Cho phương trình:

$x^{2}-x^{2}y-y+8x+7=0$

Tìm cặp số (x;y) để y max ?

Cho $a,b,c>0$ ; $a+bc=2$ . Tìm max $P=\frac{1}{\sqrt{1+a^{3}}}+\frac{1}{\sqrt{1+b^{3}}}+\frac{1}{\sqrt{1+c^{3}}}$

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), $\frac{AC}{AB}=k$. Các tiếp tuyến tại B và tại C cắt nhau ở M. Gọi N là giao điểm của AM và BC. Cmr: $\frac{NC}{NB}=k^{2}$

Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

$\sqrt{x-m}+\sqrt{3m-x}=2m$

Cho xyz=1 ; $x+y+z=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$.

Tính $K=(x^{31}-1)(y^{5}-1)(z^{85}-1)$

 Cho x,y,z >0. Chứng minh rằng:$\frac{\sqrt{y+z}}{x}+\frac{\sqrt{z+x}}{y}+\frac{\sqrt{x+y}}{z}\geq \frac{4(x+y+z)}{\sqrt{(y+z)(z+x)(x+y)}}$

Cho các số thực x,y,z thay đổi thỏa mãn :$\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}+\frac{1}{xy}>0$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S=\frac{x^{2}}{yz}+\frac{y^{2}}{zx}+\frac{z^{2}}{xy}$

Cho a,b,c>0 và $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=2$

Cmr: $abc\leq \frac{1}{8}$

Cho a,b,x,y thỏa mãn $\frac{x^{4}}{a}+\frac{y^{4}}{b}=\frac{1}{a+b}$ và $x^{2}+y^{2}=1$.

Chứng minh rằng $\frac{x^{2n}}{a^{n}}+\frac{y^{2n}}{b^{n}}=\frac{2}{(a+b)^{n}}$ với n là số nguyên dương.

Có 21 số nguyên dương nhỏ hơn 100. Chứng minh rằng có 3 số là 3 cạnh tam giác

Cho $a,b\geq 0, a+2b+2ab^{2}=5$

Biết $P=a^{3}+2b^{3}$. Tìm Min P?

Cho a,b,c >0. CMR: $\frac{a^{3}}{b^{4}}+\frac{b^{3}}{c^{4}}+\frac{c^{3}}{a^{4}}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Cho 3 số thực a,b,c đôi một khác nhau và thỏa mãn:

$abc(1-ab)(1-bc)(1-ca)\neq 0$

Chứng minh rằng nếu hai trong ba số $\frac{a^{2}-bc}{a(1-bc)};\frac{b^{2}-ca}{b(1-ca)};\frac{c^{2}-ab}{c(1-ab)}$ bằng nhau thì: $\frac{a^{2}-bc}{a(1-bc)}=\frac{b^{2}-ca}{b(1-ca)}=\frac{c^{2}-ab}{c(1-ab)}=a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi J là điểm chính giữa của cung nhỏ BC và I là giao điểm của Ạ với BC. Chứng minh rằng: $AI^{2}=AB.AC-IB.IC$ 

Chứng minh rằng: $M=\frac{1}{a(a-b)(a-c)}+\frac{1}{b(b-a)(b-c)}+\frac{1}{c(c-a)(c-b)}=\frac{1}{abc}$

Cho $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}$.CMR:

$\frac{1}{a^{2015}}+\frac{1}{b^{2015}}+\frac{1}{c^{2015}}=\frac{1}{a^{2015}+b^{2015}+c^{2015}}$

Giải hệ phương trình sau:

$\left\{\begin{matrix} &x+\frac{1}{y}+\frac{x}{y}=5 & \\ &x^{2}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{x}{y}=7 & \end{matrix}\right.$

 

Cho a,b,c>0,$a+b+c=1$, biết $Q=\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ca}+\sqrt{c+ab}$. Tìm giá trị lớn nhất của Q

Cho trước đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB ta vẽ đường tròn (O) tiếp xúc với AB tại A, đường tròn(O') tiếp xúc với AB tại B, và hai đường tròn này tiếp xúc ngoài với nhau. Chứng minh rằng tích OA.O'B không đổi.

Cho 2 đường tròn $(O;R)$ và $(O';R')$ cắt nhau tại 2 điểm A và B sao cho Ô' ở về hai phía của AB. Một cát tuyến qua A cắt $(O)$ và $(O')$ lần lượt tại C và D sao cho A nằm giữa C và D. Các đường vuông góc với CD tại C và D cắt 2 đường tròn $(O)$ và $(O')$ tại E và F.Gọi I là trung điểm của EF.

Cmr: I là tâm của một đường tròn tiếp xúc với cả hai đường tròn $(O;R)$ và $(O';R')$

Tam giác ABC cân tại A, $\widehat{A}=120^{\circ}$. Bán kính đường tròn nội tiếp $r=1$. Tính diện tích tam giác ABC.

Cho $(I)$ nội tiếp tam giác ABC. Tiếp điểm với các cạnh $AB,AC,CA$ là $D,E,F$. Qua D kẻ đường thẳng song song với BC cắt EF tại N và AE tại M. CMR: M là trung điểm DN.

Cho a,b,c là 3 cạnh tam giác.Cmr phương trình

$a^{2}x^{2}+(a^{2}+b^{2}-c^{2})x+b^{2}=0$ vô nghiệm.