2-4)(a-1)}{(a^2-1)(a+2)} \ge 0$

giả sử $a \ge b \ge c > 1$

$\rightarrow \frac{a-1}{a+2} \ge \frac{b-1}{b+2} \ge \frac{c-1}{c+2}$

áp dụng $Chebyshev$ ta được $\sum \frac{(a^2-4)(a-1)}{(a^2-1)(a+2)} \ge \frac{1}{3}(\sum \frac{a^2-4}{a^2-1})(\sum \frac{a-1}{a+2})=0$

dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c=2$

Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 
 $x^{4}+2x^{3}+2x^{2}+x+3=y^{2}$

ta có $x^2+x+3>0 \rightarrow x^4+2x^3+2x^2+x+3>x^4+2x^3+x^2=(x^2+x)^2$

và $3x^2+3x+1>0 \rightarrow x^4+2x^3+2x^2+x+3<x^4+2x^3+5x^2+4x+4=(x^2+x+2)^2$

suy ra $(x^2+x)^2<y^2<(x^2+x+2)^2$ hay $y=x^2+x+1$

thế vào pt ban đầu

Tại sao mà a biết đc BĐT này vậy $\frac{1}{\sqrt{4+x+4x^2}}\leq \frac{x+1}{2(x^2+x+1)}$

Mình có sử dụng thủ thuật gì ko ạ

hay là chỉ mò thôi 

chắc là dùng pp tiếp tuyến

Với các số thực dương $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ có tổng bằng $1$, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $$f=\frac{x_{1}}{\sqrt{1-x_{1}}}+\frac{x_{2}}{\sqrt{1-x_{2}}}+...+\frac{x_{n}}{\sqrt{1-x_{n}}}.$$

do bđt đối xứng nên gs $x_1 \ge x_2 \ge... \ge x_n$

$ \rightarrow \frac{1}{\sqrt{1-x_1}} \ge... \ge \frac{1}{\sqrt1-x_n}}$

áp dụng $Chebyshev$ cho $2$ bộ trên ta được

$f \ge \frac{1}{n}.\frac{n^2}{\sum \sqrt{1-x_1}} \ge \frac{n}{\sqrt{n(n-1)}}=\sqrt{\frac{n}{n-1}}$

Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác thỏa mãn: $(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)=1$

Chứng minh rằng: $\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[5]{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}$

http://diendantoanho...eq-81abca2b2c2/

Cho $a$,$b$,$c$,$d$ là các số dương thỏa mãn 

$\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}+\frac{1}{1+d^2} =1$
Chứng minh $a+b+c+d \geq 3(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c})$

$gt \Leftrightarrow \sum \frac{a^2-3}{1+a^2}=0$

bđt $\Leftrightarrow \sum \frac{a^2-3}{a} \ge 0 \leftrightarrow \sum \frac{(a^2-3)(1+a^2)}{(1+a^2)a} \ge 0$

giả sử $a \ge b \ge c \ge d$ suy ra $f(x)=\frac{x^2-3}{x^2+1}$ và $g(x)=\frac{1+x^2}{x}$ là các hàm đơn điệu tăng trên $R^+$

áp dụng $Chebyshev$ cho $2$ bộ trên ta được đpcm

Thì sao?

bài của bạn xảy ra dấu "=" khi $x=y=z=4\sqrt{42}$, không thỏa mãn

Ta có

$\sum x\geq\sqrt{3\sum xy}=12\sqrt{42}$

Ta lại có

$P=\sum x^3-3\prod x$

$=(x^3+y^3)+(z^3-3xyz)$

$=[(x+y)^3-3xy(x+y)]-3xyz+z^3$

$=[(x+y)^3+z^3]-3xy(x+y+z)$

$=(x+y+z)[((x+y)^2-(x+y)z+z^2)-3xy(x+y+z)$]

$=(\sum x)(\sum x^2-\sum xy)\geq 0$

Dấu $"="$ xảy ra khi

$x=y=z=4\sqrt{42}$

Vậy ...

$x,y,z \in Z^+$

Cho $c=\sqrt{2},b=a=\frac{1}{\sqrt{2}}$ thì $\frac{3(1-c^2)}{c^2+ab}-\frac{3(1-c^2)}{c^2+3}=\frac{-3}{5}<0$   
 

bạn coi lại cái bôi đỏ đi

nếu cho $c^2=2,6$ thì sai thật 

Bạn biến đổi cái dòng đầu tiên kiểu gì thế ? 

$\frac{(a+b)^2}{c^2+ab}-2=\frac{3-c^2+2ab-2c^2-2ab}{c^2+ab} \ge \frac{6(1-c^2)}{c^2+3}$

Mọi người bài này trâu lắm nè, làm đủ cách cũng ko ra thôi đành nhờ m.n giúp. Help me!!!     

 

_________________________

 Cách gõ công thức Toán.

$a^6+1+1 \ge 3a^2$

tương tự cộng lại suy ra $\sum a^2 \le 3$

5c-3 luôn >=0 đâu 

mình sửa lại rồi 

Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Cmr:

$\sum \frac{(a+b)^2}{c^2+ab}\ge 6$

chuẩn hóa $\sum a^2=3$

bđt $\leftrightarrow \sum \frac{1-c^2}{c^2+3} \ge 0$

vì bđt đối xứng nên giả sử $a \ge b \ge c$

$\rightarrow 1-c^2 \ge 1-b^2 \ge 1-a^2$ và $\frac{1}{3+c^2} \ge \frac{1}{3+b^2} \ge \frac{1}{3+a^2}$

áp dụng $Chebyshev$ cho $2$ bộ đơn điệu cùng chiều trên ta có đpcm

Đúng r bạn

.Có vấn đề gì à

không có đề nào rảnh mà không ghi $b^3$ thay vì $2b^3-b^3$ cả

nếu đề đúng là như trên thì bị ngược dấu rồi

$\sum \frac{b^3}{ab+b^2} \ge \frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}=\frac{a+b+c}{2}$

Đặt $t=\sqrt{x^2+2x+2}+\sqrt{x^2-2x-2},t> 0$.

Khi đó: $pt\iff t-4-\frac{4}{t}=0\iff t^2-4t-4=0=> t=2+2\sqrt{2}$.

$\iff \sqrt{x^2+2x+2}+\sqrt{x^2-2x-2}=2+2\sqrt{2}$

$\iff 2x^2+2\sqrt{x^4-4x^2-8x-4}=(2+2\sqrt{2})^2$

$=> x^4-4x^2-8x-4=[(6+4\sqrt{2})^2-x^2]^2$

$\iff -4x^2-8x-4=(6+4\sqrt{2})^4-2x^2(6+4\sqrt{2})^2$

Đến đây còn bậc 2 bạn tự làm tiếp nhé!

Nhớ thử lại nhé

coi lại đoạn này đi bạn

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa $a^2+b^2+c^2=3$. Chứng minh rằng $\frac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}+\frac{b^3}{\sqrt{c^2+3}}+\frac{c^3}{\sqrt{a^2+3}}\geq \frac{3}{2}$

$\sum \frac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}=\sum \frac{2a^4}{2a\sqrt{b^2+3}} \ge 4.\frac{(\sum a^2)^2}{5\sum a^2+9}=\frac{3}{2}$

Cho a,b,c là các số không âm thỏa mãn:a+b+c=1.

CMR: $\sqrt{5a+4}+\sqrt{5b+4}+\sqrt{5c+4}$ $\geq$ 7

http://diendantoanho...phạm-2016-2017/